期末备考压轴题专项培优：特殊的平行四边形 1．如图，四边形 ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD（不含 B 点）上 任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60°得到 BN，连接 EN、AM、CM．设点 N 的坐标 为（m，n）． （1）若建立平面直角坐标系，满足原点在线段 BD 上，点 B（﹣1，0），A（0，1）． 且 BM＝t（0＜t≤2），则点 D 的坐标为　（1，0）　，点 C 的坐标为　（0，﹣1）　； 请直接写出点 N 纵坐标 n 的取值范围是　0＜n≤ 　； （2）若正方形的边长为 2，求 EC 的长，以及 AM+BM+CM 的最小值． （提示：连结 MN： ＝ +1， ＝ ﹣1） 解：（1）如图 1，以直线 BD 为 x 轴，直线 AC 为 y 轴，建立平面直角坐标系， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴OA＝OB＝OC＝OD， ∵点 B（﹣1，0），A（0，1）， ∴D（1，0），C（0，﹣1）； 过 N 作 NH⊥BD 于 h， ∴∠NHB＝90°， ∵将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60°得到 BN， ∴∠NBH＝60°，BM＝BN， ∴NH＝ BN＝ t， ∵0＜t≤2， ∴点 N 纵坐标 n 的取值范围是 0＜n≤ ； 故答案为：（1，0），（0，﹣1）；0＜n≤ ； （2）如图所示，连接 MN，过 E 作 EH⊥BC，交 CB 的延长线于 H， 由旋转可得，BM＝BN，∠NBM＝60°， ∴△BMN 是等边三角形， ∴MN＝BM， ∵△ABE 是等边三角形， ∴BE＝BA，∠ABE＝60°， ∴∠ABM＝∠EBN， ∴△ABM≌△EBN（SAS）， ∴AM＝EN， ∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM， ∴当 E，N，M，C 在同一直线上时，AM+BM+CN 的最小值是 CE 的长， 又∵∠ABE＝60°，∠ABH＝90°， ∴∠EBH＝30°， ∴Rt△EBH 中，EH＝ EB＝ ×2＝1， ＝ ∴BH＝ ∴CH＝2+ ＝ ， ， ∴Rt△CEH 中，CE＝ ∴AM+BM+CM 的最小值为 ＝ + ． ＝ ＝ ； 2．如图，在▱ABCD 中，∠BAD 的平分线交 BC 于点 E，交 DC 的延长线于 F，以 EC、CF 为邻边作▱ECFG． （1）证明▱ECFG 是菱形； （2）若∠ABC＝120°，连结 BD、CG，求∠BDG 的度数； （3）若∠ABC＝90°，AB＝6，AD＝8，M 是 EF 的中点，求 DM 的长． 解：（1）证明：， ∵AF 平分∠BAD， ∴∠BAF＝∠DAF， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE， ∴∠CEF＝∠CFE， ∴CE＝CF， 又∵四边形 ECFG 是平行四边形， ∴四边形 ECFG 为菱形； （2）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC， ∵∠ABC＝120°， ∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120° 由（1）知 ，四边形 CEGF 是菱形， ∴CE＝GE，∠BCG＝ ∠BCF＝60°， ∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°， ∵EG∥DF， ∴∠BEG＝120°＝∠DCG， ∵AE 是∠BAD 的平分线， ∴∠DAE＝∠BAE， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝BE， ∴BE＝CD， ∴△BEG≌△DCG（SAS）， ∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC， ∴∠BGD＝∠CGE， ∵CG＝GE＝CE， ∴△CEG 是等边三角形， ∴∠CGE＝60°， ∴∠BGD＝60°， ∵BG＝DG， ∴△BDG 是等边三角形， ∴∠BDG＝60°； （3）如图 2 中，连接 BM，MC， ∵∠ABC＝90°，四边形 ABCD 是平行四边形， ∴四边形 ABCD 是矩形， 又由（1）可知四边形 ECFG 为菱形， ∠ECF＝90°， ∴四边形 ECFG 为正方形． ∵∠BAF＝∠DAF， ∴BE＝AB＝DC， ∵M 为 EF 中点， ∴∠CEM＝∠ECM＝45°， ∴∠BEM＝∠DCM＝135°， 在△BME 和△DMC 中， ， ∵ ∴△BME≌△DMC（SAS）， ∴MB＝MD， ∠DMC＝∠BME． ∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°， ∴△BMD 是等腰直角三角形． ∵AB＝6，AD＝8， ∴BD＝10， ∴DM＝ BD＝5 ． 3 ． 如 图 ， 在 正 方 形 ABCD 中 ， 对 角 线 AC 、 BD 相 交 于 点 O ， 以 AD 为 边 向 外 作 等 边 △ADE，连接 CE，交 BD 于 F． （1）如图 1，若 AE＝ ，求 DF 的长； （2）如图 2，点 M 为 AB 的延长线上一点，连接 CM，连接 FM 且 FM 平分∠AMC，求 证：CM＝ MF﹣AM． 解：（1）如图 1，连接 OE，∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD＝CD，∠ADC＝90°，OA＝OD＝OB＝OC ∵△ADE 是等边三角形 ∴AD＝DE＝AE＝ ∴CD＝AD＝ ，∠ADE＝60° ，OD＝OB＝ ∵AE＝DE，OD＝OA ∴OE 垂直平分 AD 即 OE⊥AD，DH＝AH ∴OE＝OH+EH＝ + ＝ ， ∵∠ADC＝∠DHE＝90° ∴CD∥OE ∴△CDF∽△EOF ∴ ＝ ，即 DF＝ OF ∵DF+OF＝OD＝ ∴OF＝ ﹣DF ∴ （ DF＝ ﹣DF），解得：DF＝ ﹣1． （2）如图 2，连接 EO，过点 F 作 PQ⊥CD 交 EO 于 N，在 MA 上截取 MT＝MC，连接 FT，设正方形边长为 a， ∵四边形 ABCD 是正方形，△ADE 是等边三角形 ∴AD＝AB＝CD＝DE＝a，∠ADC＝∠DAB＝90°∠ADE＝60° 易证 OE⊥AD ∴OE＝ a，OD＝ a， 由（1）知△CDF∽△EOF ∴ ＝ ，即 ∵DF+OF＝ ∴OF＝ ∴ a•DF＝a•OF a a﹣DF a•DF＝a（ ∴DF＝ a﹣DF） a， ∵△DPF 是等腰直角三角形 ∴DP＝PF＝ ∴FQ＝a﹣ DF＝ a＝ ∵FM 平分∠AMC， ∴∠CMF＝∠AMF 在△MCF 和△MTF 中 a， a＝CP， ∴△MCF≌△MTF（SAS） ∴CF＝FT ∴Rt△CFP≌Rt△FTQ（HL） ∴QT＝PF＝ a， ∵AQ＝DP ∴AQ＝QT ∵BM+AB﹣AT＝MT＝CM ∴CM﹣BM ＝ AB﹣AT ＝ a﹣2× a+2BM＝ a＝ a ， CM+BM ＝ MT+BM ＝ BT+2BM ＝ a﹣2× a+2BM ∴CM2﹣BM2＝（CM﹣BM）（CM+BM）＝ a（ a+2BM） ∵CM2﹣BM2＝BC2＝a2， ∴ a+2BM）＝a2， a（ ∴BM＝ a 在 Rt△BCM 中，tan∠BMC＝ ＝ ＝ ， ∴∠BMC＝60° ∴∠AMF＝30° ∴ ＝cos∠AMF＝cos30°＝ ∴2MQ＝ MF ∵2MQ＝2BM+2BQ＝ 2BM+2BT+2QT＝（BM+BT）+（BM+BT+AT）＝CM+AM ∴CM+AM＝ MF 即 CM＝ MF﹣AM． 4．在菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°，BD 为菱形的一条对角线． （1）如图 1，过 A 作 AE⊥BC 于点 E，交 BD 于点 F，若 EF＝2，求菱形 ABCD 的面积； （2）如图 2，M 为菱形 ABCD 外一点，过 A 作 AN⊥BM 交 BM 的延长线于点 N，连接 AM，DM，AG⊥DM 于点 G，且∠AMN＝∠AMD，求证：DM＝BM+ （1）解：如图 1 中， AM． ∵四边形 ABC 都是菱形，∠ABC＝60°， ∴∠ABD＝∠DBC＝30°， ∵AE⊥BC， ∴∠BEF＝90°， ∵EF＝2， ∴BF＝2EF＝4，∠BFE＝60°， ∵∠BFE＝∠ABF+∠FAB， ∴∠ABF＝∠FAB＝30°， ∴BF＝AF＝4， ∴AE＝AF+EF＝6， ∴AB＝ ＝4 ∴BC＝AB＝4 ， ， ∴S 菱形 ABCD＝BC•AE＝24 ． （2）证明：如图 2 中， ∵∠AMN＝∠AMG，AN⊥MN，AG⊥DM， ∴AN＝AG， ∵∠MNA＝∠MGA＝90°，AM＝AM，AN＝AG， ∴Rt△MAN≌Rt△MAG（HL）， ∴NM＝MG， ∵∠ANB＝∠AGD＝90°，AN＝AG，AB＝AD， ∴Rt△ANB≌Rt△AGD（HL）， ∴∠ABN＝∠ADG，BN＝DG， ∴∠BMD＝△BAD＝120°， ∴∠NMG＝60°， ∴∠AMN＝∠AMG＝30°， ∴DM﹣BM＝MG+DG﹣（BN﹣MN）＝2MN＝ ∴DM＝BM+ AM， AM． 5．如图，点 A、B、C、D 在同一条直线上，点 E、F 分别在直线 AD 的两侧，且 AE＝ DF，∠A＝∠D，AB＝DC． （1）求证：四边形 BFCE 是平行四边形； （2）若 AD＝12，DC＝3，∠EBD＝60°，则 BE＝　6　时，四边形 BFCE 是菱形．（只 需完成填空，不需写出具体过程．） （1）证明：∵在△ABE 和△DCF 中， ∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴BE＝FC，∠ABE＝∠DCF， ∴∠EBC＝∠FCB， ∴BE∥FC， ∴四边形 BFCE 是平行四边形； （2）解：当四边形 BFCE 是菱形， 则 BE＝EC， ∵AD＝12，DC＝3，AB＝DC， ∴BC＝6， ∵∠EBD＝60°，EB＝EC， ∴△EBC 是等边三角形， ∴BE＝6． 故答案为：6． 6．已知：如图，在▱ABCD 中，G、H 分别是 AD、BC 的中点，E、O、F 分别是对角线 BD 上的四等分点，顺次连接 G、E、H、F． （1 ）求证：四边形 GEHF 是平行四边形； （2）当▱ABCD 满足　AB⊥BD　条件时，四边形 GEHF 是菱形； （3）若 BD＝2AB， ① 探究四边形 GEHF 的形状，并说明理由； ② 当 AB＝2，∠ABD＝120°时，直接写出四边形 GEHF 的面积． （1）证明：连接 AC，如图 1 所示： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∴BD 的中点在 AC 上， ∵E、O、F 分别是对角线 BD 上的四等分点， ∴E、F 分别为 OB、OD 的中点， ∵G 是 AD 的中点， ∴GF 为△AOD 的中位线， ∴GF∥OA，GF＝ OA，