2021 年九年级中考数学广东省广州市各区模拟真题汇编： 圆的压轴 1．（2021•花都区三模）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC 是⊙O 的直径． （1）尺规作图：在优弧 ACB 上作点 D，使得 AD＝AB；作射线 BD，与线段 AC 的延 长线交于点 E．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的条件下： ① 求证：△ABC∽△AEB； ② 若 AC＝1，CE＝3，求⊙O 的半径． 2．（2021•花都区二模）定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”， 例如：凸四边形 ABCD 中，若∠A＝∠C，∠B≠∠D，则称四边形 ABCD 为准平行四边 形． （1）如图（1），A、P、B、C 是⊙O 上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，延长 BP 到 Q，使 AQ＝AP．已知∠QAC≠∠QBC，求证：四边形 AQBC 是准平行四边形； （2）如图（2），准平行四边形 ABCD 内接于⊙O，AB≠AD，BC＝DC，若⊙O 的半 径为 5，AB＝6，求四边形 ABCD 的面积； （3）如图（3），在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，若四边形 ABCD 是准平行四边形，且∠BCD≠∠BAD，求 BD 长的最大值． 3．（2021•越秀区模拟）如图，在△ABC 中，AB＝AC，⊙O 为△ABC 的外接圆，且⊙O 的半径为 3，过 C 作 CD∥AB，CD 交⊙O 于 D，连接 AD 交 BC 于点 E． （1）尺规作图：延长 DC 至点 F，使 CF＝AC，连接 AF（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下， ① 求证：AF 是⊙O 的切线； ② 当点 C 在⊙O 上运动时，求 AB•FD 的最大值． 4．（2021•白云区二模）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，过点 C 的 圆与斜边 AB 相切于点 D，与 AC，BC 边分别交于点 E，F（异于 C 的交点）． （1）求 sinA 的值； （2）EF 的长是否有最小值？如果有，请求出该值；如果没有，请说明理由； （3）若△CEF 与△ABC 相似，连接 DE，求△ADE 的面积． 5．（2021•南沙区一模）如图，⊙O 的直径 AB 为 10cm，弦 AC 为 6cm． （1）作∠ACB 的角平分线交⊙O 于点 D，连接 AD、BD（尺规作图．并保留作图痕 迹）； （2）求线段 CD 的长度； （3）若点 G 在劣弧 BD 上由点 B 运动到点 D 时，求弦 CG 的中点 K 运动的路径长． 6．（2021•天河区校级二模）如图，以 Rt△ABC 的直角边 AB 为直径作⊙O 交斜边 AC 点 D，过圆心 O 作 OE∥AC，交 BC 于点 E，连接 DE． （1）判断 DE 与⊙O 的位置关系并说明理由； （2）求证：2DE2＝CD•OE； （3）若 tanC＝ ，DE＝ ，求 AD 的长． 7．（2021•花都区一模）已知，AB 是⊙O 的直径，AB＝ ，AC＝BC． （1）求弦 BC 的长； （2）若点 D 是 AB 下方⊙O 上的动点（不与点 A，B 重合），以 CD 为边，作正方形 CDEF，如图 1 所示，若 M 是 DF 的中点，N 是 BC 的中点，求证：线段 MN 的长为定 值； （3）如图 2，点 P 是动点，且 AP＝2，连接 CP，PB，一动点 Q 从点 C 出发，以每秒 2 个单位的速度沿线段 CP 匀速运动到点 P，再以每秒 1 个单位的速度沿线段 PB 匀速运 动到点 B，到达点 B 后停止运动，求点 Q 的运动时间 t 的最小值． 8．（2021•海珠区一模）如图，等边三角形△ABE 和矩形 ABCD 有共同的外接圆⊙O， 且 AB＝30． （1）求证：∠CED＝120°； （2）在劣弧 上有动点 F，连接 DF、CF、BF，DF 分别交 AE、AB 于点 M、P，CF 交 BE 于点 N． ① 设△MNF 与△CDF 的周长分别为 C1 和 C2，试判断 C2﹣C1 的值是否发生变化，若不 变则求出该值；若变化请说明理由； ② 若 PN＝5 ，求 BF 的长． 9．（2021•越秀区校级一模）如图，AB 为⊙O 的直径，C、D 是⊙O 上的点，P 是⊙O 外 一点，AC⊥PD 于点 E，AD 平分∠BAC． （1）求证：PD 是⊙O 的切线； （2）若 DE＝2，∠BAC＝60°，求⊙O 的半径． 10．（2021•越秀区校级模拟）AB 为⊙O 的直径，点 C、D 为⊙O 上的两个点，AD 交 BC 于点 F，点 E 在 AB 上，DE 交 BC 于点 G，且∠DGF＝∠CAB． （1）如图 1．求证：DE⊥AB． （2）如图 2．若 AD 平分∠CAB．求证：BC＝2DE． （3）如图 3．在（2）的条件下，连接 OF，若∠AFO＝45°，AC＝8，求 OF 的长． 11．（2020•长沙）如图，半径为 4 的⊙O 中，弦 AB 的长度为 4 ，点 C 是劣弧 上 的一个动点，点 D 是弦 AC 的中点，点 E 是弦 BC 的中点，连接 DE、OD、OE． （1）求∠AOB 的度数； （2）当点 C 沿着劣弧 从点 A 开始，逆时针运动到点 B 时，求△ODE 的外心 P 所经 过的路径的长度； （3）分别记△ODE，△CDE 的面积为 S1，S2，当 S12﹣S22＝21 时，求弦 AC 的长度． 12．（2020•光明区一模）在图 1 至图 3 中，⊙O 的直径 BC＝30，AC 切⊙O 于点 C，AC＝40，连接 AB 交⊙O 于点 D，连接 CD，P 是线段 CD 上一点，连接 PB． （1）如图 1，当点 P，O 的距离最小时，求 PD 的长； （2）如图 2，若射线 AP 过圆心 O，交⊙O 于点 E，F，求 tanF 的值； （3）如图 3，作 DH⊥PB 于点 H，连接 CH，直接写出 CH 的最小值． 13．（2014•攀枝花）如图，△ABC 的边 AB 为⊙O 的直径，BC 与圆交于点 D，D 为 BC 的中点，过 D 作 DE⊥AC 于 E． （1）求证：AB＝AC； （2）求证：DE 为⊙O 的切线； （3）若 AB＝13，sinB＝ ，求 CE 的长． 14．（2013•荆州）如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD 与 AB 相交于 E，DE＝EC，过点 B 的切线与 AD 的延长线交于 F，过 E 作 EG⊥BC 于 G，延长 GE 交 AD 于 H． （1）求证：AH＝HD； （2）若 cos∠C＝ ，DF＝9，求⊙O 的半径． 15．（2021•广州模拟）△ ABC 内接于⊙ O，BD⊥AC 于点 D，交⊙O 于点 E，连接 AE，∠AEB＝2∠ABE． （1）如图 1，求证：AC＝BC； （2）如图 2，作射线 CO，交线段 BD 于点 F，求证：DE＝DF； （3）如图 3，在（2）的条件下，连接 BO 并延长，交⊙O 于点 G，连接 AG，交弦 BE 于点 H，连接 EG、CH，若 EG＝DH，S△BCF＝15，求线段 CH 的长． 16．（2021•广州模拟）如图，Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，以 AB 为 直径的⊙O 交斜边 AC 于点 D． （1）如图 1，若 M 是 BC 的中点，求证：DM 是⊙O 的切线； （2）如图 2，设 E 是 BC 延长线上一动点，AE 交⊙O 于点 F，BF 交 AC 于点 G，连接 DF． （i）若 GB＝GC，求 CE 和 DF 的长； （ ii ） 求 的最大值为 　 　 ．（直接写出结果） 17．（2021•广州模拟）如图 1，点 E 为△ABC 边 AB 上的一点，⊙O 为△BCE 的外接圆， 点D为 上任意一点．若 AE＝AC＝2n，BC＝n2﹣1 ，BE＝n2﹣2n+1．（n≥2， 且 n 为正整数）． （1）求证：∠CAE+∠CDE＝90°； （2）如图 2，当 CD 过圆心 O 时， ① 将△ACD 绕点 A 顺时针旋转得△AEF，连接 DF，请补全图形，猜想 CD、DE、DF 之间的数量关系，并证明你的猜想； ② 若 n＝3，求 AD 的长． 参考答案 1．解：（1）如图，以点 A 为圆心，AB 为半径作弧，交在优弧 ACB 于点 D，连接 BD 并 延长 BD，交 AC 的延长线于点 E，则此图为所求图形； （2）①∵AD＝AB， ∴∠ADB＝∠ABD， ∵∠ACB＝∠ADB， ∴∠ACB＝∠ABD， 又∵∠BAC＝∠BAE， ∴△ACB∽△ABE； ②∵△ACB∽△ABE， ∴ ， ∴AB2＝AE•AC＝（3+1）×1＝4， ∴AB＝2， ∵BC 是直径， ∴∠BAC＝90°， ∴BC＝ ∴OB＝OC＝ ∴⊙O 的半径为 ＝ ＝ ， ， ． 2．证明：（1）∵∠APC＝∠CPB＝60°， ∴∠APQ＝60°，∠APB＝120°， ∵四边形 APBC 是圆的内接四边形， ∴∠APB+∠ACB＝180°， ∴∠ACB＝60°， ∵AQ＝AP，∠APQ＝60°， ∴△APQ 是等边三角形， ∴∠AQP＝60°＝∠ACB， 又∵∠QAC≠∠QBC， ∴四边形 AQBC 是准平行四边形； （2）如图（2）连接 BD， ∵四边形 ABCD 是圆内接四边形， ∴∠BAD+∠BCD＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°， ∵AC 不是直径， ∴∠ABC≠∠ADC， ∵四边形 ABCD 是准平行四边形， ∴∠BAD＝∠BCD，∠ABC≠∠ADC， ∴∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴BD 是直径， ∴BD＝10， ∵AB2+AD2＝BD2， ∴36+AD2＝100， ∴AD＝8， ∵BC2+CD2＝BD2，BC＝CD， ∴BC2＝50， ∵四边形 ABCD 的面积＝S△ABD+S△BCD， ∴四边形 ABCD 的面积＝ ×AB×AD+ ×BC×CD＝49； （3）如图③，作△ACD 的外接圆⊙O，过点 O 作 OE⊥AC 于 E，OF⊥BC 于 F， ∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2， ∴∠ABC＝60°，∠ABC＝60°，AC＝ BC＝2 ， ∵四边形 ABCD 是准平行四边形，且∠BCD≠∠BAD， ∴∠ABC＝∠ADC＝60°， ∴∠AOC＝120°，且 OE⊥AC，OA＝OC， ∴∠ACO＝∠CAO＝30°，CE＝AE＝ ， ∴OE＝1，CO＝2OE＝2， ∵OE⊥AC，OF⊥BC，∠ECF＝90°， ∴四边形 CFOE 是矩形， ∴CE＝OF＝ ，OE＝CF＝1， ∴BF＝BC+CF＝3， ∴BO＝ ＝ ＝2