突破 10：“二次函数压轴”全面辐射 1．如图，抛物线 y   x 2  2 x  c 与 x 轴正半轴， y 轴正半轴分别交于点 A, B ，且 OA  OB, 点 G 为 抛物线的顶点．  1 求抛物线的解析式及点 G 的坐标；  2  点 M , N 为抛物线上两点(点 M 在点 N 的左侧) ，且到对称轴的距离分别为 3 个单位长度和 5 个单位长 度，点 Q 为抛物线上点 【答案】（1） M,N 之间(含点 y   x 2  2x  3 M , N )的一个动点，求点 Q ，G（1,4）；（2）﹣21≤ yQ 的纵坐标 yQ 的取值范围． ≤4. 【分析】 （1）根据 OA  OB, 用 c 表示出点 A 的坐标，把 A 的坐标代入函数解析式，得到一个关于 c 的一元二次方 程，解出 c 的值，从而求出函数解析式，求出顶点 G 的坐标． （2）根据函数解析式求出函数图像对称轴，根据点 M,N 到对称轴的距离，判断出 M,N 的横坐标，进一步 得出 M,N 的纵坐标，求出 M,N 点的坐标后可确定 yQ 的取值范围． 【详解】 解：（1）∵抛物线 y   x 2  2 x  c 与 y 轴正半轴分别交于点 B， ∴B 点坐标为（c，0）， ∵抛物线 y   x 2  2 x  c 经过点 A， ∴﹣c2+2c+c=0， 解得 c1=0（舍去），c2=3， ∴抛物线的解析式为 ∵ y   x 2  2x  3 y   x 2  2x  3 =﹣（x－1）2+4， ∴抛物线顶点 G 坐标为（1,4）． （2）抛物线 y   x 2  2x  3 的对称轴为直线 x=1， ∵点 M,N 到对称轴的距离分别为 3 个单位长度和 5 个单位长度 ， ∴点 M 的横坐标为﹣2 或 4，点 N 的横坐标为﹣4 或 6， 点 M 的纵坐标为﹣5，点 N 的纵坐标为﹣21， 又∵点 M 在点 N 的左侧， ∴当 M 坐标为（﹣2，﹣5）时，点 N 的坐标为（6，﹣21）， 则﹣21≤ yQ ≤4 当当 M 坐标为（4，﹣5）时，点 N 的坐标为（6，﹣21）， 则﹣21≤ ∴ yQ yQ ≤﹣5， 的取值范围为﹣21≤ yQ ≤4． 2．如图，抛物线过 x 轴上两点 A（9，0），C（﹣3，0），且与 y 轴交于点 B（0，﹣12）． （1）求抛物线的解析式； （2）若 M 为线段 AB 上一个动点，过点 M 作 MN 平行于 y 轴交抛物线于点 N． ① 是否存在这样的点 M，使得四边形 OMNB 恰为平行四边形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请 说明理由． ② 当点 M 运动到何处时，四边形 CBNA 的面积最大？求出此时点 M 的坐标及四边形 CBNA 面积的最大 值． 【答案】（1） y 4 2 8 9 x  x  12 M ( , 6) ；（2）①不存在这样的点 M，理由见解析；② ，四边形 9 3 2 225 CBNA 面积的最大值为 2 ． 【分析】 A(9，， 0), C ( 3 0) （1）先根据点 设抛物线的顶点式，再将点 B (0, 12) 代入求解即可得； 4 M (m, m  12) （2）①先求出直线 AB 的解析式，从而可设点 M、N 的坐标分别为 ， 3 4 8 4 N (m, m 2  m  12) MN   m2  4m ，从而可得 ，再根据平行四边形的性质可得 MN  OB  12 ， 9 3 9 然后利用一元二次方程的根的判别式即可得出答案； ② 先根据点 A, B, C 的坐标分别求出 AC , OB 的长，再根据三角形面积公式可求出 从而可得出四边形 CBNA 面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】 （1）因为抛物线过 x 轴上两点 所以设抛物线解析式为 将点 B (0, 12) A(9，， 0), C ( 3 0) y  a( x  3)( x  9)(a �0) 代入得： 3 �(9)a  12 VABC ,VABN 的面积， 解得 a 4 9 则抛物线解析式为 即 y y 4 ( x  3)( x  9) 9 4 2 8 x  x  12 ； 9 3 （2）如图，设直线 AB 的解析式为 y  kx  b(k �0) � 4 k � 9 k  b  0 � 3 将点 代入得： � ，解得 � � b  12 b  12 A(9， 0), B (0, 12) � � 则直线 AB 的解析式为 y 4 x  12 3 4 4 8 M (m, m  12) N (m, m 2  m  12) 由题意，可设点 M 的坐标为 ，点 N 的坐标为 3 9 3 则 MN  4 4 8 4 m  12  ( m 2  m  12)   m 2  4 m 3 9 3 9 ① 若四边形 OMNB 为平行四边形，则 MN  OB  0  (12)  12 4  m 2  4m  12 即 9 整理得： m2  9m  27  0 此方程的根的判别式   (9) 2  4 �� 1 27  27  0 ，方程无实数根 则不存在这样的点 M，使得四边形 OMNB 恰为平行四边形； Q A(9，， 0), B(0, 12), C ( 3 0) ②  AC  9  (3)  12, OB  0  (12)  12 1 1  S VACB �‫״‬AC  OB  12 12  72 2 2 4 Q A(9， 0), B(0, 12), M ( m, m  12) 3  点 B 到 MN 的距离等于 m  S VABN  S VBMN  S VAMN  ，点 A 到 MN 的距离等于 9m 1 4 1 4 m( m 2  4m)  (9  m)( m 2  4 m) 2 9 2 9  2m 2  18m  S四边形CBNA  S VACB  S VABN  72  2m 2  18m 9 225  2(m  ) 2  2 2 因为 M 为线段 AB 上一个动点 所以 0m9 9 9 0m� m9 S 由二次函数的性质可知，当 时， S四边形 CBNA 随 2 时， 四边形 CBNA 随 m 的增大而增大；当 2 m 的增大而减小 则当 m 9 225 S 2 时， 四边形 CBNA 取得最大值，最大值为 2 4 4 9 m  12  �  12  6 此时， 3 3 2 9 M ( , 6) 故点 M 的坐标为 ． 2 3．如图，已知抛物线 y  ax 2  2 x  c( a �0) ，与 y 轴交于点 A  0, 6  ，与 x 轴交于点 B  6, 0  .点 P 是直线 AB 上方的抛物线上一动点（不与点 A 、 B 重合），过点 P 作直线 PM  x 轴，垂足为 M ，交直 线 AB 于点 N ，连接 PA ， PB ． （1）求这条抛物线表达式及其顶点坐标； （2）若 PA  PN ，求证：四边形 AOMP 为矩形； （3）求 PAB 的面积最大时点 P 的坐标； （4）在抛物线对称轴 L 上是否存在一点 C ，使 AC  BC 的值最大？若存在，求出这个最大值；若不存 在，请说明理由． 1 y   x2  2x  6 【答案】（1）抛物线解析式为： ，顶点坐标为  2,8  ；（2）证明见解析；（3） 2 � 15 � P� 3, � � 2 �；（4）存在点 C ， AC  BC 的值最大值为 2 10 【分析】 （1）把点 A、B 坐标代入 （2）由已知可得 y  ax 2  2 x  c(a �0) 求解即可，再由配方法求顶点； OA P PM �ANP  �OAB  45� �OAB  �OBA  45� PA  PN ，由 得到 ，再根据 证明 �APN  90� 即可； � 1 � P �x,  x 2  2 x  6 � （3）有待定系数法求得直线 AB 解析式，设出点 � 2 �，则点 N  x,  x  6  ，用 x 表示 PAB 的面积，由函数性质求面积最大值即可； （4）取点 B 关于抛物线对称轴的对称点 B� ，再通过三角形三边关系讨论 而得到 | AC  BC | AC  B� C 取最大值的情况，从 最大值． 【详解】 解：（1）∵抛物线 y  ax 2  2 x  c  a �0  c6 � � ∴ 0  36a  12  c � 1 � a � 2 ∴� � c6 � 1 y   x2  2x  6 ∴抛物线解析式为： ， 2 1 1 y   x 2  2 x  6   ( x  2) 2  8 ∵ 2 2 ∴顶点坐标为  2,8  （2）证明：∵ A  0, 6  ， B  6, 0  ． ，与 y 轴交于点 A  0, 6  ，与 x 轴交于点 B  6, 0  ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ OA  OB　 �AOB  90� �OAB  �OBA  45� 又 PM  x 轴， ∴ OA  x 轴∴ OA P PM �ANP  �OAB  45� PA  PN ∴ �PAN  �ANP  45� �APN  90� �OAP  �OAB  �PAN  90� �PMO  90� ， ∴四边形 AOMP （3）∵点 设直线 AB 又 为矩形 A  0,6  ，点 解析式为： B  6, 0  ， y  mx  n 并解得： y  x  6 � 1 � P �x,  x 2  2 x  6 � 设点 � 2 �，则点 N  x,  x  6  ， 1 1 PN   x 2  2 x  6  (  x  6)   x 2  3 x ， 2 2 则 S PAB  1 1� 1 2 3 27 � PN �