2021-2022 学年冀教新版九年级下册数学《第 30 章 二次函 数》单元测试卷 一．选择题 1．下列关于 x 的函数一定为二次函数的是（　　） A．y＝2x+1 B．y＝﹣5x2﹣3 D．y＝x3+x+1 的开口向下，则 m 的值为（　　） 2．若抛物线 y＝（1+m） A．2 C．y＝ax2+bx+c B．﹣2 C．±2 D．1 3．下列各式中，y 是 x 的二次函数的是（　　） A．y＝ax2+bx+c B．x2+y﹣2＝0 C．y2﹣ax＝﹣2 D．x2﹣y2+1＝0 4．在同一平面直角坐标系中，函数 y＝mx+m 和函数 y＝﹣mx2+2x+2（m 是常数，且 m≠0） 的图象可能是（　　） A． B． C． D． 5．对于二次函数 y＝2（x﹣1）2﹣3，下列说法正确的是（　　） A．图象开口向下 B．图象和 y 轴交点的纵坐标为﹣3 C．x＜1 时，y 随 x 的增大而减小 D．图象的对称轴是直线 x＝﹣1 6．二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＜0 C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＞0，b＜0，c＞0 7．已知点（1，y1），（﹣2，y2），（3，y3）都在函数 y＝﹣2x2 的图象上，则（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3 8．抛物线 y＝3（x﹣2）2+1 图象上平移 2 个单位，再向左平移 2 个单位所得的解析式为（ ） A．y＝3x2+3 B．y＝3x2﹣1 C．y＝3（x﹣4）2+3 D．y＝3（x﹣4）2﹣1 9．在同一平面直角坐标系中，反比例函数 y＝﹣ （k≠0）与二次函数 y＝x2﹣kx﹣k 的大致 图象是（　　） A． B． C． D． 10．正方形 ABCD 中，AB＝4，P 为对角线 BD 上一动点，F 为射线 AD 上一点，若 AP＝ PF，则△APF 的面积最大值为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 二．填空题 11．关于 x 的函数 y＝（m﹣2）x|m|﹣4 是二次函数，则 m＝　 　． 12．当 m＝　 　时，函数 y＝（m﹣1） 13．如果 y＝（m﹣2） 是关于 x 的二次函数． 是关于 x 的二次函数，则 m＝　 　． 14．若直线 y＝m（m 为常数）与函数 y＝ 的图象恒有三个不同的交点，则常 数 m 的取值范围是　 　． 15．抛物线 y＝ax2﹣3x+a2﹣1 如图所示，则 a＝　 　． 16．抛物线 y＝（x+2）2+1 的顶点坐标为　 　． 17．如图所示，二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，有下列 4 个结论：① abc＞0；② b＞ a+c；③ 4a+2b+c＞0；④ b2﹣4ac＞0；其中正确的是　 　． 18．将 y＝﹣2（x﹣1）2+6 的图象先向左平移 2 个单位，再向下平移 5 个单位，则最终所得 图象的函数表达式为 　 　． 19．二次函数 y＝ax2+bx+c 图象上部分点的坐标满足下表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 … 则该函数图象的顶点坐标为　 　． 20．如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E 为边 AD 上一动点，连接 BE，CE，以 CE 为边向 右侧作正方形 CEFG． （1）若 BE＝5，则正方形 CEFG 的面积为　 　； （2）连接 DF，DG，则△DFG 面积的最小值为　 　． 三．解答题 21．已知函数 y＝（m﹣1） +4x﹣5 是二次函数． （1）求 m 的值； （2）写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标． 22．已知函数 y＝（m2+2m）x2+mx+m+1， （1）当 m 为何值时，此函数是一次函数？ （2）当 m 为何值时，此函数是二次函数？ 23．已知点 A（a，7）在抛物线 y＝x2+4x+10 上． （1）求点 A 的坐标； （2）求抛物线的对称轴和顶点坐标． 24．已知：二次函数 y＝x2﹣4x+3a+2（a 为常数）． （1）请写出该二次函数的三条性质； （2）在同一平面直角坐标系中，若该二次函数的图象在 x≤4 的部分与一次函数 y＝2x﹣ 1 的图象有两个交点，求 a 的取值范围． 25．已知函数 y＝（m2+m） ． （1）当函数是二次函数时，求 m 的值；　 　； （2）当函数是一次函数时，求 m 的值．　 　． 26．抛物线 y＝﹣x2+（m﹣1）x+m 与 y 轴交于（0，3）点． （1）求出 m 的值并画出这条抛物线； （2）求它与 x 轴的交点和抛物线顶点的坐标； （3）x 取什么值时，抛物线在 x 轴上方？ （4）x 取什么值时，y 的值随 x 值的增大而减小？ 27．某班“数学兴趣小组”对函数 y＝x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请 补充完整． （1）自变量 x 的取值范围是全体实数，x 与 y 的几组对应值列表如下： x … ﹣3 y … 3 ﹣ ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … m ﹣1 0 ﹣1 0 3 … 其中，m＝　 　． （2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部 分，请画出该函数图象的另一部分． （3）观察函数图象，写出两条函数的性质． （4）进一步探究函数图象发现： ① 函数图象与 x 轴有　 　个交点，所以对应的方程 x2﹣2|x|＝0 有　 　个不相等的实 数根； ② 方程 x2﹣2|x|＝2 有　 　个不相等的实数根； ③ 关于 x 的方程 x2﹣2|x|＝a 有 4 个不相等的实数根时，a 的取值范围是　 　． 参考答案与试题解析 一．选择题 1．解：A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不合题意； B、是二次函数，故此选项符合题意； C、当 a＝0 时，不是二次函数，故此选项不合题意； D、x 的最高次数是 3，故不是二次函数，故此选项不合题意； 故选：B． 的开口向下，得 2．解：由 y＝（1+m） ， m＝﹣2，m＝2（不符合题意要舍去）， 故选：B． 3．解：A、y＝ax2+bx+c，应说明 a≠0，故此选项错误； B、x2+y﹣2＝0 可变为 y＝﹣x2+2，是二次函数，故此选项正确； C、y2﹣ax＝﹣2 不是二次函数，故此选项错误； D、x2﹣y2+1＝0 不是二次函数，故此选项错误； 故选：B． 4．解：当 m＞0 时，函数 y＝mx+m 的图象经过第一、二、三象限，函数 y＝﹣mx2+2x+2 的 图象开口向下， ∴C 选项不符合题意； 当 m＜0 时，﹣ ＝ ＜0， ∴函数 y＝mx+m 的图象经过第二、三、四象限，函数 y＝﹣mx2+2x+2 的图象开口向上， 且对称轴在 y 轴左侧，D 选项符合题意． 故选：D． 5．解：A、y＝2（x﹣1）2﹣3， ∵a＝2＞0， ∴图象的开口向上，故本选项错误； B、y＝2（x﹣1）2﹣3＝2x2﹣4x﹣1， 即图象和 y 轴的交点的纵坐标是﹣1，故本选项错误； C、∵对称轴是直线 x＝1，开口向上， ∴当 x＜1 时，y 随 x 的增大而减少，故本选项正确； D、图象的对称轴是直线 x＝1，故本选项错误； 故选：C． 6．解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴在 y 轴右侧， ∴a 与 b 异号， ∴b＜0， ∵抛物线与 y 轴交于正半轴， ∴c＞0， 故选：D． 7．解：∵点（1，y1），（﹣2，y2），（3，y3）都在函数 y＝﹣2x2 的图象上， ∴y1＝﹣2×12＝﹣2，y2＝﹣2×（﹣2）2＝﹣8，y3＝﹣2×32＝﹣18， ∴y3＜y2＜y1， 故选：C． 8 ． 解 ： y ＝ 3 （ x﹣2 ） 2+1 图 象 上 平 移 2 个 单 位 ， 再 向 左 平 移 2 个 单 位 得 y ＝ 3 （ x﹣ 2+2）2+1+2，即 y＝3x2+3． 故选：A． 9．解：当 k＞0 时，反比例函数 y＝﹣ （k≠0）的图象经过二、四象限，二次函数 y＝x2﹣ kx﹣k 图象的对称轴 x＝ 在 y 轴右侧，并与 y 轴交于负半轴，则 C 选项不符合题意，D 选项符合题意； 当 k＜0 时，反比例函数 y＝﹣ （k≠0）的图象经过一、三象限，二次函数 y＝x2﹣kx﹣k 图象的对称轴 x＝ 在 y 轴左侧，并与 y 轴交于正半轴，则 A、B 选项都不符合题意； 故选：D． 10．解：作 PM⊥AD 与 M， ∵BD 是正方形 ABCD 的对角线， ∴∠ADB＝45°， ∴△PDM 是等腰直角三角形， ∴PM＝DM， 设 PM＝DM＝x，则 AM＝4﹣x， ∵AP＝PF， ∴AM＝FM＝4﹣x， ∴AF＝2（4﹣x）， ∵S△APF＝ AF•PM， ∴S△APF＝ ×2（4﹣x）•x＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4， ∴当 x＝2 时，S△APF 有最大值 4， 故选：C． 二．填空题 11．解：由题意得：|m|＝2，且 m﹣2≠0， 解得：m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 12．解：依题意可知 m2+1＝2 得 m＝1 或 m＝﹣1 又因为 m﹣1≠0 ∴m≠1 ∴当 m＝﹣1 时，这个函数是二次函数． 13．解：根据二次函数的定义：m2﹣m＝2，m﹣2≠0， 解得：m＝﹣1， 故答案为：﹣1． 14．解：如图所示：当 x＝2 时，y＝2， 故直线 y＝m（m 为常数）与函数 y＝ 的图象恒有三个不同的交点， 则常数 m 的取值范围是：0＜m＜2． 故答案为：0＜m＜2． 15．解：∵二次函数的图象过原点（0，0）， 代入抛物线解析式，得 a2﹣1＝0， 解得 a＝1 或 a＝﹣1， 又∵抛物线的开口向下，故 a＜0， ∴a＝﹣1． 16．解：由抛物线的顶点坐标可知，抛物线 y＝（x+2）2+1 的顶点坐标是（﹣2，1）． 故答案为：（﹣2，1）． 17．解：①∵抛物线的开口向下，对称轴为 x＝1，抛物线与 y 轴的交点在 y 轴正半轴， ∴a＜0，b＝﹣2a＞0，c＞0， ∴abc＜0，结论①不符合题意； ②∵当 x＝﹣1 时，y＜0， ∴a﹣b+c＜0， ∴b＞a+c，结论②符合题意； ③∵抛物线的对称轴为 x＝1， ∴当 x＝0 与 x＝2 时，y 值相等． ∵抛物线与 y 轴的交点在 y 轴正半轴， ∴4a+2b+c＝c＞0，结论③符合题意； ④∵抛物线与 x 轴有两个不相等的实数根， ∴一元二次方程 ax2+bx+c＝0 有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0