6.1 平方根 【学习目标】 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 【知识总结】 一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数 还是 0）； x 的平方等于 a ，即 x2  a ,那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根（规定 0 的算术平方根 a 的算术平方根记作 a ，读作“ a 的算术平方根”， a 叫做被开方数. 【注】：当式子 a 有意义时， a 一定表示一个非负数，即 a ≥0， a ≥0. 2.平方根的定义 　 如果 x2  a ，那么 x 叫做 a 的平方根.求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运 � a (a �0) ，其中 a 是 a 的算术平方根. 算. a ( a ≥0)的平方根的符号表达为 二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同： 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0 的平方根和算术平方根均为 0． �a 和 a 【注】：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有 平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根. 因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 三、平方根的性质 �a � a | a | � 0 �a � 2  a 2 a a0 a0 a0  a �0  四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动 2 位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动 1 位. 例如： 62500  250 ， 625  25 ， 6.25  2.5 ， 0.0625  0.25 . 【典型例题】 【类型】一、平方根和算术平方根的概念 例 1．下列说法中，正确的是（　　） A．9 的平方根是 3 B． 25 的平方根是 5 C．任何一个非负数的平方根都是非负数 D．一个正数的平方根有 2 个，它们互为相反数 【答案】D 【解析】由一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根，即可 求得答案． 【详解】 A、9 的平方根是±3，故本选项错误； B、−25 的没有平方根，故本选项错误； C、任何一个非负数的算术平方根都是非负数，故本选项错误； D、一个正数的平方根有 2 个，它们互为相反数，故本选项正确． 故选：D． 【总结升华】此题考查了平方根的意义，属于基础题型． 【训练】下列运算错误的是（ ） A． 4 ＝±2 B． � 0. 01 ＝±0.1 C．﹣ 169 ＝﹣13 D． 16 4 81 ＝ 9 【答案】A 【解析】由算术平方根的含义判断 A ，由平方根的含义判断 方根的含义判断 D ，从而可得答案． 解：A、 4 =2 ， 4 ��2 ，故 A 错误； B、 � 0.01= �0.1 ，故 B 正确； C、  169  13 ，故 C 正确； B ，由算术平方根的相反数判断 C ，由算术平 16 4 = ，故 D 正确； 9 D、 81 故选：A． 【思路点拨】本题考查的是平方根，算术平方根的含义，掌握以上知识是解题的关键． 例 2、 填空： （1） 4 是 的负平方根． 1 （2） 16 表示 1  的算术平方根， 16 1 （3） 81 的算术平方根为 （4）若 x  3 ，则 x  1 ． ． ，若 x  3 ，则 x  2 1 1 ． 1 【思路点拨】（3） 81 就是 81 的算术平方根＝ 9 ，此题求的是 9 的算术平方根. 1 1 1 ; 【答案与解析】(1)16；(2) 16 4 (3) 3 (4) 9；±3 【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化. 【训练】下列说法错误的是（ ） A．9 的平方根是 �3 C．单项式 5x 【答案】B 2 3 y z 与 2x 2 y 3 z 是同类项 B．一个数的绝对值一定是正数 D．平方根是本身的数只有 0 【分析】由平方根、绝对值、同类项的定义，分别进行判断，即可得到答案． 解：A、9 的平方根是 �3 ，正确； B、一个数的绝对值一定是正数或 0，故 B 错误； C、单项式 5x 2 3 y z 与 2x 2 y 3 z 是同类项，正确； D、平方根是本身的数只有 0，正确； 故选：B． 【思路点拨】本题考查了平方根、绝对值、同类项的定义，解题的关键是熟记定义进行判断． 【训练】求下列各式的值： （1）3 25 （2） （3） 0.04  0.25 81  36 （4） 4 121 0.36 � 6 【答案】（1）15；（2）15；（3）－0.3；（4） 55 例 3、使代数式 x  1 有意义的 x 的取值范围是______________． 【答案】 x ≥ 1 ； 【解析】 x ＋1≥0，解得 x ≥ 1 . 【总结升华】当式子 【训练】已知 a 有意义时， a 一定表示一个非负数，即 a ≥0， a ≥0. ( x  1) 2  y  2  0 ，则（x+y）2 的算术平方根是_____． 【答案】1． 【分析】由非负性的应用，先求出 x、y 的值，然后代入计算，再计算算术平方根，即可得到答案． 解：由题意知，x﹣1＝0，y+2＝0， 解得，x＝1，y＝﹣2． ∴（x+y）2＝（1﹣2）2＝（﹣1）2＝1， ∴（x+y）2 的算术平方根是 1． 故答案为：1． 【思路点拨】本题考查了非负数的应用，以及算术平方根的定义，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正 确的进行解题． 【类型】二、利用平方根解方程 例 4 求满足条件的 x 值： （1） 3  x  1  12 2 【答案】（1） （2） x  3  5 2 x1  3 ， x2  1 ；（2） x1  2 2 ， x2  2 2 ． 【分析】（1）方程两边同除以 3，再运用直接开平方法求解即可； （2）方程移项后，再运用直接开平方法求解即可． 解：（1） 3  x  1  12 2  x  1 2 4 x  1  �2 解得， x1  3 ， x2  1 ； （2） x2  3  5 x2  8 ∴ ∴ x  �2 2 x1  2 2 ， x2  2 2 ． 【思路点拨】本题考查了平方根的应用，解决本题的关键是熟记平方根的定义． 【训练】求下列各式中的 x 的值： （1）x2=25； （2）（x-3）2=49． 【答案】(1) x=±5；(2) x= -4 或 x=10. 【分析】（1）根据开平方计算即可；（2）根据开平方计算即可． 解：（1）x2=5， 解得：x=±5； （2）(x-3)²=49， ∴x-3=±7, 解得： x= -4 或 x=10． 【点拨】本题考查平方根的计算，关键是根据平方根的定义进行计算． 【类型】三、平方根的整数部分和小数部分 例 5．如图，每个小正方形的边长均为 1 ，阴影部分是一个正方形． （1）阴影部分的面积是__________，边长是____________； （2）写出不大于阴影正方形边长的所有正整数； b a （3） 为阴影正方形边长的小数部分， 为 【答案】（1）13， 11 的整数部分，求 a  b 的值． 13 ；（2）不大于 13 的所有正整数为：1，2，3；（3） a  b  13 1 5 �5  4 � �2 �3  25  12  13 解：（1）阴影部分面积为： ， 2 ∵阴影部分是一个正方形， ∴边长为： 13 ， 故答案为：13， （2）不大于 （3）∵ ∴ ∵ 13 ． 13 的所有正整数为：1，2，3． 3  13  4 ， a  13  3 ， 3  11  4 ∴ ∴ b3 a  b  13  3  3  13 ． 【点拨】本题考查了无理数的估值及运算，解题的关键是掌握无理数的估值方法． 【训练】设 2+ 6 的整数部分和小数部分分别是 x、y，试求 x、y 的值与 x-1 的算术平方根． 3． 【答案】 【解析】试题分析：先找到 6 介于哪两个整数之间，从而找到整数部分，小数部分让原数减去整数部分， 然后代入求值即可． 试题解析：因为 4＜6＜9，所以 2＜ 即 6 ＜3， 6 的整数部分是 2， 所以 2+ 6 的整数部分是 4，小数部分是 2+ 6 -4= 6 -2， 即 x=4，y= 6 -2，所以 x  1  4  1 = 3 ． 考点：1．估算无理数的大小；2．算术平方根． 【类型】四、平方根的应用 例 6、某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积约为 1000 m2 的正方形空地上建一个篮球场， 28 已知篮球场的面积为 420 m ，其中长是宽的 15 倍，篮球场的四周必须留出 1 m 宽的空地，请你通过计算 2 说明能否按规定在这块空地上建一个篮球场？ 【答案】能按规定在这块空地上建一个篮球场． 【分析】先设篮球场的宽为 xm，列出方程求得篮球场的长和宽，再结合题即可判断能否按规定在这块空 地上建篮球场了. 28 解：设篮球场的宽为 x m，则长为 15 x m，根据题意，得 28 15 x·x=420，即 x2=225， ∵x 为正数， ∴x= 225 =15， ∴篮球场的长为 28 米， ∵ (28+2)2=900<1000， ∴能按规定在这块空地上建一个篮球场． 【训练】一个长，宽之比为 5∶2 的长方形过道面积为 10 m2 （1）求这个长方形过道的长和宽 （2）用 40 块大小一样的正方形地砖刚好把这个过道铺满，求这种地砖的边长 【答案】（1）长和宽分别为 5m、2m；（2）50cm 【分析】（1）根据比的关系设未知数，根据长方形面积列等式解出即可；（2）设边长为 am，根据 40 块 大小相同的正方形的面积等于过道的总面积列方程解出即可，注意单位． 解：（1）这个长方形过道的长为 5xm，宽为 2xm； 则 5x•2x=10， 10x2=10， x=±1， ∵x＞0， ∴x=1， 5x=5，2x=2，