第十九章 一次函数【知识梳理】 第19章 一次函数 19.1 函数 常量与变量 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ① 常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它 是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ② 常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③ 不要认为字母就是变量，例如 π 是常量． 函数的概念 函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量 x 与 y，对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与 其对应，那么就说 y 是 x 的函数，x 是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生 变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 函数关系式 用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式． 注意： ① 函数解析式是等式． ② 函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数． ③ 函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y=x+9 时表示 y 是 x 的函数，若写成 x=-y+9 就表示 x 是 y 的函数． 函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ① 当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如 y=2x+13 中的 x． ② 当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如 y=x+2x-1． ③ 当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④ 对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求 相应的自变量的值就是解方程； ② 当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 函数的图象 函数的图象定义 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这 些点组成的图形就是这个函数的图象． 注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对 x、y 的值， 所对应的点一定在函数图象上；③判断点 P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点 P（x，y）的 x、y 的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式， 这个点就不在函数的图象上．． 动点问题的函数图象 函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问 题，还可以提高分析问题、解决问题的能力． 用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图． 函数的表示方法 函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法． 其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解 析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之 亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律． 注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化． 19.2 一次函数 一次函数的定义 （1）一次函数的定义： 一般地，形如 y=kx+b（k≠0，k、b 是常数）的函数，叫做一次函数． （2）注意： ① 又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为 y=kx+b（k≠0，k、b 是常数）的形式． ② 一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为 1；常数项 b 可以为任意实数． ③ 一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④ 若 k=0，则 y=b（b 为常数），此时它不是一次函数． 正比例函数的定义 （1）正比例函数的定义： 一般地，形如 y=kx（k 是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求： k 是常数， k≠0，k 是正数也可以是负数． （2）正比例函数图象的性质 正比例函数 y=kx（k 是常数，k≠0），我们通常称之为直线 y=kx． 当 k＞0 时，直线 y=kx 依次经过第三、一象限，从左向右上升，y 随 x 的增大而增大；当 k＜0 时， 直线 y=kx 依次经过第二、四象限，从左向右下降，y 随 x 的增大而减小． （3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是 y=kx（k 是常数，k≠0）的图 象． 一次函数图象上点的坐标特征 一次函数 y=kx+b，（k≠0，且 k，b 为常数）的图象是一条直线．它与 x 轴的交点坐标是 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式 y=kx+b． 一次函数的图象 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点 的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函 数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如 x=a，y=b 分别是与 y 轴，x 轴平行的直线， 就不是一次函数的图象． （2）一次函数图象之间的位置关系：直线 y=kx+b，可以看做由直线 y=kx 平移|b|个单位而得到． 当 b＞0 时，向上平移；b＜0 时，向下平移． 注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ② 将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ③ 两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 一次函数的性质 一次函数的性质： k＞0，y 随 x 的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y 随 x 的增大而减小，函数从左到右下降． 由于 y=kx+b 与 y 轴交于（0，b），当 b＞0 时，（0，b）在 y 轴的正半轴上，直线与 y 轴交于正 半轴；当 b＜0 时，（0，b）在 y 轴的负半轴，直线与 y 轴交于负半轴． 一次函数图象与系数的关系 由于 y=kx+b 与 y 轴交于（0，b），当 b＞0 时，（0，b）在 y 轴的正半轴上，直线与 y 轴交于正 半轴；当 b＜0 时，（0，b）在 y 轴的负半轴，直线与 y 轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y=kx+b 的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y=kx+b 的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y=kx+b 的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0⇔y=kx+b 的图象在二、三、四象限． 一次函数图象与几何变换 直线 y=kx+b，（k≠0，且 k，b 为常数） ① 关于 x 轴对称，就是 x 不变，y 变成-y：-y=kx+b，即 y=-kx-b； （关于 X 轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数） ② 关于 y 轴对称，就是 y 不变，x 变成-x：y=k（-x）+b，即 y=-kx+b； （关于 y 轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数） ③ 关于原点对称，就是 x 和 y 都变成相反数：-y=k（-x）+b，即 y=kx-b． （关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数） 待定系数法求一次函数解析式 待定系数法求一次函数解析式一般步骤是： （1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设 y=kx+b； （2）将自变量 x 的值及与它对应的函数值 y 的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方 程组； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 注意：求正比例函数，只要一对 x，y 的值就可以， 因为它只有一个 待定系数；而求一次函数 y=kx+b，则需要两组 x，y 的值． 一次函数与一元一次不等式 （1）一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数 y=kx+b 的值大于（或小于）0 的自变量 x 的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线 y=kx+b 在 x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的 集合． （2）用画函数图象的方法解不等式 kx+b＞0（或＜0） 19.3 课题学习 选择方案 根据实际问题列一次函数关系式 根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意 的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ① 描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他 函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ② 函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转 化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 一次函数的应用 1、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理， 又要符合实际． 2、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的 条件寻求可以反映实际问题的函数． 3、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 一次函数综合题 （1）一次函数与几何图形的面积问题 首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积． （2）一次函数的优化问题 通常一次函数的最值问题首先由不等式找到 x 的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内 的前提下求出最值． （3）用函数图象解决实际问题 从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．