专题 10.9 《相交线、平行线和平移》全章复习与巩固 （知识讲解） 【学习目标】 1． 熟练掌握对顶角，邻补角及垂线的概念及性质，了解点到直线的距离与两平行线间的 距离的概念； 2. 区别平行线的判定与性质，并能灵活运用； 3. 了解命题的概念及构成，并能通过证明或举反例判定命题的真假； 4. 了解平移的概念及性质. 【知识网络】 【要点梳理】 知识点一、相交线 1.对顶角、邻补角 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表： 图形 顶点 边的关系 ∠1 的两边与 对顶角 1 2 ∠1 与∠ 2 有公共顶点 ∠2 的两边互为 反向延长线 大小关系 对顶角相等 即∠1=∠2 ∠3 与∠4 有一 邻补角 有公共顶点 条边公共，另 一边互为反向 延长线. 邻补角互补即 ∠3+∠4=180 ° 要点诠释： ⑴ 对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角 .对顶角的特征:有公共顶点， 角的两边互为反向延长线. ⑵ 如果∠α 与∠β 是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α 与∠β 不 一定是对顶角. ⑶ 如果∠α 与∠β 互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则 ∠α 与∠β 不一定是邻补角.邻补角的特征:有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延 长线． ⑶ 两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个. 2.垂线及性质、点到直线的距离 （1）垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其 中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图 1 所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为 O. 要点诠释： 要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角， 两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直. （2）垂线的性质： 垂线性质 1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相 比较记). 垂线性质 2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段 最短. （3）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图 2：PO⊥AB，点 P 到直线 AB 的距离是垂线段 PO 的长. 要点诠释：垂线段 PO 是点 P 到直线 AB 所有线段中最短的一条. 知识点二、平行线 1．平行线的判定 判定方法 1：同位角相等，两直线平行． 判定方法 2：内错角相等，两直线平行． 判定方法 3：同旁内角互补，两直线平行． 要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有： （1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平 行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行. （4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2．平行线的性质 性质 1：两直线平行，同位角相等； 性质 2：两直线平行，内错角相等； 性质 3：两直线平行，同旁内角互补. 要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点． （2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直． 3．两条平行线间的距离 如图 3，直线 AB∥CD，EF⊥AB 于 E，EF⊥CD 于 F，则称线段 EF 的长度为两平行线 AB 与 CD 间的距离. 要点诠释： （1）两条平行线之间的距离处处相等. （2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离. 这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段 的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直 线上的一点到与之平行的另一直线的距离. （3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一 个量，它们之间不能等同. 知识点三、命题及平移 1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．每个命题都由题设、结论两部分组成.题设是已 知事项；结论是由已知事项推出的事项. 2.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移． 要点诠释：平移的性质： （1）平移后，对应线段平行（或共线）且相等； （2）平移后，对应角相等； （3）平移后，对应点所连线段平行（或共线）且相等； （4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形. 【典型例题】 类型一、相交线 1. a、b、c 是平面上任意三条直线，交点可以有（　　） 　 A．1 个或 2 个或 3 个 B．0 个或 1 个或 2 个或 3 个 　 C．1 个或 2 个 D．都不对 【思路点拨】根据三条直线两两平行，三条直线交于一点，两条直线平行与第三条直线相 交，三条直线两两相交不交于同一点，可得答案． 【答案】B 【解析】 解：三条直线两两平行，没有交点； 三条直线交于一点，有一个交点； 两条直线平行与第三条直线相交，有两个交点； 三条直线两两相交不交于同一点，有三个交点， 故选 B. 【总结升华】本题考查了相交线，分类讨论是解题关键：①三条直线两两平行，②三条直 线交于一点，③两条直线平行与第三条直线相交，④三条直线两两相交不交于同一点，注 意不要漏掉任何一种情况． 举一反三： 【变式】如图所示，已知∠AOD=∠BOC，请在图中找出∠BOC 的补角,邻补角及对顶角. 【答案】 解： 因为∠BOC＋∠AOC=180º（平角定义）, 所以∠AOC 是∠BOC 的补角. 因为∠AOD＋∠BOD=180º（平角定义）, ∠AOD=∠BOC（已知）, 所以∠BOC＋∠BOD=180º. 所以∠BOD 是∠BOC 的补角． 所以∠BOC 的补角有两个：∠BOD 和∠AOC. 而∠BOC 的邻补角只有一个∠AOC，且∠BOC 没有对顶角. 2. 已知：如图，直线 a、b、c 两两相交，且∠1＝2∠3，∠2=86°，求 ∠4 的度数. 【答案与解析】 解：根据对顶角相等, ∴∠1＝∠2＝86°. 又∵∠1＝2∠3，∴86°＝2∠3，∴∠3＝43°, 又∠3 与∠4 对顶角， 所以∠3=∠4＝43°. 【总结升华】涉及到角的运算时，充分利用已知条件和隐含条件（对顶角）是解题的关键． 性质是解答此类问题的关键. 类型二、平行线的性质与判定 3.如图，已知∠ADE = ∠B，∠1 =∠2，那么 CD∥FG 吗？并说明理由. 【答案与解析】 解：平行，理由如下： 因为∠ADE=∠B，所以 DE∥BC（同位角相等，两直线平行）， 所以∠1=∠BCD（两直线平行，内错角相等）. 又因为∠1=∠2（已知）， 所以∠BCD=∠2. 所以 CD∥FG（同位角相等，两直线平行）. 【总结升华】反复应用平行线的判定与性质，见到角相等或互补，就应该想到判断直线是 否平行，见到直线平行就应先想到角相等或角互补. 举一反三： 【变式】如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED 与∠ACB 的大小关系，并说明 理由． 【答案】∠AED=∠ACB，理由如下： ∵∠1＋∠2＝180°，又∠1＋∠4＝180°, ∴∠2＝∠4. ∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行）. ∴∠5＝∠3. 又∠3=∠B, ∴∠5＝∠B. ∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）. ∴∠AED=∠ACB(两直线平行,同位角相等). 类型三、命题及平移 4. 如图所示，请你填写一个适当的条件：________，使 AD∥BC． 【思路点拨】欲证 AD∥BC，结合图形，故可按同位角相等、内错角相等和同旁内角互补两 直线平行来补充条件． 【答案】∠FAD＝∠FBC，或∠ADB＝∠CBD，或∠ABC+∠BAD＝180°. 【解析】 解：本题答案不唯一，如：利用“同位角相等，两直线平行”，可添加条件∠ FAD＝∠FBC； 利用“内错角相等，两直线平行”，可添加条件∠ADB＝∠CBD；利用“同旁内角互补，两直 线平行”，可添加条件∠ABC+∠BAD＝180°． 【总结升华】这是一道开放性试题，分清题设和结论：结论： AD∥BC，题设可根据平行线 的判定方法，逐一寻找即可. 举一反三： 【变式】 下列说法中正确的个数是（　　） （1）在同一平面内，a、b、c 是直线，a∥b，b∥c，则 a∥c （2）在同一平面内，a、b、c 是直线，a⊥b，b⊥c，则 a⊥c （3）在同一平面内，a、b、c 是直线，a∥b，a⊥c，则 b⊥c （4）在同一平面内，a、b、c 是直线，a⊥b，b⊥c，则 a∥c． 　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 5.如图(1)，线段 AB 经过平移有一端点到达点 C，画出线段 AB 平移后的线段 CD． 【思路点拨】连接 AC 或 BC 便得平移的方向和距离． 【答案与解析】 解：如图(2)，线段 CD 有两种情况：(1)当点 A 平移到点 C 时，则点 D 在点 C 的下方，因 此下边线段 CD 即为所求；(2)当点 B 平移到点 C 时，则点 D 在点 C 的上方，上边线段 CD 即为所求． 【总结升华】平移是由平移的方向和距离决定的．本题中未指明哪一端点(A 还是 B)移动 到点 C，故应有两种情况：即点 A 平移到点 C 或点 B 平移到点 C． 举一反三： 【变式】下列说法错误的是（ ） A．平移不改变图形的形状和大小 B．平移中图形上每个点移动的距离可以不同 C．经过平移，图形的对应线段、对应角分别相等 D．经过平移，图形对应点的连线段相等 【答案】B 类型四、实际应用 6.如图，107 国道 a 上有一个出口 M，想在附近公路 b 旁建一个加油站，欲使通道最 短，应沿怎样的线路施工？ 【答案与解析】 解：如图，过点 M 作 MN⊥ b ，垂足为 N，欲使通道最短，应沿线路 MN 施工. 【总结升华】灵活运用垂线段最短的性质是解答此类问 题的关键.