专题 16.2 二次根式（提高篇）专项练习 一、单选题 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ A． 16a B． a 2  b 2 ） C． b a D． 45 2．如果 m 是任意实数，那么下列代数式中一定有意义的是（　　） B． m  1 A． m 1 C． m  1 D． m  1 2 ab 3．若 a +b ＝4ab，a>b>0，则 b  a ＝（　　） 2 2 A． 3 B．3 4．下列运算正确的是（ C．﹣ 3 D．﹣3 ） 4a 4 A．（﹣2a2b﹣1）2＝ b 2 B．（a＋b）2＝a2＋b2 C． 5 ﹣3 5 ＝﹣2 2b 2 2a 2 2 2 D． a  b ＋ b  a ＝ a  b 2 5．《九章算术》中的“方田章”论述了三角形面积的求法：“圭田术曰，半广以乘正广”，就 是说：“三角形的面积＝底×高÷2”，我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中也提出了 “三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求取三角形面积，用现代式子可表示为：S 1 �2 2 a 2  b 2  c 2 2 � a b ( ) �（其中 a、b、c 为三角形的三条边长，S 为三角形的面积）． � ＝ 4� 2 � 如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB＝ 边形 ABCD 的面积为（ ） 6 ，AD＝ 3 ，对角线 BD＝ 5 ，则平行四 14 A． 11 B． 14 C． 2 7 D． 2 6  2a 有意义，且 x 2 +（a﹣2）x+9 是一个完全平方式，则满足条件的 a 6．若二次根式 值为（　　） A．±8 B．±4 C．8 8 7．如图．从一个大正方形中裁去面积为 m2 和 18 D．﹣4 cm2 的两个小正方形，则留下的阴影部分 的面积为（ ） A． 5 2 cm2 B． 12 cm2 C． 8 cm2 D． 24 cm2 8．设 a 为 3  5  3  5 的小数部分，b 为 6  3 3  6  3 3 的小数部分，则 2 1  b a 的值为（ A． 6  2  1 9．关于代数式 a ） B． 6  2  1 C． 1 a  2 ，有以下几种说法， 6  2 1 D． 6  2  1 ①当a ②若  3 时，则 a a 1 a  2 的值为-4. 1 a  2 值为 2，则 a  3 . ③ 若 a  2 ，则 a 1 a  2 存在最小值且最小值为 0. 在上述说法中正确的是（　　） A．① 10．当 B．①② x4 时， x2 3 x 2  4 3x  12 C．①③  x2 3 x 2  4 3x  12 B． 3 A．1 D．①②③ 的值为（ C．2 ） D．3 二、填空题 11．计算（4+3 2 ）（4﹣3 2 ）＝___． 1  12．已知 k 是 5 的小数部分，则 k  1 _________． 13．已知 y  2 x  1  1  2 x  1 ，则 x y  ________． y 14．已知 x  4.22 ， y  42.2 ，则 x 的值是______． 15．若 y  x4  4 x  2 ，则 2  x  y   _______． 2 16．已知 a  0 ，那么 4a b 可化简为_______________ 17．若实数 x, y 满足 x 2  y 2  4 x  2 y  5 ，则 xy x  y 的值是_________ 18．已知 x  1 2 3 ,y  1 2 2 3 ，则 2 x  3xy  2 y 的值是_____． 2 3 1 2  x  19．如果式子 2 x  1 有意义，则 x 的取值范围是：____________． 20．我们定义  a 为不超过 a 的最大整数．例如： [3.14]  3,[8]  8,[0.618]  1,[ 7.1]  8,[4]  4 ．若 [5  3 a  1]  2 ，则 a 的取 值范围是______________________． 21．化简 3 4 2 3 ＝__． 6 2 22．若 a ， b ， c 是实数，且 a  b  c  2 a  1  4 b  1  6 c  2  10 ，则 2b  c  __ ______． 23． a1  1  an  1  1 1 1 1 1 1  2 a2  1  2  2 a3  1  2  2 2 1 2 ， 2 3 ， 3 4 ，L L ， 1 1  2 n (n  1) 2 ，其中 n 为正整数，则 a1  a2  a3  L  a2020 的值是______ ____． 三、解答题 24．计算： （1） 2 3 � 6 ； 1 30 � 2 ； 3 （3） 3 5 � （2） 4 20  3 45  2 5 ； 1 （4） 3 12  3 3 �2 18 ． a b ab  b 2 ab  25．先化简再求值：（ a 2  2ab  b 2 a 2  b 2 ）• 1  b ，其中 a＝2+ 3 ，b＝2﹣ 3． 26．（1）由 8 个同样大小的立方体组成的魔方，体积为 64，则出这个魔方的棱长是_____ __． （2）图 1 正方形 EFGH 的边长等于魔方的棱长，求出阴影部分的面积及其边长． （3）把正方形 ABCD 放到数轴上，如图 2，使得 A 与 1 重合，那么 D 在数轴上表示的数 为______． 27．若三个实数 x，y，z 满足 xyz≠0，且 x+y+z＝0，则有： 例如： （1）求 1 1 1 1  2  2 ＝| 1 + + 1 |． 2 x y z x y z 1 1 1 1 1 1 1 19 1 1  2 2 ＝ 2 2 2 ＝| + + |＝ 请解决下列问题： 2  5   2 3 (  5) 2 3 5 30 2 3 1 1 1   22 4 2 6 2 的值． 1 1 1 1 1 1 （2）设 S＝ 1  12  22 + 1  22  32 +…+ 1  20192  2020 2 ，求 S 的整数部分． （3）已知 x+y+z＝0（xyz≠0，x＞0），且 y+z＝3yz，当 1 1 1 1  2  2 +| 1 ﹣ ﹣ 1 |取得 2 x y z x y z 最小值时，求 x 的取值范围． 28．（阅读材料） 小慧同学数学写作片段 乘法公式“大家族” 学习《整式的乘法及因式分解》之后，我发现乘法公式不只是教材上“黑体字”明确的“平方 差公式 (a  b)(a  b)  a 2  b 2 (a  b) 2  a 2  2ab  b 2 ”“完全平方公式 (a  b) 2  a 2  2ab  b 2 和 ”，其实在教材或平时的练习中还“隐含”一些“乘法公式”值得积累， 比如， (a  b)  a 2  ab  b 2   a3  b3 ； (a  b)  a 2  ab  b 2   a 3  b3 ； ( x  m)( x  n)  x 2  (m  n) x  mn ； (a  b  c) 2  a 2  b 2  c 2  2ab  2ac  2bc ． …… （解题运用） （1）在实数范围内因式分解： x  ( 2  3) x  6  ___________； 2 （2）设 x, y 满足等式 x 2  2 xy  y 2  12 x  12 y  36  0 ，求 2x  2 y 的值； 3 3 �b � �a � 1 1 1 （3）若正数 a, b 满足等式   ，求代数式 � � � �的值． �a � �b � a b ab 参考答案 1．B 【分析】 最简二次根式的概念：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这 样的二次根式，叫做最简二次根式． 【详解】 解：A. 被开方数含有开得尽的因数不是最简二次根式，不符合题意； B. 是最简二次根式，符合题意； C. 被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D. 被开方数含有开得尽的因数不是最简二次根式，不符合题意． 故选：B． 【点拨】 本题考查最简二次根式的概念，解题的关键是能够看出被开方数中的能开得尽方的因数或 因式． 2．D 【分析】 根据二次根式有意义，二次根式中的被开方数是非负数，分式有意义，分母不为零,进行分 析即可． 【详解】 解：A、当 m＜0 时， m 无意义，故此选项不符合题意； B、当 m＜﹣1 时， m  1 无意义，故此选项不符合题意； 1 C、当 m＝﹣1 时， m  1 无意义，故此选项不符合题意； D、m 是任意实数， m  1 都有意义，故此选项符合题意； 2 故选：D． 【点拨】 本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握二式有意义的基本条件 是解题的关键． 3．C 【分析】 由 a2+b2＝4ab 可得  b  a   2ab ，  a  b   6ab ，再由 a>b>0，可得 b -a<0，a+b>0， 2 2 根据二次根式的性质可得 b –a=  2ab ，a+b= 6ab ，整体代入后化简即可求解． 【详解】 ∵a2+b2＝4ab， ∴  b  a   2ab ，  a  b   6ab ， 2 2 ∵a＞b＞0， ∴b -a<0，a+b>0，ab>0， ∴b –a=  2ab ，a+b= 6ab ， ∴ 6ab ab  3． ＝  2ab ba 故选 C． 【点拨】 本题考查了完全平方公式的变形及二次根式的性质，正确求得 b –a=  2ab 及 a+b= 6ab 是解决问题的关键． 4．A 【分析】 直接利用积的乘方运算法则以及完全平方公式、二次根式的加减、分式的加减运算法则分 别计算得出答案． 【详解】 4a 4 解：A、（﹣2a2b﹣1）2＝ b 2 ，故此选项正确； B、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选