专题 1.18 有理数的除法（知识讲解） 【学习目标】 1. 理解乘法与除法的逆运算关系，会进行有理数除法运算； 2. 巩固倒数的概念，能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算； 3. 培养观察、分析、归纳及运算能力. 【要点梳理】 要点一、 1.倒数的意义： 乘积是 1 的两个数互为倒数． 特别说明： (1).“互为倒数”的两个数是互相依存的.如 - 2 的倒数是  1 1  2 和 2 是互相依存的； 2， (2).0 和任何数相乘都不等于 1，因此 0 没有倒数； (3).倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数； (4).互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)． 要点二、 2. 有理数除法法则： 1 a �b  a g (b �0) . 法则一：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数，即 b 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除． 0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0. 特别说明： （1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些． （2）因为 0 没有倒数，所以 0 不能当除数． （3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值． 要点三、有理数的乘除混合运算 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确 定积的符号，最后算出结果． 要点四、有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有 括号，则先算括号里面的． 【典型例题】 类型一、有理数的除法运算 1．计算：（1） （2） 1 1 1 1 (   ) �( ) （3） 6 4 2 24 ；（3） - 10 【答案】（1）5；（2） 【解析】试题分析:本题考查了有理数的乘法和除法.(1)把 - 8 - 和 - 0.125 交换到一起 计算;(2)把除法转化为乘法计算;(3)先把除法转化为乘法,再利用乘法的分配律计算. （1）( - 8)×5×( - 0.125) =( - 8)×( - 0.125)×5 =1×5=5； 1 1 5 � � （2）原式= 15 3 = ； (3)原式 举一反三： 5 4 0.75  � � 0.3 ； 【变式 1】 计算：（1）  1� �� 11 . � 3� � 0.33 ��   （2） 9 【答案】（1）2；（2） 100 - 【分析】把小数化为分数，把除法转化为乘法，再根据乘法法则计算即可； � 3 � 4 � 10 �  � � ��  � 解：（1）原式= � � 4�5 � 3 � 3 4 10 � � =4 5 3 =2； � 33 � �1�  � 3 ��  � � � （2）原式= � 100 � � 11 � 33 1 �3 � = 100 11  9 = 100 . - 【点睛】本题考查了两个有理数的除法法则，熟练掌握除以一个数等于乘以这个数的倒 数是解答本题的关键. � 2�� 8�  ���  �� 0.25  【变式 2】 � ； � 3�� 5� 5 【答案】 3  【解析】【分析】先根据除以一个数乘以这个数的倒数，把除法运算转化为乘法运算， 然后再根据乘法法则计算即可. � 2�� 8�  ���  �� 0.25  解： � � 3�� 5� � 2 �� 5 �  � ��  � � 4  =� � 3 �� 8 � 5 =- 3. 【点睛】本题考查了有理数的除法，熟练掌握除以一个数乘以这个数的倒数是解答本题 的关键.求一个小数的倒数时，要把小数化成分数求解. � 1 � �1 5 �  ���  � 【变式 3】 数学老师布置了一道思考题“计算： � � 12 � �3 6 �”，小明仔细思考了一 番用了如下方法解决了这个问题． �1 5 � � 1 � �1 5 �  ���  � �  � �(12)  4  10  6 小明的解法：原式的倒数为 � ， �3 6 � � 12 � �3 6 � � 1 � �1 5 � 1  ���  � 所以 � � 12 � �3 6 � 6 ． 请你运用小明的解法解答下面的问题． � 1 � �1 1 3 �  ���   � 计算： � � 24 � �3 6 8 �． 1 【答案】 13 ． - 【分析】求出原式的倒数，即可确定出原式的值． �1 解：原式的倒数为 � �3 1 3� � 1 �   ��� � 6 8 � � 24 � �1 1 3 �  �   ��( 24) �3 6 8 �  8  4  9  13 ， � 1 � �1 1 3 � 1  ���   �  则� � 24 � �3 6 8 � 13 ． 【点睛】本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 类型二、有理数加减乘除混合运算 2．计算：（1）  3   4    11   9  �2 1 1 �   � � 60  （2） � �3 12 15 � 2 � 2� 4 �  �  � � 30  （3） 3 � 3� 3 � 3 2 2 � 12  �� 3 �( )  2� （4） 4 � 3 � 13 【答案】(1) - 9；(2) - 31；(3) - 26；（4） 2 . 【分析】（1）根据有理数的加减运算法则计算即可；（2）利用乘法的分配律计算即可； （3）根据有理数的运算法则，先算乘除，再算加减即可；（4）根据有理数的混合运算顺 序依次计算即可. 解：（1）原式= - 3 - 4 - 11+9= - 9； （2）原式= - 40+5+4= - 31； 3 4 �  20 = - 26； （3）原式= 2 （4）原式= 3 � 4 3 13 � 1  �� 27 �  2 � 1  �(10)  4 � 9 4 2 . � 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟知有理数的运算法则及运算顺序是解决问题 的关键. 举一反三： 【变式 1】计算： 3�� 7 � � 5 � ��  ���  ��3 � � 5 �� 2 � � 4 �   1 � � 3 � � 5 25 � �� 10   � � � 5 �� 3 6 �   2 � � 5 【答案】 2  【分析】（1）根据有理数的乘除法的运算法则进行计算即可得到结果；（2）运用乘法 分配律把括号去掉，再进行计算即可. 3�� 7 � � 5 � ��  ���  ��3 � � 5 �� 2 � � 4 � . � 1 �   解： � 3 �� 7 �� 4 � 1 �  � ��  � ��  � � � 5 �� 2 �� 5 � 3 .  14 25 ； 3 � � 5 25 � �� 10   � � � 5 � � 3 6 �.   2 � � � 3� � 3 � 5 � 3 � 25 �  � �10  �  � � �  � � � 5� � 5� 3 � 5� 6 .  6  1   5 2. 5 2． 【点睛】本题主要考查学生依据四则运算计算方法正确进行计算的能力，关键是计算结 果要准确． 【变式 2】 计算 � 1 �� 6 � 2 �  � 4 � � 3 �� 7 �  � � �� � （1） � � 3 � � 7 �； � � �� � （2） � � 7 � � 14 � � 3 �； � 2�4 � 1� 5 �� 1 � � ��2 ��7 （3） � 7�5 � 4� 1 � 2 3�    �� 2  （4） 30 � � 3 5� 56 【答案】（1）2；（2） 9 ；（3） - 1；（4）0.  【分析】（1）把带分数化成假分数，再约分计算即可；（2）把除法转化为乘法，再进 行计算即可；（3）把除法转化为乘法，再进行计算即可；（4）把除法转化为乘法，再运 用分配律把括号展开，最后进行计算即可. � 1 �� 6 � 2 � ��  � 解：（1） � � 3 �� 7 � 7 6  �( ) = 3 7 7 6 � =3 7 =2； � 4 � � 3 �� 7 �  ���  � ��  � （2） � � 7 � � 14 � � 3 � 4 14 7  �( ) �( ) = 7 3 3 4 14 7  � � = 7 3 3 56 = 9 ；  � 2� 4 � 1� 5 �� 1 � � �� 2 ��7 （3） � 7� 5 � 4� 7 4 9 1 5 �( ) � �( ) � = 9 5 4 7 7 4 9 1 5 � � � � = 9 5 4 7 = - 1； 1 � 2 3�    �� 2  （4） 30 � � 3 5� 1 � 2 3 �� 1 �    � ��  � = 30 � � 3 5 �� 2 � 1 2 1 3 1  �  � = 30 3 2 5 2 1 1 3  + = 30 3 10 =0. 【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，在解答此类题目时要注意各种运算律的灵活 应用． 【变式 3】观察下列各等式，并回答问题： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1       1�2 2 ， 2 �3 2 3 ， 3 �4 3 4 ， 4 �5 4 5 ，… 1  （1）填空： n �(n  1) （n 为整数） 1 1 1 1 2 2 2 2 1 � �  （2）计算： 1�2  2 �3  3 �4  4 �5  � 8 �9 2 � �  （3）计算： 1�2  2 �3  3 �4  4 �5  � 2019 �2020 1 1 8 2019  【答案】（1） n n  1 ；（2） 9 ；（3） 1010 【分析】(1)首先观察出等式左边的式子分母是两个连续自然数的乘积，分子是 1，等式 右边的式子两个分数的差，分母仍然是对应的两个自然数，分子是 1，由此得出一般规律； (2)利用(1)的规律把算式展开就可以解答； (3)先提取 2 出来，然后再按(2)