考点 07 不等式与不等式组 本考点内容以考查依据题意列不等式并解决问题、不等式组表示取值范围为主， ,体现了不等式的工具性， 年年考查,是广大考生的得分点，分值为 6-10 分左右。预计 2021 年各地中考还将继续考查这两个知识点， 重要题型有解不等式（组）、不等式含参、不等式相关的应用题以及不等式的性质，为避免丢分，学生应 扎实掌握。 一、不等式的概念、性质及解集表示 1．不等式：一般地，用符号“<”（或“≤”）、“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式．能使不等式成立的未知 数的值，叫做不等式的解． 2．不等式的基本性质 理论依据 性质 1 式子表示 不等式的两边同时加上（或减去）同一个数 若 a  b ，则 a �c  b �c （或式子），不等号的方向不变 不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数， 性质 2 不等号的方向不变 若 ab ， ab ， c0 ，则 c0 ，则 ac  bc 或 a b  c c ac  bc 或 a b  c c 不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数， 性质 3 不等号的方向改变 若 注意：不等式的性质是解不等式的重要依据，在解不等式时，应注意：在不等式的两边同时乘以（或除 以）一个负数时，不等号的方向一定要改变． 3．不等式的解集及表示方法 （1）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解是一个范围，这个范围就是不 等式的解集． （2）不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表 示出来，形象地表明不等式有无限个解． 1 / 55 二、一元一次不等式及其解法 1．一元一次不等式：不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1，这 样的不等式叫一元一次不等式． 2．解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为 1（注意 不等号方向是否改变）． 三、一元一次不等式组及其解法 1．一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式 组． 2．一元一次不等式组的解集： 一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不 等式组的解集，求不等式组解集的过程，叫做解不等式组． 3．一元一次不等式组的解法： 先分别求出每个不等式的解集，再利用数轴求出这些一元一次不等式的的 解集的公共部分即可，如果没有公共部分，则该不等式组无解． 4．几种常见的不等式组的解集：设 ab a b x ， ， 是常数，关于 的不等式组的解集的四种情况如下表 所示（等号取不到时在数轴上用空心圆点表示）： 不等式组 解集 口诀 �x �a � �x �b x �b 同大取大 �x �a � �x �b x �a 同小取小 �x �a � �x �b a �x �b 大小、小大中间找 无解 大大、小小取不了 （其中 a  b ） 数轴表示 �x �a � �x �b 考情总结：一元一次不等式（组）的解法及其解集表示的考查形式如下： （1）一元一次不等式（组）的解法及其解集在数轴上的表示； （2）利用一次函数图象解一元一次不等式； （3）求一元一次不等式组的最小整数解； （4）求一元一次不等式组的所有整数解的和． 2 / 55 四、列不等式（组）解决实际问题 列不等式（组）解应用题的基本步骤如下： ① 审题；②设未知数；③列不等式(组)；④解不等式(组)；⑤检验并写出答案． 考情总结：列不等式（组）解决实际问题常与一元一次方程、一次函数等综合考查，涉及的题型常与方案 设计型问题相联系，如最大利润、最优方案等．列不等式时，要抓住关键词，如不大于、不超过、至多用 “≤”连接，不少于、不低于、至少用“≥”连接． 考向一 不等式的定义及性质 （1）含有不等号的式子叫做不等式． （2）不等式两边同乘以或除以一个相同的负数，不等号要改变方向，在运用中，往往会因为忘记改变不 等号方向而导致错误． 1 1．（2020·河北中考）语句“ x 的 8 与 x 的和不超过 5 ”可以表示为（　　） x  x �5 A． 8 x  x �5 B． 8 8 �5 C． x  5 x x5 D． 8 【答案】A 1 1 【分析】x 的 8 即 8 x，不超过 5 是小于或等于 5 的数，由此列出式子即可． 1 1 【解析】 “x 的 8 与 x 的和不超过 5”用不等式表示为 8 x+x≤5．故选 A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序 和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式． 2．（2020·江苏宿迁·中考真题）若 a＞b，则下列等式一定成立的是（　　） 3 / 55 A．a＞b+2 B．a+1＞b+1 C．﹣a＞﹣b D．|a|＞|b| 【答案】B 【分析】利用不等式的基本性质判断即可． 【解析】A、由 a＞b 不一定能得出 a＞b+2，故本选项不合题意； B、若 a＞b，则 a+1＞b+1，故本选项符合题意； C、若 a＞b，则﹣a＜﹣b，故本选项不合题意； D、由 a＞b 不一定能得出|a|＞|b|，故本选项不合题意．故选：B． 【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键． 1．（2020·浙江杭州·中考真题）若 a＞b，则（　　） A．a﹣1≥b B．b+1≥a C．a+1＞b﹣1 D．a﹣1＞b+1 【答案】C 【分析】举出反例即可判断 A、B、D，根据不等式的传递性即可判断 C． 【解析】解：A、a＝0.5，b＝0.4，a＞b，但是 a﹣1＜b，不符合题意； B、a＝3，b＝1，a＞b，但是 b+1＜a，不符合题意； C、∵a＞b，∴a+1＞b+1，∵b+1＞b﹣1，∴a+1＞b﹣1，符合题意； D、a＝0.5，b＝0.4，a＞b，但是 a﹣1＜b+1，不符合题意．故选：C． 【点睛】此题考查不等式的性质，对性质的理解是关键． b a c 2．（北京中考真题）用一组 ， ， 的值说明命题“若 a _____， b 【答案】2 3 ______， c ab ，则 ac  bc ”是错误的，这组值可以是 _______． -1 分析：根据不等式的性质 3，举出例子即可. 【解析】根据不等式的性质 3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 满足 ab ， c �0 2 即可，例如： ，3， 1 2 .故答案为： ，3， 1 . 点睛：考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键. 4 / 55 考向二 一元一次不等式的解集及数轴表示 （1）一元一次不等式的求解步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1． （2）进行“去分母”和“系数化为 1”时，要根据不等号两边同乘以（或除以）的数的正负，决定是否改变不 等号的方向，若不能确定该数的正负，则要分正、负两种情况讨论． 1．（2020·江苏淮安·中考真题）解不等式 解：去分母，得 2(2 x  1)  3x  1 2x 1  3x  1 2 ． ． …… （1）请完成上述解不等式的余下步骤： （2）解题回顾：本题“去分母”这一步的变形依据是 （填“A”或“B”） A．不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； B．不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【答案】（1）余下步骤见解析；（2）A． 【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项的步骤进行补充即可；（2）根据不等式的性质即可得． 【解析】（1） 移项，得 2x 1  3x  1 2 去分母，得 2(2 x  1)  3x  1 去括号，得 4 x  2  3 x  1 4 x  3 x  1  2 合并同类项，得 x 1 ； （2）不等式的性质：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 2x 1  3x  1 2 两边同乘以正数 2，不等号的方向不变，即可得到 2(2 x  1)  3x  1 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式、不等式的性质，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键． 2．（2020·浙江嘉兴·中考真题）不等式 3（1﹣x）＞2﹣4x 的解在数轴上表示正确的是（　　） A． B． 5 / 55 C． D． 【答案】A 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项可得不等式的解集，继而可得答案． 【解析】解：去括号，得：3﹣3x＞2﹣4x，移项，得：﹣3x+4x＞2﹣3，合并，得：x＞﹣1，故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式及用数轴表示不等式的解集，正确解不等式是解题关键，注意“＞” 向右，“＜”向左，带等号用实心，不带等号用空心． 1．（2020·辽宁大连·中考真题）不等式 5 x  1  3x  1 的解集是______． 【答案】 x  1 【分析】根据不等式的性质移项，合并同类项，系数化为一即可． 【解析】解： 5 x  1  3x  1 n 5 x  3x  1  1 2 x  2 x  1 故答案为 x  1 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，熟练运用不等式的性质运算是解题的关键． 2．（2020·辽宁盘锦·中考真题）不等式 4x 1  x  7 A． B． C． D． 的解集在数轴上表示正确的是（ ） 【答案】A 【分析】先将不等式移项、合并同类项、系数化为 1 求得其解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点 用实心，不包括端点用空心”的原则即可判断答案． 【解析】解：解不等式： 系数化为 1 得： x2 4x  1  x  7 ，移项得： ，数轴上表示如图所示， 4x  x  7 1 合并同类项得： 3x  6 故选：A． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式及再数轴上表示不等式解集的能力，掌握“大于向右，小于向左， 6 / 55 包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则是解题的关键． 考向三 一元一次不等式组的解集及数轴表示 不等式解集的确定有两种方法： （1）数轴法：在数轴上把各个不等式解集表示出来，寻找公共部分并用不等式表示出来； （2）口诀法：“大大取大小小取小，大小小大中间找，大大小小取不了．” 2 x  1�x  2