2020-2021 学年九年级（上）期末数学模拟试卷 一．填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分） 1．若 M（3，y）与 N（x，y﹣1）关于原点对称，则 xy 的值为　 　． 2．把抛物线 y＝2x2+1 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，得到的抛物线的 解析式为 　 　． 3．一元二次方程 x2﹣ x+（b+1）＝0 无实数根，则 b 的取值范围为　 　． 4．若一个圆锥的底面圆的半径为 2，其侧面展开图是半圆，则此圆锥的侧面积是　 　． 5．如图，设点 P 在函数 的 图 象 上 ， PC⊥x 轴 于 点 C ， 交 函 数 y ＝ 的图象于点 A，PD⊥y 轴于点 D，交函数 y＝ 的图象于点 B，则四边形 PAOB 的面积为　 　． 6 ． 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， △ ABO 三 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为 A （ ﹣ 6 ， 2 ） ， B （ ﹣ 4，0），O（0，0）．以原点 O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的 △CDO，则点 A 的对应点 C 的坐标是　 　． 二．选择题（共 8 小题，满分 32 分，每小题 4 分） 7．如图所示的中心对称图形中，对称中心是（　　） A．O1 8．有下列事件： B．O2 C．O3 D．O4 ，得到 ①367 人中至少有 2 人的生日相同； ② 抛掷一只均匀的骰子两次，朝上一面的点数之和一定大于等于 2； ③ 某种彩票中奖率为 1%，买 10000 张该种票一定会中奖； ④ 在一个装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球． 其中是确定性事件的有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 9．如图，在扇形 AOB 中，∠AOB＝130°，OA＝3，若弦 BC∥AO，则 A． B． C． D．4 个 的长为（　　） D． 10．已知正比例函数 y1 的图象与反比例函数 y2 的图象相交于点 A（2，4），下面四个判断 正确的有（　　） ① 反比例函数 y2 的解析式是 y2＝﹣ ② 两个函数图象还有另一交点，且坐标为（﹣2，﹣4） ③ 当 x＜﹣2 或 0＜x＜2 时，y1＜y2 ④ 正比例函数 y1 与反比例函数 y2 都随 x 的增大而增大 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 11．《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为 中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一 个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何．”其大意是：如图， Rt△ABC 的两 条直角边的长分别为 5 和 12，则它的内接正方形 CDEF 的边长为（　　） A． B． C． D． 12．小强在一次训练中，掷出的实心球飞行高度 y（米）与水平距离 x（米）之间的关系大 致满足二次函数 y＝﹣ A．8 米 x2+ x+ ，则小强此次成绩为（　　） B．10 米 C．12 米 13 ． 如 图 ， 正 方 形 ABCD 内 接 于 ⊙ O ． 点 E 为 D．14 米 上 一 点 ， 连 接 BE 、 CE ， 若 ∠ CBE ＝ 15°，BE＝3，则 BC 的长为（　　） A． B． C． D． 14．二次函数 y＝αx2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列命题中正确的是（　　） A．α＞b＞c B．m（am+b）+b＜a（m 是任意实数） C．3a+c＞0 D．一次函数 y＝αx+c 的图象不经第四象限 三．解答题（共 9 小题，满分 70 分） 15．（8 分）解方程： （1）x2﹣4x+2＝0； （2）x（x﹣1）＝2（x﹣1）． 16．（6 分）如图所示，在边长为 1 的正方形组成的网格中，△AOB 的顶点均在格点上， 点 A，B 的坐标分别是 A（3，3）、B（1，2），△AOB 绕点 O 逆时针旋转 90°后得到 △A1OB1． （1）画出△A1OB1，直接写出点 A1，B1 的坐标； （2）在旋转过程中，点 A 经过的路径的长． 17．（7 分）在全国人民的共同努力下，新冠肺炎确诊病例逐渐减少，据统计，某地区 2 月 2 日累计新冠肺炎确诊病例 144 例，2 月 16 日累计新冠肺炎确诊病例 36 例，那么这 两周确诊病例平均每周降低的百分率是多少？ 18．（7 分）在一个不透明的口袋中装有 4 个依次写有数字 1，2，3，4 的小球，它们除数 字外都相同，每次摸球前都将小球摇匀． （1）从中随机摸出一个小球，上面的数字不小于 2 的概率为　 　． （2）从中随机摸出一球不放回，再随机摸出一球，请用列表或画树状图的方法，求两 次摸出小球上的数字和恰好是奇数的概率． 19．（7 分）已知反比例函数 y＝﹣ 的图象经过点 A（﹣2，m）． （1）求 m 的值； （2）若点 B（x1，y1），C（x2，y2）是该反比例函数图象上的两点，并且满足 x1＞x2＞ 0，则 y1 与 y2 的大小关系是　 　（用“＜”号连接）． 20．（7 分）如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC，E 为 BC 上一点，∠BDE＝∠BAD＝90°． （1）求证：BD2＝BA•BE； （2）若 AB＝6，BE＝8，求 CD 的长． 21．（8 分）因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶 进价 50 元，每天销售量 y（桶）与销售单价 x（元）之间满足一次函数关系，其图象如 图所示． （1）求 y 与 x 之间的函数表达式； （2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少 元？（利润＝销售价﹣进价） 22．（8 分）如图，AB 是⊙O 的直径，过圆外一点 E 作 EF 与⊙O 相切于 G，交 AB 的延长 线于 F，EC⊥AB 于点 H，交⊙O 于 D、C 两点，连接 AG 交 DC 于点 K． （1）求证：EG＝EK； （2）连接 AC，若 AC∥EF，cos∠ACK＝ ，AK＝ ，求⊙O 的半径长． 23．（12 分）已知抛物线 y＝x2+bx+c 与 x 轴交于 A（x1 ，0），B（x2 ，0）两点，且 x1 ＜ x2，若 x22+3x12＝3k（k 为正整数），我们把该抛物线称为“B 系抛物线”． 特例感知： （1）当 b＝2，c＝﹣15 时，请判断抛物线 y＝x2+bx+c 是否是“B 系抛物线”，并说明理由． 推广验证： （2）若 c＝﹣ b2，且 b 为负整数，请判断抛物线 y＝x2+bx+c 是否是“B 系抛物线”，并 说明理由． 拓展应用： （3）在（2）的条件下，若 M 为该抛物线的顶点，且△ABM 为等腰直角三角形，求该 抛物线的解析式． 参考答案 一．填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分） 1．解：∵M（3，y）与 N（x，y﹣1）关于原点对称， ∴x＝﹣3，y﹣1＝﹣y， 解得：x＝﹣3，y＝ ， ∴xy＝﹣ ， 故答案为：﹣ ． 2．解：把抛物线 y＝2x2+1 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，得到的抛物 线的解析式为：y＝2（x+1）2+1﹣3，即 y＝2x2+4x 故答案为 y＝2x2+4x． 3．解：∵一元二次方程 x2﹣ x+（b+1）＝0 无实数根， ∴Δ＝（﹣ ）2﹣4×1×（b+1）＜0， 解得：b＞﹣ ， 故答案为：b＞﹣ ． 4．解：底面半径为 2，则底面周长＝4π，侧面展开图是半圆，则母线长＝4π×2÷2π＝4， ∴圆锥的侧面积＝ ×4π×4＝8π． 故答案为：8π． 5．解：根据题意，S 矩形 PCOD＝PC•PD＝5， S△OBD＝S△OAC＝ ×2＝1， 所以，四边形 PAOB 的面积＝S 四边形 PCOD﹣S△OBD﹣S△OAC＝5﹣1﹣1＝3． 故答案为：3． 6．解：∵A 点坐标为（﹣6，2），以原点 O 为位似中心，把△ABO 缩小为原来的 得到 △CDO， ∴C 点坐标为（﹣3，1）或（3，﹣1）． 故答案为（﹣3，1）或（3，﹣1）． 二．选择题（共 8 小题，满分 32 分，每小题 4 分） 7．解：如图所示的中心对称图形中，对称中心是 O2． 故选：B． 8．解：① 367 人中至少有 2 人的生日相同是必然事件，属于确定事件； ② 抛掷一只均匀的骰子两次，朝上一面的点数之和一定大于等于 2 是必然事件，属于确 定事件； ③ 某种彩票中奖率为 1%，买 10000 张该种票一定会中奖是随机事件； ④ 在一个装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球是不可能事件，属于确定事件． 故选：C． 9．解：连接 OC，如图， ∵BC∥OA， ∴∠AOB+∠OBC＝180°，∠C＝∠AOC， ∵∠AOB＝130°， ∴∠OBC＝50°， ∵OB＝OC， ∴∠C＝∠OBC＝50°， ∴∠AOC＝50°， ∴ 的长＝ ＝ ． 故选：C． 10．解：由正比例函数 y1 的图象与反比例函数 y2 的图象相交于点 A（2，4），可求出， y1＝2x，y2＝ ， 因此①不正确； 由函数的对称性可得，两个函数图象还有另一交点，且坐标为（﹣2，﹣4） 因此②正确； 由两个函数的交点坐标以及函数的性质可得，当 x＜﹣2 或 0＜x＜2 时，y1＜y2， 因此③正确； 因为反比例函数，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小， 因此④不正确； 综上所述，正确的有②③，有两个， 故选：B． 11．解：∵四边形 CDEF 是正方形， ∴CD＝ED，DE∥CF， 设 ED＝x，则 CD＝x，AD＝5﹣x， ∵DE∥CF， ∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B， ∴△ADE∽△ACB， ∴ ＝ ∴ ＝ ∴x＝ ， ， ， ∴正方形 CDEF 的边长为 ． 故选：B． 12．解：在 y＝﹣ x2+ x+ 中，当 y＝0 时，﹣ 解得 x1＝﹣2（舍去），x2＝10， x2+ x+ ＝0， 即小强此次成绩为 10 米， 故选：B． 13．解：连接 OA，OB，OE， ∵正方形 ABCD 内接于⊙O， ∴OA＝OB＝OE，∠AOB＝ ＝90°，AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠OAB＝∠OBA＝ （180°﹣∠AOB）＝45°， ∴∠OBC＝∠ABC﹣∠OBA＝45°， ∵∠CBE＝15°， ∴∠OBE＝∠OBC+∠CBE＝60°， ∴△OBE 是等边三角形， ∴OB＝BE＝3， ∴OA＝3， ＝3 ∴AB＝ ∴BC＝3 ， ， 故选：D． 14．解：A、由二次函数的图象开口向上可得 a＞0，由抛物线与 y 轴交于 x 轴下方可得 c＜ 0，由 x＝﹣1，得出﹣ ＝