费马点问题 若三角形内有一点，满足到三角形三顶点连线最短，则该点被称为“费马点”。 三角形中费马点分为两类：1、三角形三个顶角均小于 120°，则费马点与各定 点连线夹角均为 120°；2、三角形有一角大于或等于 120°，则费马点为这个角 顶点。一般情况下中学研究费马点情况属于第一种，证明方式如下： 例：如图，△ABC 中，∠BAC=30°，AB=3，AC=4，P 为三角形内一点， 求（PA+PB+PC）最小值。 证明方式如下： 如图，将△APB 绕 A 逆时针转 60°至△AP’B’，则 PB=P’B’，△APP’为等边 三角形，AP=PP’，即 AP+BP+CP=CP+PP’+P’B’，其中 C 和 B’为定点，通过 化折为直，最小值为线段 CB’的长。当取最小值时，∠APC=∠AP’B’=120°，可 反推得∠APB=∠BPC=∠APC=120°。最后∠CAB’=90°，利用勾股定理可解得 CB’=5 这就是费马点问题的一般解法，利用构造旋转全等将线段转移，且旋转角度一 定是 60°。 例 1. 如 图 ， △ ABC 中 ， AB=AC ， ∠ BAC=30° ， P 为 △ ABC 内 部 一 点 ， PA+PB+PC 最小值为 4 √2 ，求 BC 2 。 例 2.如图，△ABC 中，AB=5，AC=3，∠BAC=60°，P 为△ABC 内一点，求 （PA+PB+PC）最小值。 在上述问题中，P 与各点连线系数均为 1，那如果系数不为 1 时，是否还能 用同样方式求解呢。 如 图 ， △ ABC 中 ， AB=3 ， AC=2 ， ∠ BAC=30° ， P 为 平 面 内 一 点 ， 求 BP+ √ 3 AP+2 CP 最小值 对于这题，一般解题思路可以为结合常见费马点解题方法，同时构造出 √ 3 AP 和 2CP，由此可以考虑到结合含 30°角直角三角形，因此有了如下辅助 线构造： 将 △ APC 绕 A 逆 时 针 旋 转 60° 然 后 放 大 2 倍 ， 则 可 构 造 出 2CP ， 同 时 △ APP’ 为 30° 角 直 角 三 角 形 ， 有 PP’= √ 3 AP ，则 BP+ √ 3 AP+2 CP =BP+PP’+P’C’，其中 B 和 C’为定点，则四点共线时最短，接下来就是勾股运 算了。 那，是否只能旋转 60°呢？ 能否在上一问的条件下，求 BP+2 AP+ √3 CP 最小值呢 在这里，解题的关键就在于比例线段的构造，不妨参考一下上题中比例线段构 造中的线段对应，其中 AP 对应 PP’，是由特殊三角形的比值得到的，CP 对应 C’P’，是由相似构造得到的，若是要构造 2AP 和 √ 3CP ，则可怎样构造特殊 三角形和相似？ 如图，将△APC 绕 A 逆时针旋转 90°并放大 √3 倍得到△AP’C’，则问题同样 可转化为求 BP+PP’+P’C’最短 那么在这种题目中，我们需要考虑的是，若要求出最小值，关键点在旋转角度 与放缩比例，而这两个关键点由什么决定呢？ 例 3. 如 图 ， △ ABC 中 ， AB=AB=4 ， ∠ BAC=30° ， P 为 平 面 内 一 点 ， 求 CP+ √2 AP+BP 最小值 例 4.（1）在上一题条件下，求 （2）在上一题条件下，求 CP+ √5 AP+2BP 最小值 CP+3 AP+2 √2 BP 最小值 （3）在上一题条件下，求 3 CP+5 AP+4 BP 最小值 当费马点问题线段和中系数满足勾股定理时，我们可通过构造对应的直角 三角形解题，但是系数关系是否一定需要满足勾股定理呢。回顾上述题目，构 造的直角三角形能够带来的条件主要为一个特殊角 90°以及一条已知线段，用 作最后一步解三角形求 BC’长，但是是否只有直角三角形满足有特殊角和特定 比例线段呢？ 25 如图，△ABC 中，AB=3，AC= 8 ，∠BAC=60°，P 为平面内一点，求 5BP+7AP+8CP 最小值。 578 三角形是一类特殊三角形，其中 7 所对角为 60°，因此可以考虑利用这 个三角形构造相似三角形和特殊三角形来解题 如 图 ， 将 △ APC 绕 A 逆 时 针 转 60° 并 放 大 8 5 倍 ， 则 5BP+7AP+8CP=5（BP+PP’+P’C’），再解△ABC’即可。 因此，费马点问题可以进一步拓展，凡求三角形中三线段求和最小时，先 考虑系数组成三角形形状，再构造对应比例的相似三角形，确定旋转角和相似 比后即可求解。但是考虑到旋转之后的线段计算，因此系数必须要满足特定的 2 2 b +c −a 条件。如求（aPA+bPB+cPC)最小值，必定会有 2bc 2 为特殊值，如 1 √2 √3 2 、 2 、 2 等。 例 5.如图，△ ABC 中，∠ BAC=45°， AB=6，AC=4，P 为平面内一点，求 2 √ 2BP+ √5 AP+3 PC 最小值 例 6.如图，△ABC 中，∠BAC=30°，AB=6，AC=4，求 4 BP+ √ 13 AP+3CP 最小值 思考题：如图，ABCD 为矩形，AB= 4 √3 ，AD=4，EF 为 ABCD 内两点，求 （AF+DF+FE+CE+BE）的最小值