专题 01 实数 一．选择题（共 11 小题） 1．（2021•武进区校级自主招生）已知 mn＜0 且 1﹣m＞1﹣n＞0＞n+m+1，那么 n，m， ， 的大小关系是（　　） A． B． C． D． 2．（2020•北碚区自主招生）实数 a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确 的是（　　） A．a＞0 B．b＜1 C．a＜b D．a＞﹣2 3．（2020•浙江自主招生）已知非零实数 a，b 满足|2a﹣4|+|b+2|+ +4＝2a，则 a+b 等于（　　） A．﹣1 B．0 4．（2019•渝北区自主招生）在﹣0.5， A．1 C．1 D．2 ，0，1 这四个数中，正数有（　　）个． B．2 C．3 D．4 5．（2019•涪城区校级自主招生）已知 a，b 满足（a+1）2﹣（b﹣2） +|c﹣3|＝0，则 a+b+c 的值等于（　　） A．2 B．3 6．（2019•南岸区自主招生）估计（2 C．4 ﹣ ）÷ D．5 的值应在（　　） A．在 4.5 和 5.0 之间 B．在 5.0 和 5.5 之间 C．在 5.5 和 6.0 之间 D．在 6.0 和 6.5 之间 7．（2018•镜湖区校级自主招生）若 ＝x﹣1 成立，则 x 满足（　　） A．x≥0 B．x≥1 C．x≤1 D．x＜1 8．（2018•市南区校级自主招生）定义：[x]是不大于数 x 的最大整数，如：[2.8]＝2，[﹣ 2.1]＝﹣3，[2]＝2：规定 x﹣[x]是 x 的小数部分．设 x＝ ，a 是 x 的小数部分，b 是 ﹣x 的小数部分；c＝[﹣x]．则 a+b+c＝（　　） A．﹣1 B． C．0 D．1 ， 9．（2018•江岸区校级自主招生）已知 ， ，那么 a，b，c 的大小关系是（　　） A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b 10．（2017•李沧区校级自主招生）用[x]表示不超过 x 的最大整数（如，[1.1]＝1，[﹣1.1] ＝﹣2），把 x﹣[x]称为 x 的小数部分．已知 t＝ ，a 是 t 的小数部分，b 是﹣t﹣1 的小数部分，则 ﹣ ＝（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 11．（2017•下陆区校级自主招生）设 a＞b＞c＞d＞0，且 x＝ ，z＝ ，y＝ ，则 x，y，z 的大小关系是（　　） A．y＜z＜x B．x＜z＜y C．z＜y＜x D．x＜y＜z 二．填空题（共 8 小题） 12．（2020•武昌区校级自主招生）若 7+ ＝　 和 5﹣ 的小数部分分别为 m，n，则 + 　． 13．（2020•邵阳）在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的 3 个实数相乘都得到同样的结 果，则 2 个空格的实数之积为　 2 3 1 6 　． 3 14．（2018•武昌区校级自主招生）若四个互不相等的正实数 a，b，c，d 满足（a2018﹣ c2018 ）（a2018﹣d2018 ）＝2018，（b2018﹣c2018 ）（b2018﹣d2018 ）＝2018，则（ab） 2018﹣ （cd）2018 的值为　 　． 15．（2018•温江区校级自主招生）若 i2＝﹣1，则 1+i+i2+i3…+i7＝　 　． 16．（2018•涪城区校级自主招生）任何实数 a，可用[a]表示不超过 a 的最大整数，如[4]＝ 4，[ 72 ]＝1，现对 72 进行如下操作： [ ]＝8 [ ]＝2 [ ]＝1，这样对 72 只需进行 3 次操作后变为 1，类似地： （1）对 81 只需进行　 　 次操作后变为 1； （2）只需进行 3 次操作后变为 1 的所有正整数中，最大的是　 　． 17．（2017•温江区校级自主招生）已知 x、y 为实数，且满足 ＝（y﹣1） ，那 么 x2017﹣y2017＝　 　． 18．（2016•李沧区校级自主招生）先阅读下面的文字：“求 了如下的方法，令 x2 ，解得 x＝ ＝x，则有 x＝ 的值时，采用 ，两边同时平方，则可得 1+x＝ （负值已经舍去），试用类比的方法，求得 1+ 的值是 ． 19．（2017•西城区校级自主招生）已知 x＝ 平方根是　 ，则 x3+12x 的算术 　． 三．解答题（共 3 小题） 20．（2019•宝山区校级自主招生）如图，数轴上从左到右依次有 A，B，C，D 四个点， 它们对应的实数分别为 a，b，c，d，如果存在实数 λ，满足：对线段 AB 和 CD 上的任 意一点，其对应的数为 x，实数 对 应 的 点 N 仍 然 在 线 段 AB 或 CD 上 ， 则 称 （a，b，c，d，λ）为“完美数组”．例如：（1，2，3，6，6）就是一组“完美数组”，已 知|AB|＝1，|BC|＝5，|CD|＝4，求此时所有的“完美数组”，写出你的结论和推算过程． 21．（2016•宝山区校级自主招生）由 2016 个不同的实数组成一个数集 A，对于 A 中任意 两个不同的数 m 与 n，数 m2+ n 都是有理数．证明：对于数集 A 中的任何一个数 a， a 是有理数． 22．（2016•宝山区校级自主招生）证明： 不是有理数． 专题 01 实数 参考答案与试题解析 一．选择题（共 11 小题） 1．（2021•武进区校级自主招生）已知 mn＜0 且 1﹣m＞1﹣n＞0＞n+m+1，那么 n，m， ， 的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵mn＜0， ∴m，n 异号， 由 1﹣m＞1﹣n＞0＞n+m+1，可知 m＜n，m+n＜﹣1，m＜0，0＜n＜1，|m|＞|n|，|m|＞ 2， 假设符合条件的 m＝﹣4，n＝0.2 则 ＝5，n+ ＝0.2﹣ ＝﹣ 则﹣4＜﹣ ＜0.2＜5 故 m＜n+ ＜n＜ ． 故选：D． 2．（2020•北碚区自主招生）实数 a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确 的是（　　） A．a＞0 B．b＜1 C．a＜b 【解答】解：由数轴可得：a＜﹣2，故选项 A 错误； b＞1，故选项 B 错误； D．a＞﹣2 a＜b，故选项 C 正确； a＜﹣2，故选项 D 错误； 故选：C． 3．（2020•浙江自主招生）已知非零实数 a，b 满足|2a﹣4|+|b+2|+ +4＝2a，则 a+b 等于（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【解答】解：由题设知 a≥3，所以，题设的等式为 ，于是 a＝ 3，b＝﹣2，从而 a+b＝1． 故选：C． 4．（2019•渝北区自主招生）在﹣0.5， A．1 ，0，1 这四个数中，正数有（　　）个． B．2 【解答】解：在﹣0.5， C．3 D．4 ，0，1 这四个数中，正数有 1，一共 1 个． 故选：A． 5．（2019•涪城区校级自主招生）已知 a，b 满足（a+1）2﹣（b﹣2） a+b+c 的值等于（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：根据题意，得， ∴a+1＝0，2﹣b＝0，c﹣3＝0， 解得 a＝﹣1，b＝2，c＝3， 所以 a+b+c＝﹣1+2+3＝4． 故选：C． 6．（2019•南岸区自主招生）估计（2 ﹣ ）÷ 的值应在（　　） A．在 4.5 和 5.0 之间 B．在 5.0 和 5.5 之间 C．在 5.5 和 6.0 之间 D．在 6.0 和 6.5 之间 +|c﹣3|＝0，则 【解答】解：（2 ∵3＜ ﹣ ）÷ ＝2 ﹣ ﹣2， ＝2 ＜4， ∴4＜2 ﹣2＜6， ∵3.7＜ ＜3.75， ﹣2＜5.5， ∴5.4＜2 故选：B． ＝x﹣1 成立，则 x 满足（　　） 7．（2018•镜湖区校级自主招生）若 A．x≥0 B．x≥1 【解答】解：∵ C．x≤1 D．x＜1 ＝x﹣1， ∴x﹣1≥0， 解得：x≥1． 故选：B． 8．（2018•市南区校级自主招生）定义：[x]是不大于数 x 的最大整数，如：[2.8]＝2，[﹣ 2.1]＝﹣3，[2]＝2：规定 x﹣[x]是 x 的小数部分．设 x＝ ，a 是 x 的小数部分，b 是 ﹣x 的小数部分；c＝[﹣x]．则 a+b+c＝（　　） A．﹣1 B． 【解答】解：x＝ C．0 ＝ ＝ D．1 ＝1+ ， ∴[x]＝1，[﹣x]＝﹣2． ∵a 是 x 的小数部分，b 是﹣x 的小数部分；c＝[﹣x]， ∴a＝1+ ﹣1＝ a+b+c＝ +1﹣ ，b＝﹣（1+ ）﹣（﹣2）＝1﹣ +（﹣2）＝﹣1． ．c＝﹣2 故选：A． ， 9．（2018•江岸区校级自主招生）已知 ， ，那么 a，b，c 的大小关系是（　　） A．a＜b＜c B．b＜a＜c 【解答】解：∵a﹣b＝ ＝ ﹣（1+ C．c＜b＜a ﹣ ﹣1﹣（2 D．c＜a＜b ） ） ≈2.449﹣2.414＞0， ∴a＞b； ∵a﹣c＝ ﹣1﹣（ ﹣2）＝ +1﹣ ≈2.414﹣2.449＜0， ∴a＜c； 于是 b＜a＜c， 故选：B． 10．（2017•李沧区校级自主招生）用[x]表示不超过 x 的最大整数（如，[1.1]＝1，[﹣1.1] ＝﹣2），把 x﹣[x]称为 x 的小数部分．已知 t＝ ，a 是 t 的小数部分，b 是﹣t﹣1 的小数部分，则 ﹣ ＝（　　） A．﹣1 B．1 【解答】解：t＝ C．﹣2 ＝ ＝ D．2 +1， 则[t]＝2，[﹣t﹣1]＝﹣4． ∵a 是 t 的小数部分，b 是﹣t﹣1 的小数部分， ∴a＝ +1﹣2＝ ﹣ ＝ 故选：B． ﹣ ﹣1，b＝﹣（ ＝2+ +1）﹣1﹣（﹣4）＝2﹣ ﹣（ +1）＝1． ， ，y＝ 11．（2017•下陆区校级自主招生）设 a＞b＞c＞d＞0，且 x＝ ，z＝ ，则 x，y，z 的大小关系是（　　） A．y＜z＜x B．x＜z＜y 【解答】解：∵x2＝ab+cd+2 y2＝ac+bd+2 ， z2＝ad+bc+2 ， C．z＜y＜x D．x＜y＜z ， ∴x2﹣y2＝ab+cd﹣ac﹣bd ＝a（b﹣c）+d（c﹣b）， ∵a＞b＞c＞d＞0， ∴a（b﹣c）+d（c﹣b）＝（b﹣c）（a﹣d）＞0， ∴x2＞y2， ∴x＞y， 同理可得：z＜y， ∴z＜y＜x． 故选：C． 二．填空题（共 8 小题） 12．（2020•