9.13 提取公因式法 （基础知识 +基本题型） 知识点一 因式分解 1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也 叫做把这个多项式分解因式． 2、因式分解与整式乘法互为逆变形： 整式的乘积 m( a  b  c ) � 因式分解 ma  mb  mc 式中 m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式． 知识点二 提取公因式法 1、公因式：一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式． 2、提取公因式法：多项式 ma  mb  mc 各项都含有公因式 m ，可把公因式 m 提到外面， 将多项式 ma  mb  mc 写成 m 与 a  b  c 的乘积形式，此法叫做提取公因式法． 3、提取公因式的步骤： （1）找出多项式各项的公因式． （2）提出公因式． （3）写成 m 与 a  b  c 的乘积形式． 4、提取公因式法的几个技巧和注意点： （1）一次提净； （2）视“多”为“一”； （3）切勿漏 1； （4）注意符号：在提出的公因式为负的时候，注意各项符号的改变； （5）化“分”为整：在分解过程中如出现分数，可先提出分数单位后再进行分解 ； （6）仔细观察：当各项看似无关的时候，仔细观察其中微妙的联系，转化后再分解． 考点一 因式分解的判断 【例 1】下列四个式子从左到右的变形是因式分解的为（　　） A．（x﹣y）（﹣x﹣y）＝y2﹣x2 B．a2+2ab+b2﹣1＝（a+b）2﹣1 C．x4﹣81y4＝（x2+9y2）（x+3y）（x﹣3y） D．（a2+2a）2﹣8（a2+2a）+12＝（a2+2a）（a2+2a﹣8）+12 【答案】C 【分析】 根据因式分解的定义判断即可．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式 分解，也叫做分解因式． 【详解】 解：A 选项，B，D 选项，等号右边都不是积的形式，所以不是因式分解，不符合题意； C 选项，符合因式分解的定义，符合题意； 故选：C． 【点睛】 本题考查了因式分解的定义，掌握因式分解的定义是解题的关键． 考点二 公因式 【例 2】指出下列各式中的公因式： （1） （2） 4a 4，，  8a 3b 32a 2 b 2 3a 2 m，18a m ； 3  a  b  ，， 6  a  b 2 （3） 【答案】（1） 4a 2 ； ；（2） 3  9 a  b 3a m ；（3） ． 3(a  b) ． 【解析】每一个单项式中都含有的因式叫做公因式． 考点三 提取公因式法 【例 3】用提取公因式法将下列各式分解因式： (1)6xyz－3xz2; (2)x4y－x3z； (3)x(m－x)(m－y)－m(x－m)(y－m)． 【答案】 (1) 3xz(2y－z)； (2) x3(xy－z)； (3)－(m－x)2(m－y)． 【解析】 【分析】 分别提取公因式 3xz，x3，(m－x)(m－y)即可得答案，注意符号. 【详解】 解：(1)6xyz－3xz2＝3xz(2y－z)． (2)x4y－x3z＝x3(xy－z)． (3)x(m－x)(m－y)－m(x－m)(y－m) ＝x(m－x)(m－y)－m(m－x)(m－y) ＝(m－x)(m－y)(x－m)＝－(m－x)2(m－y)． 【点睛】 本题考查的知识点是提公因式，解题的关键是熟练的掌握提公因式. 【例 4】分解因式： 【答案】 2 x m y n 1  4 x m 1 y n （m,n 均为大于 1 的整数） 2 x m 1 y n 1  x  2 y  【解析】 分析：根据 m,n 均为大于 1 的整数，确定出指数最小的是哪一项，然后确定公因式再提取公因式即可. 解析： 2 x m y n 1  4 x m 1 y n  2 x m 1 y n 1  x  2 y  考点四 提取公因式法的应用 【例 5】已知 x2  x  2 ，则 x3  2 x2  x  1 的值为____________． 【答案】3 【分析】 利用提公因式分将原式变形为 【详解】 3 2 解： x  2 x  x  1 x  x2  x   x2  x  1 ，然后利用整体代入思想代入求解． = = ∵ x3  x 2  x 2  x  1 x  x2  x   x2  x  1 x2  x  2 ∴原式= = 2x  x2  x  1 x 2 +x  1 = 2 1 =3 故答案为：3． 【点睛】 本题考查提公因式法的应用，掌握提公因式的技巧并利用整体思想代入求解是解题关键．