专题 2：中考折叠类题目中的动点问题 折叠问题是中考的热点也是难点问题，通常与动点问题结合起来，这类问题的题设通常是将某个图形 按一定的条件折叠，通过分析折叠前后图形的变换，借助轴对称性质、勾股定理、全等三角形性质、相似 三角形性质、三角函数等知识进行解答。此类问题立意新颖，充满着变化，要解决此类问题，除了能根据 轴对称图形的性质作出要求的图形外，还要能综合利用相关数学模型及方法来解答。 类型一、求折叠中动点运动距离或线段长度的最值 例 1. 动手操作：在矩形纸片 ABCD 中，AB=3，AD=5. 如图例 1-1 所示，折叠纸片，使点 A 落在 BC 边 上的 A’处，折痕为 PQ，当点 A’在 BC 边上移动时，折痕的端点 P、Q 也随之移动. 若限定点 P、Q 分别在 AB、AD 边上移动，则点 A’在 BC 边上可移动的最大距离为 . 图例 1-1 【答案】2. 【解析】此题根据题目要求准确判断出点 A'的最左端和最右端位置.当点 Q 与点 D 重合时，A'的位置处 于最左端，当点 P 与点 B 重合时，点 A'的位置处于最右端. 根据分析结果，作出图形，利用折叠性质分别 求出两种情况下的 BA'或 CA'的长度，二者之差即为所求. ① 当点 Q 与点 D 重合时，A'的位置处于最左端，如图例 1-2 所示. 确定点 A'的位置方法：因为在折叠过程中，A'Q=AQ，所以以点 Q 为圆心，以 AQ 长为半径画弧，与 BC 的交点即为点 A'. 再作出∠A'QA 的角平分线，与 AB 的交点即为点 P. B A' 4 5 P A 5 C B(P) 3 D(Q) 3 A' 2 C 3 A Q D 图例 1-2 图例 1-3 由折叠性质可知，AD= A'D=5，在 Rt△A'CD 中，由勾股定理得， A ' C  A ' D 2  CD 2  52  32  4 ② 当点 P 与点 B 重合时，点 A'的位置处于最右端，如图例 1-3 所示. 确定点 A'的位置方法：因为在折叠过程中，A'P=AP，所以以点 P 为圆心，以 AP 长为半径画弧，与 BC 的交点即为点 A'. 再作出∠A'PA 的角平分线，与 AD 的交点即为点 Q. 由折叠性质可知，AB= A'B=3，所以四边形 AB A'Q 为正方形. 所以 A'C=BC－A'B=5－3=2. 综上所述，点 A 移动的最大距离为 4－2=2. 故答案为：2. 【点睛】此类问题难度较大，主要考察学生的分析能力，作图能力。作图的依据是折叠前后线段长度 不变，据此先找到点 A 的落点 A'，再根据对称轴（折痕）是对应点连线的垂直平分线，确定出折痕 PQ 的 位置. 利用勾股定理、正方形的判定定理及其性质求得相应的线段长度. 类型二、折叠问题中的类比问题 例 2. （1）操作发现 如图例 2-1，矩形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，将△ABE 沿 BE 折叠后得到△GBE，且点 G 在矩形 ABCD 内部．小明将 BG 延长交 DC 于点 F，认为 GF=DF，你同意吗？说明理由． （2）问题解决 AD 保持（1）中的条件不变，若 DC=2DF，求 AB 的值； （3）类比探求 AD 保持（1）中条件不变，若 DC=nDF，求 AB 的值． A E A D E D F F G G B C 图例 2-1 B C 图例 2-2 【答案】见解析. 【解析】（1）同意，理由如下： 如图例 2-2，连接 EF ∵E 是 AD 的中点 ∴AE=ED 由折叠及矩形性质得：AE=EG，∠EGF=∠D=90° 所以，EG=DE 在 Rt△EFG 和 Rt△EFD 中， ∵EF=EF EG=DE ∴Rt△EFG≌Rt△EFD （HL） ∴DF=FG （2）根据 DC=2DF，设 DF=FC=x，AE=ED=y 由折叠性质及（1）知 BF=BG+GF=AB+GF=3x 在 Rt△BCF 中，由勾股定理得： BF2=BC2+CF2 (3x)2=(2y)2+x2 即： y  2x AD 2 y   2 ∴ AB 2 x （3）设 AE=ED=y，DF=x，根据 DC=nDF，得 CD=nx，FC=(n－1)x； 由折叠性质及矩形性质知：BF=BG+GF=AB+GF=(n+1)x 在 Rt△BCF 中，由勾股定理得： BF2=BC2+CF2 [(n+1)x]2=(2y)2+[(n-1)x]2 即： y  nx AD 2 y 2 n ∴ AB  nx  n 【点睛】本题立意新颖，是河南中考首次采用此类型题目，给人一种耳目一新的感觉 . “操作发现—— 问题解决——类比探究”所展现的是数学研究的核心，即“提出问题——解决问题——理论扩展及应用”. 学 生需要具备完善的知识体系及一定的观察、计算能力才能完整解答此题. 本题的意义不仅在于考查学生对 折叠、矩形、全等三角形、勾股定理、解方程等知识的本质理解与掌握，在很大程度上是检验学生的学习 过程和学习方式，从一个新的数学角度考查了学生的数学思维能力． 类型三、折叠问题中的直角三角形存在性问题 例 3. 如图例 3-1，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3，点 D 是 BC 边上一动点（不与点 B、C 重合），过点 D 作 DE⊥BC 交 AB 边于点 E，将∠B 沿直线 DE 翻折，点 B 落在射线 BC 上的点 F 处， 当△AEF 为直角三角形时，BD 的长为 A A E B 图例 3-1 【答案】2 或 1. E C D F B 图例 3-2 D F C 图例 3-3 【解析】从题目所给的“当△AEF 为直角三角形时”条件出发，以直角顶点所在位置进行分类讨论. 通过 观察及分析可知∠BED=∠DEF=60°，所以∠AEF=180－120°=60°. 即点 E 不可能为直角顶点. 分两种情况考虑： ① 当∠EAF=90°时，如图例 3-2 所示. ∵∠B=30°，BC=3 3 �BC  �3= 3 ， ∴ AC  tan 30� AB  2 AC =2 3 3 ∵∠EAF=90° ∴∠AFC=60°，∠CAF=30° 在 Rt△ACF 中，有： AF �и AC cos CAF = 3 由折叠性质可得：∠B=∠DFE=30°， BD  DF  3 =2 ， 2 BF  2 AF  4 1 BF  2 2 ② 当∠AFE=90°时，如图例 3-3 所示. 由折叠性质得：∠B=∠DFE=30°， BD  DF  ∴∠AFC=60°，∠FAC=30° tan �FAC ∴ CF д 所以，BF=2， 3 3 AC BD  DF  3 1 1 BF  1 2 综上所述，BD 的长为 2 或 1. 1 BF  2 2 【点睛】本题难度适中，要求学生具备分类讨论思想及数形结合解决问题的能力，另外还需要熟练运 用勾股定理及相似三角形知识. 通过此题，可总结出：①遇到直角三角形存在性问题时，分类讨论的出发 点在于直角顶点的位置；②解决直角三角形存在性问题的方法是数形结合，先作出符合题意的图形，再用 勾股定理或相似三角形、三角函数性质解题. 例 4. 如图例 4-1，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，点 E 是 BC 边上一点，连接 AE，把∠B 沿 AE 折叠， 使点 B 落在点 B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE 的长为 A B' ． D A D B' B 图例 4-1 E C 图例 4-2 B E C 图例 4-3 【答案】3 或 1.5. 【解析】此题以“当△CEB′为直角三角形时”为突破口，分析可能是直角顶点的点，得出存在两种情况 ， 即点 B′及点 E 分别为直角顶点.分两种情况考虑： ① 当∠CEB′=90°时，如图例 4-2 所示. 由折叠性质得：AB=AB′，四边形 ABE B′是矩形. 所以四边形 ABE B′是正方形. 此时，BE=AB=3. ② 当∠CB′E=90°时，如图例 4-3 所示. 由折叠性质知，∠AB′C=90°，所以∠AB′C+∠CB′E=180°. ∴点 A、B′、C 共线 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 AC=5 由折叠得：AB= AB′=3 所以 B′C=2 设 BE=x，则 B′E=x，EC=4－x 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得：EC2=B′E2+B′C2 即：（4-x）2=x2+22 解得：x=1.5. 综上所述，BE 的值为 3 或 1.5. 【点睛】本题解题关键在准确对问题进行分类讨论且作出相应图形，要求学生掌握三点共线的理由， 折叠的性质及勾股定理的应用. 例 5. 如图例 5-1，在 AB MN 上的动点，沿 Rt ABC 中， 所在的直线折叠 形，则 BM 的长为 �A  90� AB  AC ， �B ，使点 B 的对应点 ， B' BC  2  1 始终落在边 ，点 AC M ， N 分别是边 BC ， 上.若 MB'C ． A ( B' ) A N B 图例 5-1 B' N M C B 图例 5-2 M 图例 5-3 2 1 2 或 1. 【答案】 【解析】通过观察及分析可知，C 点不可能为直角顶点，分两种情况讨论. ① 当∠CM B′=90°时，如图例 5-2 所示. 由折叠知：∠BMN=∠B′MB=45°，又因为∠B=45°，所以∠BNM=90°，∠MNB′=90° 即∠BNM+∠MN B′=180°，所以 B、N、B′三点共线，此时 B′与点 A 重合. 所以， BM  1 2 1 BC  2 2 ① 当∠CB′M=90°时，如图例 5-3 所示. 由折叠知∠B=∠B′=45°，因为∠C=45°，可得∠B′MC=45°，所以△B′MC 是等腰直角三角形 设 BM= B′M=x，B′C=x，则 MC= 2 因为 BC= 所以 x+ 2 +1 x= 为直角三角 2 +1 解得：x=1，即 BM=1. 综上所述，BM 的值为 2 1 2 或 1. 2 x C 【点睛】根据题意判断出 C 点不可能为直角顶点，分两种情况讨论，利用等腰直角三角形的三边关系 求解. 例 6. 如图例 6-1，在∠MAN=90°，点 C 在边 AM 上，AC=4，点 B 为边 AN 上一动点，连接 BC，△A’BC 与△ABC 关于 BC 所在直线对称. D、E 分别为 AC、BC 的中点，连接 DE 并延长交 A’B