北师版七年级数学上册——专题典例 专题 2.9 第二章 实数 二次根式中的新定义问题 专题典例： 读懂新定义的规则，弄清规则的内涵与外延，利用规则所给模型解决相应问题． 例：小明是一位善于思考、勇于创新的同学．在学习了有关平方根的知识后，小明知道负 数没有平方根．比如：因为没有一个数的平方等于－1，所以－1 没有平方根．有一天，小 明想：如果存在一个数 i，使 i2＝－1，那么(－i)2＝－1，因此－1 就有两个平方根了．进 一步，小明想：因为(±2i)2＝－4，所以－4 的平方根是±2i；因为(±3i)2＝－9，所以－ 9 的平方根就是±3i.请你根据上面的信息解答下列问题： (1)求－16，－25 的平方根； (2)求 i3，i4，i5，i6，i7，i8，…的值，你发现了什么规律？请你将发现的规律用式子表 示出来； (3)求 i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2022 的值． 分析：(1)根据 i2＝－1 及找负数平方根的方法求解； (2)根据－1 的幂转化，找出规律； (3)根据 i＝n 中的规律，求解． 解： 1 变式练习 1．类比平方根，立方根，若 x4＝a(a≥0)，则 x 是 a 的四次方根，x5＝a，则 x 叫做 a 的 五次方根，则 16 的四次方根是______，－32 的五次方根是_____. 2．规定用符号[m]表示一个数 m 的整数部分，例如：[]＝0，[3.14]＝3.按此规定[＋1] 的值为______. 3．对于任意两个不相等实数 a，b，定义一种运算“△”如下：a△b＝，如 3△2＝＝，那么 8△4＝________. 4．对于任何实数 a，可用[a]表示不超过 a 的最大整数，如[4]＝4，[]＝1，现对 72 进行 如下操作：72――→[]＝8――→[]＝2――→[]＝1，这样对 72 只需进行________次操作 后变为 1.类似地，对 81 只需进行 3 次操作后变为 1；只需进行 3 次操作后变为 1 的所有 正整数中，最大的数是_______. 5．若规定两数 a，b，通过“※”运算得到(a－b)，即 a※b＝(a－b)，例如：2※6＝(2－6) ＝－4＝－8. (1)求※的值； (2)求 x※3－※4＝0 中的 x 的值． 解： 6．将式子变形为＝＝＋1，这种变形叫做分母有理化，利用分母有理化求值：＋＋＋…＋. 解： 北师版七年级数学上册——专题典例 2 专题 2.9 第二章 实数 二次根式中的新定义问题 （参考答案） 专题典例： 读懂新定义的规则，弄清规则的内涵与外延，利用规则所给模型解决相应问题． 例：小明是一位善于思考、勇于创新的同学．在学习了有关平方根的知识后，小明知道负 数没有平方根．比如：因为没有一个数的平方等于－1，所以－1 没有平方根．有一天，小 明想：如果存在一个数 i，使 i2＝－1，那么(－i)2＝－1，因此－1 就有两个平方根了．进 一步，小明想：因为(±2i)2＝－4，所以－4 的平方根是±2i；因为(±3i)2＝－9，所以－ 9 的平方根就是±3i.请你根据上面的信息解答下列问题： (1)求－16，－25 的平方根； (2)求 i3，i4，i5，i6，i7，i8，…的值，你发现了什么规律？请你将发现的规律用式子表 示出来； (3)求 i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2022 的值． 分析：(1)根据 i2＝－1 及找负数平方根的方法求解； (2)根据－1 的幂转化，找出规律； (3)根据 i＝n 中的规律，求解． 解：(1)因为(±4i)2＝－16，所以－16 的平方根是±4i，因为(±5i)2＝－25，所以－25 的平方根是±5i (2)i3＝－i，i4＝1，i5＝－i，i6＝－1，i7＝－i，i8＝1…规律：i 每 4 次方一个循环，结 果为 i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1(n 为自然数) (3)2022÷4＝505……2，故原式＝505×0＋i＋(－1)＝i－1 3 变式练习 1．类比平方根，立方根，若 x4＝a(a≥0)，则 x 是 a 的四次方根，x5＝a，则 x 叫做 a 的 五次方根，则 16 的四次方根是___±2___，－32 的五次方根是___-2__. 2．规定用符号[m]表示一个数 m 的整数部分，例如：[]＝0，[3.14]＝3.按此规定[＋1] 的值为___4___. 3．对于任意两个不相等实数 a，b，定义一种运算“△”如下：a△b＝，如 3△2＝＝，那么 8△4＝_________. 4．对于任何实数 a，可用[a]表示不超过 a 的最大整数，如[4]＝4，[]＝1，现对 72 进行 如下操作：72――→[]＝8――→[]＝2――→[]＝1，这样对 72 只需进行___3_____次操作 后变为 1.类似地，对 81 只需进行 3 次操作后变为 1；只需进行 3 次操作后变为 1 的所有 正整数中，最大的数是___255____. 5．若规定两数 a，b，通过“※”运算得到(a－b)，即 a※b＝(a－b)，例如：2※6＝(2－6) ＝－4＝－8. (1)求※的值； (2)求 x※3－※4＝0 中的 x 的值． 解：(1)※＝(－)＝－＝4－4 (2)方程可化为(x－3)－(－4)＝0，故 x＝－1 6．将式子变形为＝＝＋1，这种变形叫做分母有理化，利用分母有理化求值：＋＋＋…＋. 解：原式＝＋＋＋…＋＝(－1＋－＋…＋－)＝ 4