《三角形的证明》题型解读 6 有关高线题型 【知识梳理】 1.三角形三条高线会交于一点， 2.题目涉及“高线”（或“距离”），应联想到以下用途 ① 联系面积问题 ② 联想到可能会分类讨论--出现“界内高”或“界外高”情况 【典型例题】 例 1.从边长为 2 的等边三角形内一点分别向三边作垂线，三条垂线段长的和为_______ 思路分析：依照高在各种用途，我们可一一排除，来确定最终的思考方向。不是求一条线段的长，勾股定理可以 先排除；从图形角度看，与三线合一及垂直平分线距离有点远，也不属于首先考虑范畴；连接 AD、BD、CD，看 似乎与直角三角形有点联系，但各个直角三角形题目给的条件或数据太少，暂不考虑，所以最终思路指向了“高与 面积的关系”这条思路线。由图可知，等边三角形的面积会等于三个小三角形的面积，分别用公式法表示出来，整 理化简，即可得到所需的结论。 解题过程：连接 AD、BD、CD，由图可得： S ∆ ABC = S ∆ ABD + S ∆ BCD + S ∆ ACD ，即边长×（边长× ❑ √3 2 ❑ ） ÷2=AB×DE÷2+BC×DF÷2+AC×DG÷2 ， ）÷2=2×DE÷2+2×DF÷2+2×DG÷2，整理得：DE+DF+DG= ∴ ❑ √3 2× （ ，即三条垂线段长的和为 √3 2× ❑ √3 2 . 例 2.已知等边三角形 ABC 的边长为 4，点 D 是 BC 的任意一点，则点 D 到 AB、AC 两边的距离之和是__________ 思路分析：依照高在各种用途，我们可一一排除，来确定最终的思考方向。不是求一条线段的长，勾股定理可以 先排除；从图形角度看，与三线合一及垂直平分线距离有点远，也不属于首先考虑范畴；连接 AD，看似乎与直角 三角形有点联系，但两个直角三角形题目给的条件或数据太少，暂不考虑，所以最终思路指向了“高与面积的关系” 这条思路线。由图可知，等边三角形的面积会等于二个小三角形的面积，分别用公式法表示出来，整理化简，即 可得到所需的结论。 解 题 过 程 ： 连 接 AD ， 由 图 可 得 ： S ∆ ABC = S ∆ ABD + S ∆ ACD ， 即 边 长 × （ 边 长 × ❑ √3 2 ❑ ）÷2=AB×DE÷2+AC×DF÷2，∴4×（4× ，即点 D 到 AB、AC 两边的距离之和是 4 ❑ √3 √3 2 ）÷2=4×DE÷2+4×DF÷2，整理得：DE+DF =4 ❑ √3 . 例 3.如图，点 P 是矩形 ABCD 的边 AD 上的一动点，矩形的两条边 AB、BC 的长分别是 6 和 8，则点 P 到矩形的两条对角线 AC 和 BD 的距离之和是 _____ 解：连接 OP，∵矩形的两条边 AB、BC 的长分别为 6 和 8，∴ S 矩 形ABCD =AB•BC=48 ， 1 2 OA=OC，OB=OD ，AC=BD=10 ，∴OA=OD=5 ，∴ S ∆ ACD = S 矩 =24 ，∴ 形ABCD 1 S ∆ A 0 D = S ∆ ACD =12 ， 2 ∵ S ∆ AOD =S ∆ AOP +S ∆ DOP = 1 1 1 1 5 OA•PE+ OD•PF= ×5×PE+ ×5×PF= 2 2 2 2 2 （PE+ PF ）=12，解得：PE+P F=4.8 ． 例 4．如图，△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC 于 D 点，DE⊥AB 于点 E，BF⊥AC 于点 F，DE=3cm，则 BF= cm． 【 分 析 】 先 利 用 HL 证 明 Rt△ADB≌Rt△ADC ， 得 出 S△ABC=2S△ABD=2× S△ABC= 1 AB•DE=AB•DE=3AB ， 又 2 1 2 AC•BF，将 AC=AB 代入即可求出 BF． 解 ： 在 Rt△ADB 与 Rt△ADC 中 ， AB=AC ， AD=AD ， ∴ Rt△ADB≌Rt△ADC ， ∴ S△ABC=2S△ABD=2× AB•DE=AB•DE=3AB， ∵S△ABC= 1 1 1 AC•BF，∴ AC•BF=3AB，∵AC=AB，∴ 2 2 2 BF=3，∴BF=6． 1 2 例 5.运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面 积法． （1）如图 1，在等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，AC 边上的高为 h，M 是底边 BC 上的任意一点，点 M 到腰 AB、AC 的距离分别为 h1、h2．请用面积法证明：h1+h2＝h； （2）当点 M 在 BC 延长线上时，h1、h2、h 之间的等量关系式是　 （3）如图 2 在平面直角坐标系中有两条直线 l1：y＝ 　；（直接写出结论不必证明） 3 4 x+3、l2：y＝﹣3x+3，若 l2 上的一点 M 到 l1 的距 离是 1，请运用（1）、（2）的结论求出点 M 的坐标． 【解析】几何综合题，压轴题，考查高线的应用，利用“解题思路的延续性”解题. （ 1 ） ∵ S△ABC ＝ S△ABM+S△AMC ， S△ABM ＝ 1 1 1 1 ×AB×ME ＝ ×AB×h1 ， S△AMC ＝ ×AC×MF ＝ 2 2 2 2 ×AC×h2， 又∵S△ABC ＝ 1 1 1 1 1 ×AC×BD＝ ×AC×h，∴ ×AC×h＝ ×AB×h1+ 2 2 2 2 2 ×AC×h2 ，∴h1+h2 ＝ h． （2）h1﹣h2＝h． （3）在 y＝ x+3 中，令 x＝0 得 y＝3；令 y＝0 得 x＝﹣4，则：A（﹣4，0），B（0，3）同理求得 C（1，0）， AB＝ ＝5，AC＝5，所以 AB＝AC，即△ABC 为等腰三角形． ① 当点 M 在 BC 边上时，由 h1+h2 ＝h 得：1+My＝OB，My＝3﹣1 ＝2，把它代入 y＝﹣3x+3 中求得：Mx＝ 1 3 ， ∴M（ 1 3 ，2）； ② 当点 M 在 CB 延长线上时，由 h1﹣h2＝h 得：My﹣1＝OB，My＝3+1＝4，把它代入 y＝﹣3x+3 中求得：Mx ＝﹣ 1 3 ， ∴M（﹣ 1 1 −1 ，4），∴点 M 的坐标为（ ，2）或（ 3 3 3 ，4）． 例 6．已知 CD 是△ABC 的边 AB 上的高，若 CD= ❑ √3 ，AD=1，AB=2AC，求 BC 的长． 【分析】分两种情况： ① 当△ABC 是锐角三角形，如图 1， ② 当△ABC 是钝角三角形，如图 2， 分别根据勾股定理计算 AC 和 BC 即可． 解：分两种情况： ① 当 △ ABC 是 锐 角 三 角 形 ， 如 图 1 ， ∵ CD⊥AB ， ∴ ∠ CDA=90° ， ∵ CD= ，AD=1，∴AC=2，∵AB=2AC， ∴AB=4，∴BD=4﹣1=3， ∴在 Rt△BCD 中，由勾股定理可得 BC=2 ❑ √3 ； ❑ √3 ② 当△ABC 是钝角三角形，如图 2，同理得：AC=2，AB=4， ∴在 Rt△BCD 中，由勾股定理可得 BC=2 综上所述，BC 的长为 2 ❑ √3 或2 ❑ √7 ❑ √7 ； ． 例 7．如图（1），大正方形的面积可以表示为（a+b）2，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与 两个长方形的面积之和，即 a2+2ab+b2．同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等， 从而验证了完全平方公式： （a+b）2＝a2+2ab+b2． 把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法 称为“面积法”． （1）用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式分解的等式：　　． （2）如图（3），Rt△ABC 中，∠C＝90°，CA＝3，CB＝4，CH 是斜边 AB 边上的高．用上述“面积法”求 CH 的 长； （3）如图（4），等腰△ABC 中，AB＝AC，点 O 为底边 BC 上任意一点，OM⊥AB，ON⊥AC，CH⊥AB，垂足 分别为点 M，N，H，连接 AO，用上述“面积法”求证：OM+ON＝CH． 【解答】（1）如图（2），大正方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和， 即 x2+5x+6， 同时大长方形的面积也可以为（x+3）（x+2）， 所以 x2+5x+6＝（x+3）（x+2）； 故答案为：x2+5x+6＝（x+3）（x+2）； （2）如图（3），Rt△ABC 中，∠C＝90°，CA＝3，CB＝4， ∴AB＝ ∵S△ABC＝ ＝5， AC•BC＝ ∴CH＝ ＝ 答：CH 的长为 AB•CH， ＝ ； ； （3）证明：如图（4）， ∵OM⊥AB，ON⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为点 M，N，H， ∴S△ABC＝S△ABO+S△AOC， ∴ AB•CH＝ AB•OM+ AC•ON， ∵AB＝AC， ∴CH＝OM+ON． 即 OM+ON＝CH．