考点 7：手拉手模型 1．（2020·巴彦淖尔市临河区第八中学期中）如图，点 C 是线段 AB 上任意一点（点 C 与点 A，B 不重合），分别以 AC，BC 为边在直线 AB 的同侧作等边三角形 ACD 和等 边三角形 BCE，AE 与 CD 相交于点 M，BD 与 CE 相交于点 N．连接 MN． 证明：（1）△ACE≌△DCB； （2）△ACM≌△DCN； （3）MN∥AB． 2．（2020·广州市番禺执信中学期中）如图，两个正方形 ABCD 与 DEFG，连结 AG，CE，二者相交于点 H． （1）证明：△ADG≌△CDE； （2）请说明 AG 和 CE 的位置和数量关系，并给予证明； （3）连结 AE 和 CG，请问△ADE 的面积和△CDG 的面积有怎样的数量关系？并说明 理由． 3．（2020·长沙市望城区郡维学校月考）如图，在 VABC 中，以 AB，AC 为边向外作 VABF 等边 和等边 △ ACE ，连结 BE，CF 交于点 O． 求证：（1） VAEB VACF ； （2）AO 平分∠EOF． 4．（2019·廊坊市第四中学期中）如图 1，点 P 是线段 AB 上除点 A 、 B 外的任意一点， 分别以 AD AP 、 PB 为边在线段 和 BC 相交于点 Q， （1）求证： AD  BC ． （2）求 �DQB 的度数． AB 的同旁做等边三角形 APC 和等边三角形 PBD ，连接 （3）如图 2 所示， 上， AD  BC △ APC 是否成立， 和 △ PBD �DQB 仍为等边三角形，但 PA 和 PB 不在同一条直线 的度数与图 1 是否相等，请直接写出结论． 5．（2020·江苏初二月考）如图，C 为线段 AE 上一动点（不与点 A，E 重合），在 AE 同侧分别作正三角形 ABC 和正三角形 CDE（正三角形也叫等边三角形，它的三条边都 相等，三个内角都等于 60°），AD 与 BE 交于点 O，AD 与 BC 交于点 P，BE 与 CD 交 于点 Q，连结 PQ．试说明： （1）AD=BE； （2）填空∠AOE= °； （3）CP=CQ； 6．（2020·盐城市盐都区实验初中月考）如图所示，已知 AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC．判断线段 EC 与 BF 数量关系和位置关系， 并 给予证明． 7．（2020·滨州实验学校初二期中）如图，B，C，E 三点在一条直线上，△ABC 和 △DCE 均为等边三角形，BD 与 AC 交于点 M，AE 与 CD 交于点 N． （1）求证：AE＝BD； （2）连接 MN，求证：MN∥BE； （3）若把△DCE 绕点 C 顺时针旋转一个角度，（1）中的结论还成立吗？说明理由． 8．（2020·四川期末）（1）如图 1， D 三点在一条直线上，连接 （2）如图 2，在 VBCD VBCD 外部作等边 AD 中，若 VABC ， VABC BE 和 VDCE 相交于点 P 都是等边三角形，且 ，求证： BE  AD B ， C ， ． BC CD BD �BCD  120� ，分别以 ， 和 为边在 ，等边 △ CDE ，等边 VBDF ，连接 AD 、 BE 、 CF 恰 交于点 P ． ① 求证： AD  BE  CF ； ② 如图 2，在（2）的条件下，试猜想 PB ， PC ， PD 与 BE 存在怎样的数量关系， 并说明理由． 9．如图， ABC , BDE 均为等腰直角三角形，连接 AE，CD，AE 与 CD 相等吗？说 明理由 10．（2020·四川初一期末）已知：如图，点 B 在线段 AD 上， V ABC 和 V BDE 都是等 边三角形，且在 AD 同侧，连接 AE 交 BC 于点 G，连接 CD 交 BE 于点 H，连接 GH． （1）求证：AE=CD； （2）求证：AG=CH； （3）求证：GH∥AD． 参考答案 1．【详解】 （3）由（2）得：△ACM≌△DCN， （1）∵△ACD 和△BCE 是等边三角形， ∴CM＝CN， ∴AC＝CD，BC＝CE，∠ACD＝∠BCE＝ 又∵∠MCN＝180°−60°−60°＝60°， 60°， ∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋ ∴△MCN 是等边三角形， ∴∠MNC＝60°＝∠NCB， ∠DCE，∠DCB＝∠ACE， ∴MN∥AB． 在△ACE 与△DCB 中， 2．【详解】 �AC  CD � �DCB  �ACE ， � �BC  CE � （1）∵四边形 ABCD 与 DEFG 都是正方形， ∴△ACE≌△DCB（SAS）； ， （2）由（1）得：△ACE≌△DCB， ∴∠ADC+∠CDG=∠EDG+∠CDG， ∴∠EAC＝∠BDC， ∴∠ADG=∠CDE， ∵∠ACD＝∠BCE＝60°， ∴△ADG≌△CDE（SAS）， ∴∠DCE＝60°， （2）AG=CE，AG⊥CE， ∴∠ACD＝∠DCE， ∵△ADG≌△CDE， 在△ACM 与△DCN 中， ∴AG=CE，∠DAG=∠DCE， �EAC  �BDC � � �AC  DC ， � � ACD  � BCE � ∵∠DAG+∠AMD=90°，∠AMD=∠CMG， ∴AD=CD，DG=DE，∠ADC=∠EDG=90° ∴∠DCE+∠CMG=90°，∴∠CHA=90°， ∴AG⊥CE； ∴△ACM≌△DCN（ASA）． ∴PG=EN， 1 AD � EN ∵△ADE 的面积= 2 ，△CDG 的面 1 CD � GP 积= 2 ，∴△ADE 的面积=△CDG （3）△ADE 的面积=△CDG 的面积， 作 GP⊥CD 于 P，EN⊥AD 交 AD 的延长线 的面积. 于 N，则∠DPG=∠DNE=90°， ∵∠GDE=90°，∴∠EDN+∠GDN=90°， ∵∠PDG+∠GDN=90°，∴∠EDN=∠PDG， ∵DE=DG，∴△DPG≌△DNE， 3．【详解】 （2）如图，过点 A 作 AD  BE 于点 D，作 QVABF △ ACE （1） 和 都是等边三角形， AG  CF 于点 G，连接 AO，  AB  AF , AE  AC , �CAE  �BAF  60� 由（1）已证： VAEB VACF ，  �CAE  �BAC  �BAF  �BAC �BAE  �FAC ，即  S VAEB  S VACF , BE  CF ， 1 1  BE � AD  CF � AG ， 2 2 ， �AB  AF � �BAE  �FAC ，  AD  AG ， 在 和 中， � �AE  AC � △ AEB VACF VAEB  VACF ( SAS )  ； 点A在 �EOF 的角平分线上， 即 AO 平分 �EOF ． ∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°， ∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°， ∴∠AQC=180°-120°=60°； （3）AD= BC 成立，∠AQC=60°， 理由如下： ∵△APC 是等边三角形， ∴PA=PC，∠APC=60°， 4．【详解】 （1）∵△APC 是等边三角形， ∴PA=PC，∠APC=60°， ∵△BDP 是等边三角形， ∴PB=PD，∠BPD=60°， ∴∠APC=∠BPD， ∴∠APD=∠CPB， 在△APD 与△CPB 中， � AP  PC � �APD  �CPB ， � � PD  PB � ∵△BDP 是等边三角形， ∴PB=PD，∠BPD=60°， ∴∠APC=∠BPD， ∴∠APD=∠CPB， 在△APD 与△CPB 中， � AP  PC � �APD  �CPB ， � � PD  PB � ∴△APD≌△CPB(SAS)， ∴AD= BC； ∴∠PAD=∠PCB， ∴△APD≌△CPB(SAS)，∴AD= BC； ∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°， （2）由（1）得：△APD≌△CPB， ∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°， ∴∠PAD=∠PCB， 5．【详解】 （1）∵△ABC 和△CDE 为等边三角形， ∴∠AQC=180°-120°=60°． � AC  BC � �ACD  �BCE ， � � CD  CE � ∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°， ∴∠ACD=∠BCE， 在△ACD 与△BCE 中， ∴△ACD≌△BCE(SAS)， ∴AD=BE； （2）∵△ACD≌△BCE， ∴∠CAD=∠CBE， ∵∠APC=∠BPO， ∴∠BOP=∠ACP=60°， ∴∠AOE=180 � 60°=120°， 故答案为：120； （3）∵△ACD≌△BCE， ∴∠BAE=∠CAF=90°， ∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，即 ∠EAC=∠BAF， ∴∠CAD=∠CBE， ∵∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠BCQ=60°， 在△CQB 和△CPA 中， 在△ABF 和△AEC 中， � AE  AB � �EAC  �BAF ， � � AF  AC � ∴△ABF≌△AEC（SAS）， � �CBQ  �CAP � BC  AC � ， � �BCQ  �ACP  60� � ∴EC=BF，∠AEC=∠ABF， ∴△CQB≌△CPA（ASA）， ∴∠AEC+∠ADE=90°， ∴CP=CQ． ∵AE⊥AB， ∴∠BAE=90°， ∵∠ADE=∠BDM（对顶角相等）， ∴∠ABF+∠BDM=90°， 6．【详解】 在△BDM 中，∠BMD=180°-∠ABF- 解：EC=BF， EC⊥BF ∠BDM=180°-90°=90°， 证明如下：∵AE⊥AB，AF⊥AC， ∴EC⊥BF． Q BCD  ACE 7．【详解】 解：（1）证明：如图 1 中，Q ABC 与 DCE  �CBM  �CAN ， ． 都是等边三角形， 在 BCM 和 ACN 中  AC  BC ， CD  CE ， �CBM  �CAN � � �BC  AC ， � �ACB  �ACD � �ACB  �DCE  60� ， Q �ACB  �A