专题 01 实数及其运算 考点 2016 年中考 实数的分类 实数的有关概念 2017 年中考 √ √ √ 题） 科学记数法 一、实数的定义与分类； 二、实数的有关概念； 三、平方根、算术平方根、立方根； 五、实数的运算（重点）。 √ 2020 年中考 √ 实数的运算（小 四、实数的大小比较； 2019 年中考 √ 平方根、立方根等 题） 实数的运算（大 2018 年中考 √ √ √ 知识思维导图： 实数的定义与分类 1、实数的概念 1、实数的概念 有理数：整数(包括：正整数、0、负整数)和分数(包括：有限小数和无限环循小数)都是有理数． 无理数：无限不环循小数叫做无理数如：π，－ 7 ，0.1010010001…(两个 1 之间依次多 1 个 0)． 实数：有理数和无理数统称为实数． 2、实数的分类 1、实数的分类 详见知识思维导图分类 2、在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，它包含两层意思：一是无限小数；二是不循环．二者 缺一不可．归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如 √ 7 , √3 2 等；  （2）有特定意义的数，如圆周率 π，或化简后含有 π 的数，如 3 +8 等； （3）有特定结构的数，如 0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如 sin60o 等 判断一个实数的属性(如有理数、无.神似”或“形似”都不能作为判 断的标准； 【典例】 1.（2017·上海中考真题）下列实数中，无理数是（　　） A．0 B． C．﹣2 D． 【答案】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项． 【解析】解：0，﹣2， 是有理数， 是无理数，故选：B． 2.实数 3. 14, 8,  A．3 9,  3 22 , 27,0. 505005000. . ., ,2 2 中，无理数有（ ）个． 2 7 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析析】 根据无理数的定义依次作出判断即可． 解：  9  3, 3 27  3 ， 由无理数的定义可知无理数有： 8,  ,0. 505005000. . .,2  2 2 ，共 4 个． 故选：B． 实数的有关概念 实数的有关概念 1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 （1）实数 a 的相反数是 -a； （2）a 和 b 互为相反数 ⇔ a+b=0 2、倒数： 1 （1）实数 a（a≠0）的倒数是 a ；（2）a 和 b 互为倒数 ⇔ ab=1 ；（3）注意 0 没有倒数 3、绝对值： （1）一个数 a 的绝对值有以下三种情况： |a|= {a , ¿ a ≻ 0| {0 , ¿ a=0| 4、实数与数轴 （1）数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。 （2）数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上 的唯一的点来表示。实数和数轴上的点是一一对应的关系。 1.实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对 值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。 2.去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进 行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。 【典例】 1. 下列各组数，互为相反数的是（ 1 A． 3 和 3  ） 2 B． (3) 和 3 2 3 C． ( 3) 或 3 27 D．  8 或 3 8 2 【答案】C 【解析】 分别化简各项，再根据相反数的定义判断． 1 解：A、 3 和 3 不互为相反数，故错误；  2 B、 (3) =3， 3 =3，不互为相反数，故错误； 2 3 C、 (3) =3， 27 =-3，互为相反数，故正确； 2 D、  3 8 =-2， 3 8 =-2，，不互为相反数，故错误； 故选 C． 2. 实数 a、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（　　） A．|a﹣b|＜1 B．|a|＜|b| a D． b ＜0 C．|a+1|+|1﹣b|＝a﹣b 【答案】D 【解析】 根据数轴上点的位置确定出 a 与 b 的取值范围，进而分别分析得出答案． 解：由数轴可得：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1， A、∵﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1， ∴﹣1＜﹣b＜0， ∴﹣3＜a﹣b＜1， ∴1＜|a﹣b|＜3，故此选项错误； B、∵﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1， ∴1＜|a|＜2，0＜|b|＜1， ∴|a|＞|b|，故此选项错误； C、∵﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1， ∴a+1＜0，1﹣b＞0， ∴|a+1|+|1﹣b|＝﹣（a+1）+（1﹣b）＝﹣a﹣1+1﹣b＝﹣a﹣b，故此选项错误； D、∵﹣2＜a＜﹣1＜0，0＜b＜1， a ∴ b ＜0，故此选项正确； 故选：D． 平方根、算术平方根、立方根 平方根、算术平方根、立方根 1 平方根的定义 2 如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根（或二次方根），即 x  a ，那么 x 就叫做 a 的平方根. 2. 平方根的性质与表示 （1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 有一个平方根，就是 0 本身；负数没有平方根. � a ”表示，其中 a 表示 a 的正平方根，叫做 a 的正平方根，也叫做 a （2）正数 a 的两个平方根可以用“ 的算术平方根；  a 表示 a 的负平方根. 3. 立方根的定义 如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根，也叫做三次方根，记做 √3 a a”，其中 a 叫做被开方数，3 叫做根指数. 4. 立方根的性质：任何实数都有唯一确定的立方根. （1）正数的立方根是一个正数； （2）负数的立方根是一个负数； （3）0 的立方根是 0． 【知识拓展】 n 次方根的性质 （1）实数 a 的奇次方根有且只有一个，用“ √n a ”表示； （2）正数 a 的偶次方根有两个，它们互为相反数，正 n 次方根用“ 负 n 次方根用“－ √n a ”表示（ a >0， n 是正偶数）； （3）负数的偶次方根不存在； （4）0 的 n 次方根等于 0，表示为“ √n 0=0 ”. 1.两个非负性：平方根被开方数的非负性； 算术平方根结果的非负性； 2.一个唯一：任何实数都有唯一确定的立方 √n a ”表示； ，读作“三次根号 根。 【典例】 1.（2019·上海中考真题）如果一个正方形的面积是 3，那么它的边长是 ． 【答案】 【解析】 解：∵正方形的面积是 3， ∴它的边长是 ． 故答案为： 2.下列说法错误的是（ ） 1 1 A． 25 的平方根是± 5 C． B．﹣9 是 81 的一个平方根 16 的算术平方根是 4 D． 3 27 ＝﹣3 【答案】C 【解析】 根据平方根的定义、算术平方根的定义、以及立方根的定义逐项分析即可． 1 1 1 1 解：A、因为（± 5 ）2＝ 25 ，所以 25 的平方根是± 5 ，故该选项说法正确； B、因为（﹣9）2＝81，所以﹣9 是 81 的一个平方根，关系选项说法正确； C、因为 16 ＝4，所以 16 的算术平方根 2，不是 4，故该选项说法错误； D、因为（﹣3）3＝﹣27，所以 3 27 ＝﹣3，故该选项说法正确； 故选择：C． 考向四 实数的大小比较 实数的大小比较 比较大小的几种常用方法 （1）数轴比较法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 （2）求差比较法：设 a、b 是实数， a −b >0 ⇔ a >b , a −b=0 ⇔ a=b , a −b <0 ⇔ a <b a a a （3）求商比较法：设 a、b 是两正实数， b >1 ⇔ a>b ; b =1 ⇔ a=b ; b <1 ⇔a<b ; |a|>|b|⇔ a<b （4）绝对值比较法：设 a、b 是两负实数，则 2 。 2 （5）平方比较法：设 a、b 是两负实数，则 a >b ⇔ a<b 。 （6）分类比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 根据近几年的真题本方向出现的概率交低， 但是对一些数据（特别是无理数）作出准确 的大小定性比较，对一些难题的选项排除， 大题的思路开展往往有微妙的作用。 【典例】 5 中，最小的一个数是_____． 1.已知在实数﹣2，﹣ 3 ，π， 【答案】-2 【解析】 根据任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于 0，负实数都小于 0，正实数大于一切负实数，两个负实 数绝对值大的反而小，分析得出答案． 解： 2   3  0  5   ． 故最小的是﹣2． 故答案为：﹣2． 考向五 实数的运算 1、实数的运算 1、加法： （1）同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。可使用加法交换 律、结合律。 2、减法： 减去一个数等于加上这个数的相反数。 3、乘法： （1）两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。 （2）n 个实数相乘，有一个因数为 0，积就为 0；若 n 个非 0 的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定， 当负因数有偶数个时，积为正；当负因数为奇数个时，积为负。 （3）乘法可使用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。 4、除法： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （2）除以一个数等于乘以这个数的倒数。 （3）0 除以任何数都等于 0，0 不能做被除数。 5、乘方与开方：乘方与开方互为逆运算。 2、实数的运算律 内容 运算法则 加法交换律 a+b=b+ a 加法结合律 (a+ b)+ c=a+(b+ c) 乘法交换律 ab=ba 乘法结合律 (ab) c=a (bc) 乘法对加法的分配律 a( b+c )=ab+ ac 【知识补充】 −p 1．负整数指数幂的概念： a = n 2．整数指数幂：当 a≠0 时， a 1 （a≠0，p 是自然数）。（中考热点） ap 就是整数指数幂，n 可以是正整数、负整数和零。 3. 分数指数幂的概念（中考热点） m 规定： a n  n a m ( a �0), a  m n  1 a  m n 1 n a m ( a  0, m, n均为正整数,） n 1 m ，其中 a n 与 a − m n 数幂， a 是底数。 （注：当 m 和 n 互素时， n 为奇数时