2020--2021 学年七年级下册 第 7 章 《平面图形的认识 （二）》 单元高频易错必刷题（一） 1．完成下面的证明： 如 图 ， 点 D ， E ， F 分 别 是 三 角 形 ABC 的 边 BC ， CA ， AB 上 的 点 ， 连 接 DE，DF，DE∥AB，∠BFD＝∠CED，连接 BE 交 DF 于点 G，求证：∠EGF+∠AEG＝ 180°． 证明：∵DE∥AB（已知）， ∴∠A＝∠CED（　 　） 又∵∠BFD＝∠CED（已知）， ∴∠A＝∠BFD（　 　） ∴DF∥AE（　 　） ∴∠EGF+∠AEG＝180°（　 　） 2．已知：如图，点 D、E、F、G 都在△ABC 的边上，DE∥AC，且∠1+∠2＝180° （1）求证：AD∥FG； （2）若 DE 平分∠ADB，∠C＝40°，求∠BFG 的度数． 3．已知 AM∥CN，点 B 为平面内一点，AB⊥BC 于 B． （1）如图 1，直接写出∠A 和∠C 之间的数量关系　 　； （2）如图 2，过点 B 作 BD⊥AM 于点 D，求证：∠ABD＝∠C； （3）如图 3，在（2）问的条件下，点 E、F 在 DM 上，连接 BE、BF、CF，BF 平分 ∠DBC，BE 平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC 的度数． 4．已知：如图，△ABC 中，∠BAD＝∠EBC，AD 交 BE 于 F． （1）试说明：∠ABC＝∠BFD； （2）若∠ABC＝35°，EG∥AD，EH⊥BE，求∠HEG 的度数． 5 ． 已 知 ： 点 A 在 直 线 DE 上 ， 点 B 、 C 都 在 PQ 上 （ 点 B 在 点 C 的 左 侧 ） ， 连 接 AB，AC，AB 平分∠CAD，且∠ABC＝∠BAC． （1）如图 1，求证：DE∥PQ； （2）如图 2，点 K 为 AB 上一点，连接 CK，若∠EAC＝2∠ACK，求∠AKC 的度数； （3）在（2）的条件下，点 F 在直线 DE 上，连接 FK，且∠DAB＝∠AFK+∠KCB，若 ∠FKA＝ ∠AKC，求∠ACB 的度数．（要求：在备用图中画出图形后，再计算） 6．如图，已知 BC∥GE，∠AFG＝∠1＝50°． （1）求证：AF∥DE； （2）若 AQ 平分∠FAC，交 BC 于点 Q，且∠Q＝15°，求∠ACQ 的度数． 7．如图 1，在△ABC 的 AB 边的异侧作△ABD，并使∠C＝∠D，点 E 在射线 CA 上． （1）如图，若 AC∥BD，求证：AD∥BC； （2）若 BD⊥BC，试解决下面两个问题： ① 如图 2，∠DAE＝20°，求∠C 的度数； ② 如图 3，若∠BAC＝∠BAD，过点 B 作 BF∥AD 交射线 CA 于点 F，当∠EFB＝7∠DBF 时，求∠BAD 的度数． 8．阅读下面的材料，并解决问题． （1）已知在△ABC 中，∠A＝60°，图 1﹣3 的△ABC 的内角平分线或外角平分线交于点 O，请直接求出下列角度的度数． 如图 1，∠O＝　 　；如图 2，∠O＝　 　；如图 3，∠O＝　 　； 如图 4，∠ABC，∠ACB 的三等分线交于点 O1，O2，连接 O1O2，则∠BO2O1＝　 　． （2）如图 5，点 O 是△ABC 两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+ ∠A． （3）如图 6，△ABC 中，∠ABC 的三等分线分别与∠ACB 的平分线交于点 O1，O2，若 ∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A 的度数． 9．如图，直线 AB 和直线 BC 相交于点 B，连接 AC，点 D、E、H 分别在 AB、AC、BC 上， 连接 DE、DH，F 是 DH 上一点，已知∠1+∠3＝180° （1）求证：∠CEF＝∠EAD； （2）若 DH 平分∠BDE，∠2＝α，求∠3 的度数．（用 α 表示）． 10．问题情境 （1）如图 1，已知 AB∥CD，∠PBA＝125°，∠PCD＝155°，求∠BPC 的度数． 佩佩同学的思路：过点 P 作 PG∥AB，进而 PG∥CD，由平行线的性质来求∠BPC，求得 ∠BPC＝　 　°； 问题迁移 （2）图 2，图 3 均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的 两边重合，∠ACB＝90°，DF∥CG，AB 与 FD 相交于点 E，有一动点 P 在边 BC 上运动， 连接 PE，PA，记∠PED＝∠α，∠PAC＝∠β． ① 如图 2，当点 P 在 C，D 两点之间运动时，请直接写出∠APE 与∠α，∠β 之间的数量 关系； ② 如图 3，当点 P 在 B，D 两点之间运动时，∠APE 与∠α，∠β 之间有何数量关系？请 判断并说明理由． 参考答案 1．证明：∵DE∥AB（已知）， ∴∠A＝∠CED（两直线平行，同位角相等） 又∵∠BFD＝∠CED（已知）， ∴∠A＝∠BFD（等量代换） ∴DF∥AE（同位角相等，两直线平行） ∴∠EGF+∠AEG＝180°（两直线平行，同旁内角互补） 故答案为：两直线平行，同位角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平 行，同旁内角互补． 2．证明：（1）∵DE∥AC ∴∠2＝∠DAC ∵∠l+∠2＝180° ∴∠1+∠DAC＝180° ∴AD∥GF （2）∵ED∥AC ∴∠EDB＝∠C＝40° ∵ED 平分∠ADB ∴∠2＝∠EDB＝40° ∴∠ADB＝80° ∵AD∥FG ∴∠BFG＝∠ADB＝80° 3．解：（1）如图 1，AM 与 BC 的交点记作点 O， ∵AM∥CN， ∴∠C＝∠AOB， ∵AB⊥BC， ∴∠A+∠AOB＝90°， ∴∠A+∠C＝90°， 故答案为：∠A+∠C＝90°； （2）如图 2，过点 B 作 BG∥DM， ∵BD⊥AM， ∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG＝90°， 又∵AB⊥BC， ∴∠CBG+∠ABG＝90°， ∴∠ABD＝∠CBG， ∵AM∥CN，BG∥AM， ∴CN∥BG， ∴∠C＝∠CBG， ∴∠ABD＝∠C； （3）如图 3，过点 B 作 BG∥DM， ∵BF 平分∠DBC，BE 平分∠ABD， ∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE， 由（2）可得∠ABD＝∠CBG， ∴∠ABF＝∠GBF， 设∠DBE＝α，∠ABF＝β，则 ∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，∠GBF＝β＝∠AFB，∠BFC＝3∠DBE＝3α， ∴∠AFC＝3α+β， ∵∠AFC+∠NCF＝180°，∠FCB+∠NCF＝180°， ∴∠FCB＝∠AFC＝3α+β， △BCF 中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得 （2α+β）+3α+（3α+β）＝180°，① 由 AB⊥BC，可得 β+β+2α＝90°，② 由①②联立方程组，解得 α＝15°， ∴∠ABE＝15°， ∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°． 4．解：（1）∵∠BFD＝∠ABF+∠BAD，∠ABC＝∠ABF+∠FBC， ∵∠BAD＝∠EBC， ∴∠ABC＝∠BFD； （2）∵∠BFD＝∠ABC＝35°， ∵EG∥AD， ∴∠BEG＝∠BFD＝35°， ∵EH⊥BE， ∴∠BEH＝90°， ∴∠HEG＝∠BEH﹣∠BEG＝55°． 5．解：（1）∵AB 平分∠CAD， ∴∠DAB＝∠BAC， ∵∠ABC＝∠BAC， ∴∠DAB＝∠ABC， ∴DE∥PQ； （2）∵PQ∥DE ∴∠EAC＝∠ACB， ∵∠EAC＝2∠ACK， ， ∴∠ACB＝2∠ACK， ∵∠ABC+∠BAC+∠ACB＝180°， ∴∠BAC+∠ACK＝90°， ∴∠AKC＝90°； （3）①如图，∵∠DAB＝∠ABC，∠DAB＝∠AFK+∠KCB， ∴∠AKF＝∠KCB， ∵∠FKA＝ ∠AKC，∠AKC＝90°， ∴∠FKA＝30°， ∴∠KCB＝30°， ∵∠ACB＝2∠ACK＝2∠KCB， ∴∠ACB＝60°； ② 如图，∵∠FKA＝ ∠AKC，∠AKC＝90°， ∴∠FKA＝30°， ∴∠FKM＝60°， ∴∠AFK＝60°+∠FMC， ∵DE∥PQ， ∴∠AMC＝∠KCB， ∴∠DAB＝∠AFK+∠KCB＝60°+2∠KCB＝60°+∠ACB， ∵∠DAB＝∠ABC， ∴90°﹣ ∠ACB＝60°+∠ACB， ∴∠ACB＝20°； ∴∠ACB＝60°或∠ACB＝20°． 6．（1）证明：∵BC∥GE， ∴∠E＝∠1＝50°， ∵∠AFG＝∠1＝50°， ∴∠E＝∠AFG＝50°， ∴AF∥DE； （2）解：∵∠1＝50°，∠Q＝15°， ∴∠AHD＝65°， ∵AF∥DE， ∴∠FAQ＝∠AHD＝65°， ∵AQ 平分∠FAC， ∴∠CAQ＝∠FAQ＝65°， ∴∠ACQ＝180°﹣∠CAQ﹣∠Q＝180°﹣65°﹣15°＝100°． 7．解：（1）如图 1 所示： ∵AC∥BD， ∴∠D＝∠DAE， 又∵∠C＝∠D， ∴∠DAE＝∠C， ∴AD∥BC； （2）①如图 2 所示： ∵BD⊥BC， ∴∠HBC＝90°， ∴∠C+∠BHC＝90°， 又∵∠BHC＝∠DAE+∠D， ∠C＝∠D，∠DAE＝20°， ∴20°+2∠C＝90°， ∴∠C＝35°； ② 如图 3 所示： ∵BF∥AD， ∴∠D＝∠DBF， 又∵∠C＝∠D， ∴∠C＝∠D＝∠DBF， 又∵BD⊥BC， ∴∠DBC＝90°， 又∵∠D+∠DBA+∠BAD＝180°， ∠C+∠CBA+∠BAC＝180°． ∠BAC＝∠BAD， ∴∠DBA＝∠CBA＝45°， 又∵∠EFB＝7∠DBF， ∠EFB＝∠FBC+∠C， ∴7∠DBF＝2∠DBF+∠DBC， 解得：∠DBF＝18°， ∴∠BAD＝180°﹣45°﹣18°＝117°． 8．解；（1）如图 1， ∵BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACB ∴∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB ∴∠OBC+∠OCB ＝ （∠ABC+∠ACB） ＝ （180°﹣∠BAC） ＝ （180°﹣60°） ＝60° ∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°； 如图 2， ∵BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACD ∴∠OBC＝ ∠ABC，∠OCD＝ ∵∠ACD＝∠ABC+∠A ∴∠OCD＝ （∠ABC+∠A） ∠ACD ∵∠OCD＝∠OBC+∠O ∴∠O＝∠OCD﹣∠OBC ＝ ∠ABC+ ＝ ∠A ∠A﹣ ∠ABC ＝30° 如图 3， ∵BO 平分∠EBC，CO 平分∠BCD ∴∠OBC＝ ∠EBC，∠OCB＝ ∠BCD ∴∠OBC+∠OCB ＝ （∠EBC+∠BCD） ＝ （∠A+∠ACB