专题 11.5 三角形高线、中线与角平分线（知识讲解） 【学习目标】 1. 理解三角形的高、中线、角平分线及垂心、重心、内心的概念，并能画出这个三角形 三条重要线段； 2.能进行三角形的高、中线、角平分线的有关计算； 3. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用． 【知识点梳理】 知识点一、三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形 的高线，简称三角形的高． 三角形的高的数学语言： 如图一，AD 是 ΔABC 的高，或 AD 是 ΔABC 的 BC 边上的高，或 AD⊥BC 于 D，或 ∠ADB＝∠ADC＝∠90°. 图一 图二 注意：AD 是 ΔABC 的高  ∠ADB＝∠ADC＝90°(或 AD⊥BC 于 D)； 特别说明：如图二 （1）三角形的高是线段；分别为 AD、BE、CF。 （2）三角形有三条高，且相交于一点 H，这一点 H 叫做三角形的垂心； （3）三角形的三条高： (ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部； (ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部； (ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点. (4) 三角形具有等积性，即通过此等式常常用于求 ADgBC  AC gBE  AB gCF , 线段的长。 (5) 角的等量关系：；；； �EHC = �BAC �DHC = � ABC �BHD = � ACB 知识点二、三角形的中线 三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线． 三角形的中线的数学语言： 1 如下图，AD 是 ΔABC 的中线或 AD 是 ΔABC 的 BC 边上的中线或 BD＝CD＝ 2 BC. 图三 图四 特别说明： （1）三角形的中线是线段； (2)三角形三条中线全在三角形内部； (3)三角形有三条中线而且三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心； (4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.如图四： S ADB  S ADC  S BEC  S BEA  S CFB  S CFA ( 5)、三角形的重心分得的三角形中线的比例关系： AG BG CG 2    AD BE CF 3 知识点三、三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角 形的角平分线. 三角形的角平分线的数学语言： 如下图，AD 是 ΔABC 的角平分线，或∠BAD＝∠CAD 且点 D 在 BC 上. 图五 图六 1 注意：AD 是 ΔABC 的角平分线  ∠BAD＝∠DAC＝ 2 ∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝ 2∠DAC) . 特别说明： （1）三角形的角平分线是线段； （2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部； （3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心； （4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线； （5） 如图六、平分平分和两平分线交于点，则 BE CF �ABC �ACB, 1 0 �BI C=90；  �BAC 2 I 图七 （6） 如图七：BE、CE分别为ABC内角和外角  �ABC 1 �ACD的角平分线并交于点E，则BEC=； � �BAC 2 知识点四、三角形的稳定性 三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳 定性. 特别说明： （1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变． （2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构， 它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏 门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理． （3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它 的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时 我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使 它不变形． 【典型例题】 类型一、三角形的高线 （1）、三角形高线的画法 1 如图，已知 ABC ，画出 ABC 的高 AD 和 CE． 解：如图，AD、CE 为所作． 【点拨】作三角形高线的方法：作一边上的高，就过这边所对的角的顶点作这边所在直线 的垂线段。此垂线段就是这边上的高。 （2）、三角形高线等面积法的计算 2. 如图，已知 ABC ，按要求作图． （1）过点 A 作 BC 的垂线段 AD ； （2）过 （3） C 作 AB AB  15 ， 、 AC 的垂线分别交 BC  7 ， AC  20 AB ， 于点 E AD  12 、 F ； ，求点 C 到线段 AB 的距离． 28 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）点 C 到线段 AB 的距离为 5 ． 【分析】（1）、（2）根据几何语言作图； 1 1 （3）利用三角形面积公式得到 2 gABgCE  2 gBC gAD ，然后把 AB  15 ， BC  7 ， AD  12 代入计算可求出 CE 解：（1）如图， AD 为所作； （2）如图， CE 、 CF 为所作； 1 1 （3）Q S ABC  2 gAB gCE  2 gBC gAD ，  CE  BC gAD 7 �12 28   AB 15 5 ， ． 28 即点 C 到线段 AB 的距离为 5 ． 【点拨】本题考查了作图以及三角形高线的定义，熟练掌握面积法求高线是解题关键. 类型二、三角形的中线 1）三角形中线中有关线段和角的计算 3.如图，AD 为 VABC 的中线，BE 为 △ ABD 的中线． （1）∠ABE=15°，∠BAD=40°，求∠BED 的度数； （2）若 VABC 的面积为 40，BD 边上的高为 5，BD 为多少？ 【答案】（1） 55� ；（2） BD  8 ． 【分析】 （1）直接根据三角形的外角性质即可得； （2）先根据三角形的面积公式可得 BC  16 ，再根据三角形中线的定义即可得． 解：（1）∵ �BED 是 △ ABE 的外角， ∴ �BED  �ABE  �BAD 又∵ ∴ �ABE  15� �BAD  40� ， ， �BED  15� 40� 55� ； QVABC （2） ， 的面积为 40，BD 边上的高为 5， 1  �5BC  40 ， 2 解得 BC  16 ， Q AD 为 VABC  BC  2 BD 即 BD  的中线， ， 1 BC  8 ． 2 【点拨】本题考查了三角形的外角性质、三角形中线的定义等知识点，熟练掌握三角形 的相关知识是解题关键． 2）与三角形重心有关线段和面积的计算 S BGC  4. 已知点 G 是 ABC 的重心，连接 BG 、 GC ，那么 SABC _________． 1 【答案】 3 【分析】直接根据三角形重心的性质进行解答即可． 解：连接 AG 并延长交 BC 于 D ∵点 G 为△ABC 的重心， ∴AG=2DG， 1 ∴△DGC 的面积等于△ADC 面积的 3 ， 1 △DGB 的面积等于△ADB 面积的 3 ， 1 ∴△DGC 的面积+△DGB 的面积= 3 （△ADC 的面积+△ADB 的面积） 1 ∴△BCG 的面积= 3 △ABC 的面积 S BGC 1  ∴ SABC 3 1 故答案为： 3 【点拨】本题考查的是三角形的重心，熟知三角形的重心是三角形三边中线的交点是解答 此题的关键． 举一反三： 【变式 1】 如图，点 G 为△ABC 的重心，AG＝4，则中线 AD 的长为________． 【答案】6 【分析】根据 G 是△ABC 的重心，利用重心的性质求出 GD，然后再将 AG+GD 即可 求出 AD． 解：∵G 是△ABC 的重心，AD 是中线，AG=4， ∴AG:GD=2:1， ∴GD=2 ∴AD=AG+GD=6． 故答案为：6． 【点拨】此题主要考查了三角形重心的性质这一知识点，比较简单，要求同学们应熟练 掌握． 类型三、三角形的角平线 1）与三角形的角平分线的有关角和线段计算 5． 如图，已知 AD∥BC，∠B=30°，DB 平分∠ADE，则∠DEC=______． 【答案】60° 【分析】 由 AD∥BC，∠B=30°，根据平行线的性质，可得∠ADB=30°，又由 DB 平分∠ADE，可 求得∠ADE 的度数，继而求得答案． 解：∵AD∥BC，∠B=30°， ∴∠ADB=∠B=30°， ∵DB 平分∠ADE， ∴∠ADE=2∠ADB=60°， ∵AD∥BC， ∴∠DEC=∠ADE=60°． 【点拨】此题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．此题难度不大，注意掌握数 形结合思想的应用． 举一反三： 【变式 1】 已知：如图 上， BE 平分 （1）当点 A �ABN 、 B ， �MON  90� ，与点 BE 所在的直线与 分别在射线 OM 、 ON O 不重合的两点 �OAB 上，且 A 、 B 分别在 OM 的平分线所在的直线相交于点 �BAO  45� 时，求 �ACB C 、 ON ． 的度数； （2）当点 A 、 B 分别在射线 OM 、 ON 上运动时， �ACB 的大小是否发生变化？若不 变，请给出证明；若发生变化，请求出 �ACB 的范围． 【答案】（1）45°；（2）不变，45° 【分析】（1）由题意，先求出 �ABN  135� ，由角平分线的定义，求出 �ABE  67.5� �BAC  22.5� ，由三角形外角的性质，即可求出答案； （2）由三角形的外角性质，得 �ACB  �ABE  �BAC ，再根据角平分线的定义即 可求出答案． 解：（1）∵ ∴ ∵ �MON  90� ，即 �AOB  90� �BAO  45� ， ， �ABN  �AOB  �BAO  135� ， BE 平分 �ABN AC ， 平分 �BAO ， 1 1 �ABE  �ABN  67.5� �BAC  �BAO  22.5� ∴ ， ， 2 2 ∴ �ACB  �ABE  �BAC  67.5� 22.5� 45� ． （2） �ACB 的大小不会发