专题 17 平行四边形的性质与判定 教师讲义 课 题 平行四边形的性质与判定 1：掌握平行四边形的有关概念和性质； 教学目的 2：掌握平行四边形之间距离处处相等的结论，并能进行简单的应用； 3：理解并掌握平行四边形的判别条件，逐步掌握说理的基本方法； 4：能应用平行四边形的性质解决一些实际问题； 教学内容 一、日校回顾 二、上节课知识点回顾 1.检查上次所留作业 三、知识梳理 1. 定义： 四边形叫做平行四边形。 。 2．性质定理：平行四边形的对边 平行四边形的对角 。 平行四边形的对角线 。 四边形是平行四边形 3．判定定理： 四边形是平行四边形 四边形是平行四边形 四边形是平行四边形 4.距离是指垂线段的 5.平行线之间的距离 ，是 0. 。 四、例题讲解 1.平行线之间的距离 （1）我们校园里进入篮球场的绿化带虽然设置不准进入的警示牌，但是仍出现被有的同学踩出一条小径，这种现象 所运用的几何原理是（　　） A、两点之间线段最短 B、三角形的稳定性 C、平行线间的距离处处相等 D、垂线段最短 （2）如图为某大楼一、二楼水平地面间的楼梯台阶位置图，共 20 阶水平台阶，每台阶的高度均为 a 公尺，宽度均 为 b 公尺（a≠b）．求图中一楼地面与二楼地面的距离为多少公尺？（　　） A、20a B、20b C、 ×20 D、 ×20 （3）如图，AB∥CD，O 为∠BAC，∠ACD 的平分线的交点，OE⊥AC 于 E，且 OE=2，则 AB 与 CD 间的距离为 。 （4）如图，直线 AE∥BD，点 C 在 BD 上，若 AE=4，BD=8，△ABD 的面积为 16，则△ACE 的面积为 。 （5）已知直线 a∥b∥c，且 a 与 b 之间距离为 6cm，b 与 c 之间距离为 10cm，则 a 与 c 之间距离为 。 （6）如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，过点 D 作 DE∥BC 交 AB 于点 E，过点 D 作 （ （ 于 DF⊥AB 1 2 ） ） 判 DE 断 BC 点 F 与 ， BE DE ， ， 请 相 EF 等 三 者 回 吗 的 答 ？ 数 量 下 请 关 列 说 系 ， 问 明 并 题 理 说 明 ． 由 理 ； 由 ； （3）平行线 DE，BC 之间的距离与 DF 的长度有何数量关系，为什么？ 2.平行四边形的性质 （ 1 ） 如 图 ， 在 ▱ ABCD 中 ， 点 E 、 F 在 对 角 线 AC 上 ， 且 AE=CF ， 请 写 出 图 中 所 有 对 应 的 全 等 三 角 形 ： 。 （2）如图，已知平行四边形 ABCD，E 是 AB 延长线上一点，连接 DE 交 BC 于点 F，在不添加任何辅助线的情况下， 请补充一个条件，使△CDF≌△BEF，这个条件是 。 （3）如图，▱ABCD，E 是 BA 延长线上一点，AB=AE，连接 CE 交 AD 于点 F，若 CF 平分∠BCD，AB=3，则 BC 的长为 。 （4）如图，在▱ABCD 中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，过 BC 的中点 E 作 EF⊥AB，垂足为点 F，与 DC 的延长 线相交于点 H，则△DEF 的面积是 。 （ 5 ） 如 图 ， 点 E 、 F 、 G 、 H 分 别 是 平 行 四 边 形 ABCD 的 边 AB 、 BC 、 CD 、 DA 的 中 点 ． 求证：△BEF≌△DGH． （6）如图，E、F 是平行四边形 ABCD 对角线 AC 上两点，BE∥DF，求证：AF=CE． （ 7 ） 已 知 ， 如 图 平 行 四 边 形 ABCD 中 ， BF=DE ． 求证：∠BAE=∠DCF （ 8 ） 如 图 ， 已 知 平 行 四 边 形 ABCD ， DE 是 ∠ ADC 的 角 平 分 线 ， 交 BC 于 点 E ． （ 1 ） 求 证 ： CD=CE ； （2）若 BE=CE，∠B=80°，求∠DAE 的度数． 3.平行四边形的判定 （1）在四边形 ABCD 中，若分别给出四个条件：① AB∥CD，② AD=BC，③∠A=∠C，④ AB=CD．现以其中的 两个为一组，能判定四边形 ABCD 为平行四边形的条件是 。只填序号，填上一组即可，不必考虑所有可能 情况）． （2）如图，D、E、F 分别在△ABC 的三边 BC、AC、AB 上，且 DE∥AB，DF∥AC，EF∥BC，则图中共有 行四边形，它们分别是 个平 。 （ 3 ） 如 图 ， 点 B ， E ， C ， F 在 一 条 直 线 上 ， AB=DE ， ∠ B=∠DEF ， BE=CF ． 求 （ 证 1 ） ： △ ABC≌△DEF ； （2）四边形 ABED 是平行四边形． （4）已知：平行四边形 ABCD 中，E、F 分别是 BA、DC 延长线上的点，且 AE∥CF，交 BC、AD 于点 G、H、试说 明：EG=FH． （ 5 ） 如 图 ， 已 知 △ ABC 是 等 边 三 角 形 ， 点 D 、 F 分 别 在 线 段 BC 、 AB 上 ， ∠ EFB=60° ， DC=EF ． （ 1 ） 求 证 ： 四 边 形 EFCD 是 平 行 四 边 形 ； （2）若 BF=EF，求证 AE=AD． （6）如图，平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，直线 EF 经过点 O，分别与 AB，CD 的延长线交于点 E，F． 求证：四边形 AECF 是平行四边形． 4.平行四边形的性质与判定 （ 1 ） 如 图 ， 在 四 边 形 ABCD 中 ， AB=CD ， BF=DE ， AE⊥BD ， CF⊥BD ， 垂 足 分 别 为 E ， F ． （ 1 ） 求 （2）若 AC 与 BD 交于点 O，求证：AO=CO． 证 ： △ ABE≌△CDF ； （2）图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 是 BC 的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若 AC=2，CE=4，求四边形 ACEB 的 周 长 ． （3）已知：如图，在▱ABCD 中，点 E 在 AD 上，连接 BE，DF∥BE 交 BC 于点 F，AF 与 BE 交于点 M，CE 与 DF 交 于 点 ． N 求证：四边形 MFNE 是平行四边形． 例题答案 1.平行线之间的距离 （ 1 ） 解 ： 根 据 题 意 ， 学 生 这 种 做 法 在 数 学 上 是 “ 两 点 之 间 线 段 最 短 ” ． 故选 A． （ 2 ） 解 ： ∵ 一 楼 地 面 与 二 楼 地 面 的 距 离 = 全 部 台 阶 的 高 度 总 和 ， ∴ 一 楼 地 面 与 二 楼 地 面 的 距 离 为 ： a×20=20a （ 公 尺 ） ； 故选 A． （ 3 ） 解 ： 过 点 作 O 直 线 于 OM⊥AB 点 ， M 交 于 CD 点 N ． ∵AB∥CD ， ∴ON⊥CD ， 是 ∵AO ∠ 角 BAC 平 分 线 ， ， ∴OM=OE=2 是 ∵CO ∠ 的 ACD 角 平 分 线 ， ∴ON=OE=2 ， ∴MN=2+2=4 ， 即 AB 与 CD 之间的距离为 4． （ ） 4 解 在 ： △ 在 AEC △ ABD 中 中 ， 当 ， 当 为 AE 为 BD 底 底 时 时 ， 设 ， 设 高 高 为 h 为 h′ ， ， ∵AE∥BD ， ∴h=h′ ， 的 ∵△ABD 面 积 为 ， 16 ， BD=8 ． ∴h=4 则△ACE 的面积= ×4×4=8． （ 5 ） 解 与 c a ： 之 与 a 当 间 在 ②c ① 距 之 c 离 为 、 b 间 在 b 之 离 为 时 c （ 6+10=16 a 距 、 a 间 时 （ 10-6=4 ） cm ， ； ， cm ） ； 如 下 ： 故答案是：4 或 16． （ ） 6 解 ： （ 平 BD 2 ∵∠FBD=∠CBD ∴△BDF≌△BDC 分 ） 1 ， ∵DE∥BC 又 （ ∴ ∠ ） ABC ， BC=DE+EF ， ∠ ， DE=BE 理 ∠ ∴ ∠ ， 由 ． EDB=∠DBC ， EDB=∠EBD 理 DFB=∠DCB=90° 由 ∴ 如 ， DE=BE ． 下 ： BD=BD ， ． ∴BC=BF ． ∴BC=BE+EF=DE+EF ． （ 3 ） 平 行 线 DE ， BC 之 间 的 距 离 等 于 的 长 ， 理 由 如 下 ： DF 根据（2）中已证明的全等三角形得 DF=DC，即平行线 DE，BC 之间的距离等于 DF 的长． 2.平行四边形的性质 （ ） 1 解 ： ∵ 四 边 形 ， ∴AD=BC 是 ABCD 平 四 边 ， DC=AB （ ∴△ABC≌△CDA 行 形 AC=CA ） SSS ∴∠BAC=∠DCA ， ∵AE=CF AB=CD （ ∴△ABE≌△CDF ） SAS ∴BE=DF ∵AE=CF 即 ∴AE+EF=CF+EF AF=CE ∵AD=BC ∴△BCE≌△DAF（SSS）． （ ） 2 解 ： 添 是 ∵ABCD 加 平 条 件 行 CF=BF 四 ， ∴AD∥BC 为 边 ； 形 ∠ A=∠C ∵AD∥BC ∴∠A=∠B ∴∠B=∠C ∵CF=BF ， ∴△CDF≌△BEF （ ∠ DFC=∠EFB ） ASA ． 故答案为：CF=BF． （ 3 ） 解 ： ∵ 若 CF 平 分 ∠ BCD ， ∴∠BCE=∠DCF ， ∵AD∥BC ， ∴∠BCE=∠DFC ， ∴∠BCE=∠EFA ， ∵BE∥CD ， ∴∠E=∠DCF ， ∴∠E=∠EFA ， ， ∴AE=AF=AB=3 ， ∵AB=AE ， AF