《分解因式》题型解读 5 “分组分解法”题型 【题型特点】出现四项或四项以上的多项式因式分解题目 【解题方法】“分组分解法”，也叫“二次分解法” 【方法特征】先给多项式分组，两次运用“提取公式法或公式法”进行因式分解 【典型例题】 例 1.先阅读材料，然后回答问题： 用 分 组 分 解 法 分 解 多 项 式 mx+nx+my+ny=(mx+nx)+(my+ny). 组 内 公 因 式 分 别 为 x,y ， 组 间 公 因 式 为 (m+n)，最后分解的结果为(m+n)(x+y). （1）材料中的多项式也可以这样分解：mx+nx+my+ny=_______+______，组内公因式分别为______，组间 公因式为______，最后分解的结果为________； （2）上述两种分组的目的都是_______，分组分解的另一个目的是分组后能运用公因式法分解，请你设计一个关 于字母的二次四项式的因式分解，要求用到分组分解法和完全平方公式。 【解析】 （1）材料中的多项式也可以这样分解：mx+nx+my+ny=(mx+my)+(nx+ny)，组内公因式分别为 m,n，组 间公因式为(x+y)，最后分解的结果为(m+n)(x+y)； （2）上述两种分组的目的都是提取公因式 2 2 2 2 2 2 例： x − y + 2 x +1=( x +2 x+1 ) − y =( x−1 ) − y =( x −1+ y)( x−1− y) 【点评】 要把多项分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式，再把它的后两项分成一组，并提出公因式， 从而得到，这时，又有公式因，再提，最终多项式分解成，像这种分解因式的方法叫分组分解法，又叫二次分解 法，适合于项数超过三项的多项式因式分解，且在分组之后，先第一次运用“提取公式法或公式法”进行分解，分解 变形后，第二次运用“提取公式法或公式法”，即可把多项式分解彻底。 2 例 2.分解下列因式： x +2 x−6 y −9 y 2 x 2 (¿ )+(2 x−6 y )=(x+ 3 y )( x−3 y )+ 2( x−3 y)=(x−3 y )( x +3 y+ 2) ¿ 2−9 y 【解析】 2 x + 2 x−6 y−9 y 2=¿ 【点评】将多项式分组后，分别出现平方差公式和有公因式的项，第一次分解后，再次出现公式式(x-3y)，再运 用提取公因式法即可求解。 2 2 例 3.有人说，无论 x 取何实数，代数式 x + y −10 x +8 y + 45 的值总是正数，你的看法如何？请说说你的理由. y+4 ¿ 【解析】 ¿ 2 2 2 2 2 x + y −10 x +8 y + 45=( x −10 x +25 ) + ( y +8 y +16 ) +4=( x−5) + ¿ y+4 y+ 4 ¿ ¿ 2 2 ∵ ,∴ ,∴无论 x 取何实数，代数式 x + y −10 x +8 y + 45 的值总是正数 ¿ ¿ (x−5)2 ≥ 0, ¿ (x−5)2+ ¿ 【点评】将多项式分组后，出现完全平方式，运用完全平方公式平方的“非负性”即可求解，实质就是“配方法”。 2 2 2 例 4.已知△ABC 三边分别是 a,b,c，且满足 a +b + c −ab−ac−bc=0 ，求△ABC 是什么三角形？ 【解析】△ABC 是等边三角形，理由是： 2 2 2 2 2 2 ∵ a +b + c −ab−ac−bc=0 ，∴ 2 a +2 b +2 c −2 ab−2 ac−2 bc=0 ， a 2 2 2 2 2 (¿ ¿ 2−2 ab +b )+(a −2 ac +c )+(b −2 bc+ c )=0 ， 则 ¿ 即 c a−¿ ， ¿ 2 (a−b) + ¿ ∴ a-b=0,a-c=0,b- c=0，∴a=b=c，∴△ABC 是等边三角形. 【点评】将多项式分组后，出现完全平方式，运用完全平方公式及平方的“非负性”即可求解，实质就是“配方法”。 例 5.将下列多项式因式分解 ① 2 bx−ax−10 by +5 ay ； ② x −x −4 x −4 ； ③ 1−a + 2ab−b ④ x y −2 xy +2 y−4 3 2 2 ； 2 解析: ① ② 2 2 bx−ax−10 by +5 ay=−x ( a−2b )+ 5 y ( a−2 b )=(a−2 b)(−x +5 y ) x 3−x 2−4 x −4=x 2 ( x−1 )−4 ( x −1 )=( x−1 ) ( x 2−4 )=(x−1)( x+ 2)( x−2) 2 ③ 1−a 2+ 2ab−b 2=1−( a2−2 ab+ b2 )=1−( a−b ) =(1+a−b)(1−a+b) ④ x y 2−2 xy +2 y−4=xy ( y−2 )+ 2 ( y −2 )=( xy+ 2)( y −2) 2 2 例 6.无论 a,b 取何值， a +b −2 a+12 b+40 的值都是（ ） A. 正数 B. 负数 C. 零 D.非负数 b−6 ¿ ,选 A. 解析： ¿ 2 2 2 2 2 ( ) ( ) a +b −2 a+12 b+40= a −2 a+1 + b +12b +36 +3=( a−1 ) + ¿ 2 2 2 例 7. 已知△ABC 三边分别是 a,b,c，且满足 2 a +b +c −2 ac−8 a−2 b+17=0 ，求△ABC 是什么三角形？ 2 2 2 解析：∵ 2 a +b +c −2 ac−8 a−2 b+17=0 ， a ∴ (¿ ¿ 2−2 ac +c )+(a −8 a+16)+(b2−2 b+ 1)=0 ， ¿ 2 2 4 a−¿ 则 ， ¿ 2 (a−c) +¿ ∴a-b=0,a-4=0,b-1=0，∴a=c=4， ∴△ABC 是等腰三角形. 2 2 2 2 4 例 8. 若△ABC 三边分别是 a,b,c，且满足 a c −b c =a −b 4 ，则△ABC 是（ A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 2 2 2 2 4 解析：∵ a c −b c =a −b 2 ∴ 2 2 2 2 2 4 ， 2 a −b ¿ c =(a −b )(a + b ) ¿ 2 2 当 a −b =0 时，即 a=b，则△ABC 是等腰三角形； ） 2 2 2 2 当 a −b ≠ 0 时，等式可变形为： c =a −b 2 ， ∴△ABC 是直角三角形.∴选 D. 例 9．阅读下列题目的解题过程： 已知 a、b、c 为△ABC 的三边，且满足 a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC 的形状． 解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4 ………………………………（A） ∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）………………… （B） ∴c2=a2+b2 ……………………………………………..（C） ∴△ABC 是直角三角形 问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：　　； （2）错误的原因为：　 　； （3）本题正确的结论为：　 　． 【分析】 （1）根据题目中的书写步骤可以解答本题； （2）根据题目中 B 到 C 可知没有考虑 a=b 的情况； （3）根据题意可以写出正确的结论． 【解答】 解：（1）由题目中的解答步骤可得， 错误步骤的代号为：C， 故答案为：C； （2）错误的原因为：没有考虑 a=b 的情况， 故答案为：没有考虑 a=b 的情况； （3）本题正确的结论为：△ABC 是等腰三角形或直角三角形， 故答案为：△ABC 是等腰三角形或直角三角形．