专题 4.4 图形的相似（提高篇）专项练习 2 一、单选题 1．如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点 M 为 BC 的中点，MN⊥AC 于点 N，则 MN 等于（　　） A． 12 5 B． 9 5 C． 6 5 D． 16 5 2．如图，在△ABC 中，点 D 在 BC 边上，连接 AD，点 G 在线段 AD 上，GE∥BD，且交 AB 于点 E，GF∥AC，且交 CD 于点 F，则下列结论一定正确的是（　　） A． AB AG  AE AD B． DF EG  CF BD C． FG EG  AC BD D． AE CF  BE DF 3．如图所示，在长为 8cm，宽为 6cm 的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩 下的矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（ ） A．28cm2 B．27cm2 C．21cm2 D．20cm2 4．如图，小正方形边长均为 1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是 A． B． C． D． 5．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置 BD 绕 O 点旋转到 AC 位置，已知 AB  BD ， CD  BD B ，垂足分别为 ， 直距离 CD 为( A． 0.2m D ， AO  4m ， AB  1.6m ， CO  1m ，则栏杆 C 端应下降的垂 ) B． 0.3m C． 0.4m D． 0.5m 6．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点 P 处放一水平的平面镜，光线 从点 A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙 CD 的顶端 C 处，已知 AB⊥BD，CD⊥BD， 且测得 AB＝1.2 米，BP＝1.8 米，PD＝12 米，那么该古城墙的高度是(　　) A．6 米 B．8 米 C．18 米 D．24 米 7．如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 DC 上，DE：EC=3：1，连接 AE 交 BD 于点 F，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为（ ） A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1 8．如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（―3，6）、B（―9，一 3），以原点 O 为位似 中心，相似比为 ，把△ABO 缩小，则点 A 的对应点 A′的坐标是（ ） A．（―1，2） B．（―9，18） C．（―9，18）或（9，―18） D．（―1，2）或（1，―2） 9．如图，点 A 在线段 BD 上，在 BD 的同侧作等腰 Rt ABC 和等腰 Rt ADE ， CD 与 BE 、 AE 分别交于点 P 、 M .对于下列结论： ① BAE : CAD ；② MP � MD  MA � ME A．①②③ B．① ；③ 2CB 2  CP � CM C．①② .其中正确的是（ ） D．②③ 10．已知点 D、E 分别在△ABC 的边 AB、AC 上，下列给出的条件中，不能判定 DE∥BC 的是（　　） A．BD：AB=CE：AC B．DE：BC=AB：AD C．AB：AC=AD：AE D．AD：DB=AE：EC 二、填空题 11．已知线段 AB=2cm，点 C 在线段 AB 上，且 AC2=BC·AB，则 AC 的长___________cm． 12．如图，正方形 ABCD 的边长是 4，点 E 是 BC 的中点，连接 DE，DF⊥DE 交 BA 的延 长线于点 F．连接 EF、AC，DE、EF 分别与 C 交于点 P、Q，则 PQ＝_____． 13．已知 a b c   ，且 a﹣b+c＝10，则 a 的值为_____． 3 2 4 14．如图，已知△ABC 中，D 为边 AC 上一点，P 为边 AB 上一点， AB=12，AC=8，AD=6，当 AP 的长度为__时，△ADP 和△ABC 相似． 15．如图，矩形 ABCD 中，AB=2，BC=3，点 E 为 AD 上一点，且∠ABE=30°，将△ABE 沿 BE 翻折，得到△A′BE，连接 CA′并延长，与 AD 相交于点 F，则 DF 的长为______． CE BF 是 VABC 的高， AB  5，， BC  4 AD  3 ，则 CE  ____________ 16．如图， AD、、 _． 17．如图，已知正方形 DEFG 的顶点 D、E 在△ABC 的边 BC 上，顶点 G、F 分别在边 AB、AC 上．如果 BC=4，△ABC 的面积是 6，那么这个正方形的边长是_____． 18．如图， OAB 与 OCD 是以点 O 为位似中心的位似图形，相似比为 3 : 4 ，∠ OCD  90 ， o �AOB  60o B ，若点 的坐标是 (6, 0) ，则点 C 的坐标是__________． 19．如图，菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O，过点 A 作 AH⊥BC 于点 H，连接 OH.若 OB=4，S 菱形 ABCD=24，则 OH 的长为______________. 20．矩形纸片 ABCD，AB=9，BC=6，在矩形边上有一点 P，且 DP=3．将矩形纸片折叠， 使点 B 与点 P 重合，折痕所在直线交矩形两边于点 E，F，则 EF 长为________． 21．如图，正方形 ABCD 中，BE=EF=FC，CG=2GD，BG 分别交 AE，AF 于 M，N．下列 结论：① AF⊥BG；② BN= 论的序号是_______． MB 3  NF；③ MG 8 ；④ S 四边形 CGNF= S 四边形 ANGD．其中正确的结 o o 22．如图，在 Rt ABC 中， �ABC  90 ， AB  3 ， BC  4 ， Rt MPN ， �MPN  90 ，点 P 在 AC 上， PM 交 AB 于点 E ， PN 交 BC 于点 F ，当 PE  2 PF 时， AP  ________． 三、解答题 a c e 3 2 a  4 c  6e    23．已知 b d f 4 ，求 b  2d  3 f 的值． 24．如图，已知 AD∥BE∥CF，它们以此交直线 l1、l2 于点 A、B、C 和 D、E、F．若 DE 2  EF 5 ，AC=14， （1）求 AB 的长． （2）如果 AD=7，CF=14，求 BE 的长． 25．如图，正方形 ABCD 的边 CD 在正方形 ECGF 的边 CE 上，连接 DG ，过点 A 作 AH P DG ，交 BG 于点 H ．连接 HF ， AF ，其中 AF 交 EC 于点 M ． （1）求证： AHF 为等腰直角三角形．（2）若 AB  3 ， EC  5 ，求 EM 的长． 26．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择 了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点 A，在他们所在的岸边选择了点 B，使得 AB 与河岸垂直，并在 B 点竖起标杆 BC，再在 AB 的延长线上选择点 D 竖起标杆 DE，使得点 E 与点 C、A 共线． 已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得 BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示． 请根据相关测量信息，求河宽 AB． 27．如图 1，在矩形 ABCD 中，P 为 CD 边上一点（DP＜CP），∠APB=90°．将△ADP 沿 AP 翻折得到△AD′P，PD′的延长线交边 AB 于点 M，过点 B 作 BN∥MP 交 DC 于点 N． （1）求证：AD2=DP•PC； （2）请判断四边形 PMBN 的形状，并说明理由； （3）如图 2，连接 AC，分别交 PM，PB 于点 E，F．若 EF DP 1 = ，求 的值． AD 2 AE 28．如图 1，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，BC=2AB=8，点 D，E 分别是边 BC，AC 的中点， 连接 DE，将△EDC 绕点 C 按顺时针方向旋转，记旋转角为 α. （1）问题发现 AE ① 当   0�时， BD  ；② 当 AE 时， BD  （2）拓展探究 试判断：当 0°≤α＜360°时， AE 的大小有无变化？请仅就图 2 的情况给出证明. DB （3）问题解决 当△EDC 旋转至 A、D、E 三点共线时，直接写出线段 BD 的长. 参考答案 1．A 【分析】连接 AM，根据等腰三角形三线合一的性质得到 AM⊥BC，根据勾股定理求得 AM 的长，再根据在直角三角形的面积公式即可求得 MN 的长． 解：连接 AM， ∵AB=AC，点 M 为 BC 中点， ∴AM⊥CM（三线合一），BM=CM， ∵AB=AC=5，BC=6， ∴BM=CM=3， 在 Rt△ABM 中，AB=5，BM=3， ∴根据勾股定理得：AM= = AB 2  BM 2 52  32 =4， 1 1 又 S△AMC= 2 MN•AC= 2 AM•MC， ∴MN= = AM ·CM AC 12 ． 5 故选 A． 【点拨】综合运用等腰三角形的三线合一，勾股定理．特别注意结论：直角三角形斜边上 的高等于两条直角边的乘积除以斜边． 2．D 解：分析：由 GE∥BD、GF∥AC 可得出△AEG∽△ABD、△DFG∽△DCA，根据相似三角形 的性质即可找出 AE AG CF   ，此题得解． BE DG DF 详解：∵GE∥BD，GF∥AC， ∴△AEG∽△ABD，△DFG∽△DCA， ∴ AE AG DG DF   AB AD ， DA DC ， ∴ AE AG CF   BE DG DF ． 故选 D． 【点拨】：本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质找出 AE AG CF   是解题的关键． BE DG DF 3．B 【分析】根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得． 解：依题意，在矩形 ABDC 中截取矩形 ABFE， 则矩形 ABDC∽矩形 FDCE， 则 AB BD  DF DC 6 8 设 DF=xcm，得到： x = 6 解得：x=4.5， 则剩下的矩形面积是：4.5×6=27cm2． 【点拨】本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键． 4．B 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解. 解：已知给出的三角形的各边 AB