苏科版七年级数学下因式分解能力提高训练 一、学习目标 1．理解因式分解是代数式恒等变形的一种重要手段； 2．会用因式分解的方法解决一些较为复杂的问题． 二、典型例题 题型一、利用因式分解解决整除问题 例题 1． 1．对于任何整数 m，多项式（4m＋5）2－9 都能 （ 　） A．被 8 整除 B．被 m 整除 C．被（m－1）整除 D．被（2m－1）整除 变式 1．如果 259＋517 能被 n 整除，则 n 的值可能是 （ 　） A．20 B．30 C．35 D．40 变式 2．对于算式 20172－2017，下列说法不正确的是 （ 　） [来源:学科网 ZXXK] A．能被 2016 整除 B．能被 2017 整除 C．能被 2018 整除 D．不能被 2015 整除 变式 3．若 n 为任意整数，（n+11）2－n2 的值总可以被 k 整除，则 k 等于 （ 　） A．11 B．22 C．11 或 12 D．11 的倍数 变式 4．已知 248－1 可以被在 0～10 之间的两个整数整除，则这两个数是 （ 　） A．1、3 B．3、5 C．6、8 D．7、9 变式 5．m 为任意正整数，代入式子 m3－m 中计算时，其中正确的结果可能是 （ 　） A．148822 B．148824 C．148825 D．148829 题型二、利用因式分解整体计算 例题 2 1．已知 ab＝2，a－2b＝3，则 4ab2－2a2b 的值是 （ 　） A．6 B．－6 C．12 D．－12 变式 1．已知 a＝2018x＋2018，b＝2018x＋2019，c＝2018x＋2020，则 a2＋b2＋c2－ab－ac－bc 的值是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式 2．已知 d＝x4－2x3＋x2－12x－5，则当 x2－2x－5＝0 时，d 的值为 （ 　） A．25 B．20 C．15 D．10 变式 3．长和宽分别为 a，b 的长方形的周长为 14，面积为 10，则 a2b＋ab2 的值为 （ 　） A．24 B．35 C．70 D．140 变式 4．已知 a－b＝1，则 a3－a2b＋b2－2ab 的值为 （ 　） A．－2 B．－1 C．1 D．2 变式 5．已知 x2＋2x＝3，代数式 x4＋7x3＋8x2－13x＋15 的值为 （ 　） A．3 B．6 C．9 D．18 变式 6．若 m2＋m－1＝0，则 m3＋2m2＋2017 的值为 （ 　） A．2016 B．2017 C．2018 D．2019 变式 7．若 a＋b＝2，ab＝－3，则代数式 a3b＋2a2b2＋ab3 的值为　 　． 变式 8．已知 ab＝2，a－2b＝－3，则代数式 a3b－4a2b2＋4ab3 的值为　 　． 变式 9．阅读材料：“如果代数式 5a＋3b 的值为－4，那么代数式 2（a＋b）＋4（2a＋b）的值是多少？” 我们可以这样来解： 原式＝2a＋2b＋8a＋4b＝10a＋6b＝2（5a＋3b）＝2×（－4）＝－8 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： （1）已知 a2＋a＝0，求 a2＋a＋2016 的值； （2）已知 a－b＝－3，求 3（a－b）－a＋b＋5 的值； （3）已知 a2＋2ab＝－2，ab－b2＝－4，则 2a2＋5ab－b2＝　 　； （4）已知 a2－2a－4＝0，则 a3－8a＋ 4＝　 　． 题型三、利用因式分解局部恒等变形解决问题 例题 3．已知 a、b、c 是△ABC 的三条边，且满足 a2＋bc＝b2＋ac，则△ABC 是 （ 　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 变式 1．已知三角形的三边长分别是 a，b，c，且满足 a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca，则此三角形是 （ 　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 变式 2．已知 a，b，c 是三角形的三边，那么代数式（a－b）2－c2 的值 （ 　） A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不能确定 变式 3．已知△ABC 的三边长分别为 a、b、c，且 a、b、c 满足等式 3（a2＋b2＋c2）＝（a＋b＋c）2，则 该三角形是　 　三角形． [来源:学§科§网] 题型三、利用因式分解局部恒等变形解决问题 例题 4．若 a2＋2b2＋5c2＝4bc－2ab＋2c－1，求代数式 a－b＋c 的值． [来源:学#科#网] 变式 1．不论 a，b 为何有理数，a2＋b2－2a－4b＋c 的值总是非负数，求 c 的最小值． 三、能力提升 1．450－299 的计算结果是 （ 　） A．833 B．822 C．811 D．89 2．若实数 x 满足 x2－2x－1＝0，则 2x3－7x2＋4x－2018 的值为 （ 　） A．－2019 B．－2020 C．－2021 D．－2022 3．已知 a、b、c 是△ABC 的三边，且满足 a2－b2＋ac－bc＝0，则△ABC 的形状是 A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 （　　） D．无法确定 4．若 a2＋b2＋2a －6b ＋10＝0，则 ab 的值为　 　． 5．若 a＋b＝3，则 a2＋6b－b2 值为　 　． 6．如果一个三角形的三边长 a，b，c 满足 a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，则这个三角形的周长为　 　． 7．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如： 4＝22－02，12 ＝42－22，20＝62－42，因此 4，12，20 都是“神秘数”． （1）试分析 28 是否为“神秘数”； （2）2019 是“神秘数”吗？为 什么？ （3）说明两个连续偶数 2k＋2 和 2k（其中 k 取非负整数）构造的“神秘数”是 4 的倍数． （4）设两个连续奇数为 2k＋1 和 2k－1，两个连续奇数的平方差（k 取正整数）是“神秘数”吗？为什么？ 8．如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为 m 的大正方形，两块是边长都 为 n 的小正方形，五块是长为 m，宽为 n 的全等小矩形，且 m＞n．（以上长度单位：cm） （1）用含 m，n 的代数式表示所有裁剪线（图中虚线部分）的长度之和； （2）观察图形，发现代数式 2m2＋5mn＋2n2 可以因式分解为　 　； （ 3）若每块小矩形的面积为 10cm2，四个正方形的面积和为 58cm2，试求（m＋n）2 的值． 9．尝试探究并解答： （1）为了求代数式 x2＋2x＋3 的值，我们必须知道 x 的值，若 x＝1，则这个代数式的值为　 　；若 x ＝2，则这个代数式的值为　 　，可见，这个代数式的值因 x 的取值不同而　 　（填“变化”或“不 变”）．尽管如此，我们还是有办法来考虑这个代数式的值的范围． （ 2）本学期我们学习了形如 a2＋2ab＋b2 及 a2－2ab＋b2 的式子，我们把这样的多项式叫做“完全平方 式”，在运用 完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地， 把一个多项式进行部分因式分解可以解决代数式的最大（或最小）值问题，例如：x2＋2x＋3＝（x2＋ 2x＋1）＋2＝（x＋1）2＋2，因为（x＋1）2≥0，所以（x＋1）2＋2≥2，所以这个代数式 x2＋2x＋3 有 最小值是 2，这时相应的 x 的值是　 　． （3）猜想：① 4x2－12x＋13 的最小值是　 　；②－x2－2x＋3 有　 　值（填“最大”或“最小”） 10．先阅读下面的内容，再解决问题： 问题：对 于形如 x2＋2xa＋a2，这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x＋a）2 的形式．但对 于二次三项式 x2＋2xa－3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式 x2＋2xa－3a2 中先 加上一项 a2，使它与 x2＋2xa 的和成为一个完全平方式，再减去 a2，整个式子的值不变，于是有：x2＋ 2xa－3a2＝（x2＋2xa＋a2）－a2－3a2＝（x＋a）2－4a2＝（x＋a）2－4a2＝（x＋a）2－（2a）2＝（x＋ 3a）（x－a）像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变 的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题： （1）分解因式：a2－8a＋15； （2）若 a2＋b2－14a－8b＋65＋│m－c│＝0 ① 当 a，b，m 满足条件：2a×4b＝8m 时，求 m 的值； [来源:Zxxk.Com][来源:学*科*网 Z*X*X*K] ② 若△ABC 的三边长是 a，b ，c，且 c 边的 长为奇数，求△AB C 的周长．