专题 11.13 多边形的内角和（知识讲解） 【学习目标】 1.掌握多边形内角和与外角和公式； 2.灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的 推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力. 【知识点梳理】 知识点一、多边形内角和 n 边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 特别说明： (1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边 (n  2) g180° 数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于 ； n 知识点二、多边形的外角和 多边形的外角和为 360°． 特别说明： (1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和． n 边形 的外角和恒等于 360°，它与边数的多少无关； 360° (2)正 n 边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于 n ； (3)多边形的外角和为 360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边 形边数求各相等外角的度数． 【典型例题】 知识点一、多边形的内角和 1 1．若一个多边形的内角和的 4 比一个四边形的内角和多 90°，那么这个多边形的 边数是多少？ 1  n  2  �180� 360� 90�，解方程 【分析】设这个多边形的边数是 n，再列方程 4 即可得到答案． 解：设这个多边形的边数是 n， 1  n  2  �180� 360� 90�， 由题意得： 4 解得： n  12. 答：这个多边形的边数是 12． 【点拨】本题考查的是多边形的内角和定理，掌握利用一元一次方程解决多边形的内角和 问题是解题的关键． 举一反三： 【变式】 如图，在五边形 ABCDE 中，AP 平分 �EAB ，BP 平分 �ABC ． （1）五边形 ABCDE 的内角和为　 （2）若 　度； �C  100� �D  75� �E  135� ， ， ，求 �P 的度数． 【答案】（1）540；（2）65° 【分析】（1）根据多边形内角和公式计算即可； （2）用内角和减去 �C  100� �D  75� �E  135� ， ， 得到 �EAB ， �CBA 根据角平分线的性质、三角形的内角和即可计算． 解：（1）五边形 ABCDE 的内角和为 （2）∵在五边形 ABCDE 中， (5  2) �180� 540� �EAB  �ABC  �C  �D  �E  540� �C  100� �D  75� �E  135� ， ∴ ， ， �EAB  �ABC  230� ， ∵AP 平分 �EAB ，BP 平分 �ABC ， ， 的和，再 1 1 �PAB  �EAB �PBA  �ABC ∴ ， ， 2 2 ∴ ∴ �PAB  �PBA  115� ， �P  180�  (�PAB  �PBA)  65� ． 【点拨】本题考查了多边形的内角和计算，根据角平分线性质和三角形内角和定理计算角 的度数；掌握相关的基础知识是本题的关键． 知识点二、 正多边形内角问题 2．已知正多边形的每个内角都是 156°，求这个多边形的边数． 【答案】15 【分析】设这个多边形的边数为 n，根据多边形的内角和公式列出方程即可求出结论． 解：设这个多边形的边数为 n， 由题意得(n－2)×180＝156×n， 解得 n＝15， 即这个多边形的边数为 15． 【点拨】此题考查的是求正多边形的边数，掌握多边形的内角和公式是解决此题的关键． 举一反三： 【变式】如图，五边形 ABCDE 的每个内角都相等，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4．AC 与 DE 平行吗？请说明理由． 【答案】AC∥DE,理由见解析. 【解析】 【分析】由五边形 ABCDE 的内角都相等，先求出五边形的每个内角度数，再根据 ∠1=∠2=∠3=∠4=36°，从而求出∠CAD=108°-72°=36°，即可得出结论. 解：AC∥DE 理由：∵五边形 ABCDE 的内角和=540°，且每个内角都相等． ∴∠B=∠BAE=∠E=108°． ∵∠1=∠2=∠3=∠4． ∴∠1=∠2=∠3=∠4=（180°-108°）÷2=36° ∴∠CAD=108°－36°×2=36° ∴∠CAD=∠4 ∴AC∥DE 【点拨】本题主要考查了正五边形的内角和以及正五边形的有关性质．解此题的关键是能 够求出∠1=∠2=∠3=∠4=36°，和正五边形的每个内角是 108 度． 知识点三、多（少）算一个角的问题 3、一个多边形，除了一个内角之外，其余内角之和为 2680°，求这个内角的大小． 【答案】20°． 【分析】n 边形的内角和是（n-2）•180°，因而内角和一定是 180 度的倍数．而多边形的内 角一定大于 0，并且小于 180 度，因而内角和除去一个内角的值，这个值除以 180 度，所得 数值比边数要大，大的值小于 1．则用内角的和除以 180 所得值，加上 2，比这个数大的最 小的整数就是多边形的边数． 解：设多边形的边数为 x，由题意有 （x﹣2）•180=2680， 8 解得 x=16 9 ， 因而多边形的边数是 17， 则这一内角为（17﹣2）×180°﹣2680°=20°． 【点拨】考查了多边形内角与外角，正确理解多边形的内角和是 180 度的整数倍，以及多 边形的角的范围，是解题的关键． 举一反三： 【变式】如图是两位小朋友在探究某多边形的内角和时的一段对话，请根据他们的对话 内容判断他们是在求几边形？少加的内角为多少度？ 【答案】他们在求九边形的内角和；少加的那个内角为 120 度． 【分析】根据 n 边形的内角和公式，则内角和应是 180°的倍数，且每一个内角应大于 0°而 小于 180 度，根据这些条件进行分析求解即可． 解：1140°÷180°＝6…60°， 则边数是：6+1+2＝9； 他们在求九边形的内角和； 180°﹣60°＝120°， 少加的那个内角为 120 度． 【点拨】本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量 关系．注意多边形的一个内角一定大于 0°，并且小于 180 度． 知识点四、多边形截取一个角后的问题 4、如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别 ( 满足下列条件： 画出图形，把截去的部分打上阴影 ① ② ③ 新多边形内角和比原多边形的内角和增加了 ) 180o． 新多边形的内角和与原多边形的内角和相等． 新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了 180o ．  2  将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为 2520o ，求原多边形的边数． 【答案】（1）作图见解析；（2）15，16 或 17． 【分析】（1）①过相邻两边上的点作出直线即可求解； ② 过一个顶点和相邻边上的点作出直线即可求解； ③ 过相邻两边非公共顶点作出直线即可求解； （2）根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行 讨论． 解：  1 如图所示：  2  设新多边形的边数为 n， 则 180o  2520o  n  2 � ， 解得 ① ② ③ n  16 ， 若截去一个角后边数增加 1，则原多边形边数为 15， 若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为 16， 若截去一个角后边数减少 1，则原多边形边数为 17， 故原多边形的边数可以为 15，16 或 17． 【点拨】本题主要考查了多边形的内角和公式，注意要分情况进行讨论，避免漏解． 举一反三： 【变式】一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为 1080°，求原多边 形的边数． 【答案】7、8 或 9． 【解析】试题分析：根据切后的内角和可以求出切后的多边形边数，然后又知一个多 边形切去一个角可得到的多边形有三种可能，分别是比原边数少 1，相等，多 1.所以 可求得原多边形边数. 设切去一角后的多边形为 n 边形． 根据题意有(n－2)·180°＝1 080°.解得 n＝8. 因为一个多边形切去一个角后形成的多边形边数有三种可能：比原多边形边数小 1、 相等、大 1， 所以原多边形的边数可能为 7、8 或 9. 知识点五、正多边形外角问题 5、已知正多边形的一个外角等于 18 度，求这个正多边形的边数．是否存在一个 内角度数为 100 度的正多边形？如果存在,求出边数；如果不存在，请说明理由． 【答案】正 20 边形，不存在一个内角度数为 100 度的正多边形 【解析 根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数． 解：正多边形的一个外角等于 18°，且外角和为 360°， ∴这个正多边形的边数是：360°÷18°=20， 9 因为 360°÷(180°−100°)＝ 2 ，不是整数， 所以不存在一个内角度数为 100 度的正多边形． 举一反三： 【变式】如图，已知正五边形 ABCDE，M 是 CD 的中点，连接 AC，BE，AM. 求证：(1)AC＝BE； (2)AM⊥CD. 【分析】（1）先证明△ABC≌△EAB：AB=BC,AE=BA,∠ABC=∠EAB,所以全等,所以 AC=BE；（2）连接 AD,易证 AC=AD（三角形 ABC 全等于三角形 AED）,所以三角形 ACD 为等腰三角形,又 M 为 CD 中点,所以 AM 垂直于 CD 解：(1)由五边形 ABCDE 是正五边形，得 AB＝AE，∠ABC＝∠BAE，AB＝BC， ∴△ABC≌△EAB，∴AC＝BE. (2) 连接 AD，由五边形 ABCDE 是正五边形，得 AB＝AE，∠ABC＝∠AED， BC＝ED， ∴△ABC≌△AED， ∴AC＝AD. 又∵M 是 CD 的中点， ∴AM⊥CD. 【点睛】本题考核知识点：正多边形. 解题关键点：证三角形全等. 知识点六、多边形内角和外角综合问题 6、一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的一半． （1）求这个多边形是几边形； （2）求这个多边形的每一个内角的度数． 【答案】（1）这个多边形是六边形；（2）这个多边形的每一个内角的度数是 120°． 1 x 【分析】（1）先设内角为 x,根据题意可得:外角为 2 ,根据相邻内角和外角的关系可得:,x+ 1 x 2 =180°,从而解得:x=120°,即外角等于 60°,根据外角和等于 360°可得这个多边形的边数为: 360 60 =6, 1 1 x x （2）先设内角为 x,根据题意可得:外角为 2 ,根据相邻内角和外角的