2021-2022 学年鲁教版八年级数学下册《第 6 章特殊平行四边形》 解答题专题提升训练 1（附答案） 1．如图，△ABC 中，AB＝AC，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，AE 平分∠BAC 的外角，且 ∠AEB＝90°．求证：四边形 ADBE 是矩形． 2．如图甲，在△ABC 中，∠ACB 为锐角，点 D 为射线 BC 上一动点，连接 AD，以 AD 为 一边且在 AD 的右侧作正方形 ADEF．解答下列问题： （1）如果 AB＝AC，∠BAC＝90°， ① 当点 D 在线段 BC 上时（与点 B 不重合），如图乙，线段 CF、BD 之间的位置关系为 ，数量关系为　 　． ② 当点 D 在线段 BC 的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？ （2）如果 AB≠AC，∠BAC≠90°点 D 在线段 BC 上运动．试探究：当△ABC 满足一个什 么条件时，CF⊥BC（点 C、F 重合除外）？并说明理由． 3．如图，在▱ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E、F 分别为 OB、OD 的中点， 延长 AE 至点 G，使 EG＝AE，联结 GC、CF． （1）求证：AE∥CF； （2）当 AC＝2AB 时，求证：四边形 EGCF 是矩形． 4．已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点 D 在 BC 上，DF⊥AB，垂足为 F，且 DF ＝CD，点 E 为线段 AD 的中点，过点 F 作 FG∥CE 交射线 AD 于 G，联结 CG． （1）求证：四边形 CEFG 是菱形． （2）当 AC＝BC 时，求证：四边形 CEFG 是正方形． 5 ． 已 知 ， 如 图 ， 在 ▱ ABCD 中 ， 分 别 在 边 BC 、 AD 上 取 两 点 ， 使 得 CE ＝ DF ， 连 接 EF，AE、BF 相交于点 O，若 AE⊥BF． （1）求证：四边形 ABEF 是菱形； （2）若四边形 ABEF 的周长为 16，∠BEF＝120°，求 AE 的长． 6．已知：如图，点 E 为▱ABCD 对角线 AC 上的一点，点 F 在线段 BE 的延长线上，且 EF ＝BE，线段 EF 与边 CD 相交于点 G． （1）求证：DF∥AC； （2）如果 AB＝BE，DG＝CG，联结 DE、CF，求证：四边形 DECF 是矩形． 7．如图，在△ABC 中，AB＝BC，点 D、E 分别在边 AB、BC 上，且 DE∥AC，AD＝DE， 点 F 在边 AC 上，且 CE＝CF，联结 FD． （1）求证：四边形 DECF 是菱形； （2）如果∠A＝30°，CE＝4，求四边形 DECF 的面积． 8．如图，在△ABC 中，O 为边 AC 的中点，过点 A 作 AD∥BC，与 BO 的延长线相交于点 D，E 为 AD 延长线上的任一点，联结 CE、CD． （1）求证：四边形 ABCD 是平行四边形： （2）当 D 为边 AE 的中点，且 CE＝2CO 时，求证：四边形 ABCD 为矩形． 9．已知：如图 1，在▱ABCD 中，点 G 为对角线 AC 的中点，过点 G 的直线 EF 分别交边 AB、CD 于点 E、F，过点 G 的直线 MN 分别交边 AD、BC 于点 M、N，且∠AGE＝ ∠CGN． （1）求证：四边形 ENFM 为平行四边形； （2）如图 2，当四边形 ENFM 为矩形时，求证：BE＝BN． 10．如图，矩形 ABCD 中，AB＝6，AD＝8，P，E 分别是线段 AC、BC 上的点，且四边形 PEFD 为矩形． （I）若△PCD 是等腰三角形时，求 AP 的长； （Ⅱ）判断 CF 与 AC 有怎样的位置关系并说明理由． 11．如图，四边形 ABCD 是正方形，AC 与 BD，相交于点 O，点 E、F 是边 AD 上两动点， 且 AE＝DF，BE 与对角线 AC 交于点 G，联结 DG，DG 交 CF 于点 H． （1）求证：∠ADG＝∠DCF； （2）联结 HO，试证明 HO 平分∠CHG． 12．已知：如图，在等边三角形 ABC 中，过边 AB 上一点 D 作 DE⊥BC，垂足为点 E，过 边 AC 上一点 G 作 GF⊥BC，垂足为点 F，BE＝CF，联结 DG． （1）求证：四边形 DEFG 是平行四边形； （2）连接 AF，当∠BAF＝3∠FAC 时，求证：四边形 DEFG 是正方形． 13．已知：如图，在▱ABCD 中，点 G 为对角线 AC 的中点，过点 G 的直线 EF 分别交边 AB、CD 于点 E、F，过点 G 的直线 MN 分别交边 AD、BC 于点 M、N，且∠AGE＝ ∠CGN． （1）求证：四边形 ENFM 为平行四边形； （2）当四边形 ENFM 为矩形时，求证：BE＝BN． 14．如图，已知正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，CE⊥AC 与 AD 边的延长线交于 点 E． （1）求证：四边形 BCED 是平行四边形； （2）延长 DB 至点 F，联结 CF，若 CF＝BD，求∠BCF 的大小． 15．如图 1，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点 D 是边 AB 的中点，点 E 在边 BC 上，AE＝ BE，点 M 是 AE 的中点，联结 CM，点 G 在线段 CM 上，作∠GDN＝∠AEB 交边 BC 于 N． （1）如图 2，当点 G 和点 M 重合时，求证：四边形 DMEN 是菱形； （2）如图 1，当点 G 和点 M、C 不重合时，求证：DG＝DN． 16．已知：正方形 ABCD 的边长为 厘米，对角线 AC 上的两个动点 E，F．点 E 从点 A，点 F 从点 C 同时出发，沿对角线以 1 厘米/秒的相同速度运动，过 E 作 EH⊥AC 交 Rt△ACD 的直角边于 H，过 F 作 FG⊥AC 交 Rt△ACD 的直角边于 G，连接 HG，EB．设 HE、EF、FG、GH 围成的图形面积为 S1，AE，EB，BA 围成的图形面积为 S2（这里规 定：线段的面积为 0）E 到达 C，F 到达 A 停止．若 E 的运动时间为 x 秒，解答下列问题： （1）如图，判断四边形 EFGH 是什么四边形，并证明； （2）当 0＜x＜8 时，求 x 为何值时，S1＝S2； （3）若 y 是 S1 与 S2 的和，试用 x 的代数式表示 y．（如图为备用图） 17．如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在边 AB 上（点 E 与点 A、B 不重合），过点 E 作 FG⊥DE，FG 与边 BC 相交于点 F，与边 DA 的延长线相交于点 G． （1）由几个不同的位置，分别测量 BF、AG、AE 的长，从中你能发现 BF、AG、AE 的 数量之间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论； （2）连接 DF，如果正方形的边长为 2，设 AE＝x，△DFG 的面积为 y，求 y 与 x 之间的 函数解析式，并写出函数的定义域； （3）如果正方形的边长为 2，FG 的长为 ，求点 C 到直线 DE 的距离． 18．如图，△ABC 中，AD 是边 BC 上的中线，过点 A 作 AE∥BC，过点 D 作 DE∥AB，DE 与 AC、AE 分别交于点 O、点 E，联结 EC． （1）求证：AD＝EC； （2）若 BC＝2AD，AB＝AO＝m，求证：S 四边形 ADCE ＝m2 ．（S 表示四边形 ADCE 面 积） 19 ． 如 图 ， 点 E 是 矩 形 ABCD 的 边 AD 的 中 点 ， 点 P 是 边 BC 上 的 动 点 ， PM⊥BE，PN⊥CE，垂足分别是 M、N． 求：当 AB 和 AD 应满足怎样的数量关系时，四边形 PMEN 是矩形？请说明理由． 20．如图，已知四边形 ABCD 为正方形，AC 为对角线，四边形 AEFC 是菱形，求证： ∠EAC＝30°． 21．如图，扇形 OAB 的半径 OA＝3，圆心角∠AOB＝90°，点 C 是 上异于 A、B 的动点， 过点 C 作 CD⊥OA 于点 D，作 CE⊥OB 于点 E，连接 DE，点 G、H 在线段 DE 上，且 DG＝ GH＝HE （ 1 ） 求 证 ： 四 边 形 OGCH 是 平行四边形． （2）当点 C 在 上运动时，在 CD、CG、DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在， 请求出该线段的长度． 参考答案 1．证明： ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠1＝∠2， ∵AE 是∠BAF 的平分线， ∴∠3＝∠4， ∵∠1+∠2+∠3+4＝180°， ∴∠2+∠3＝90°， 即∠DAE＝90°， ∵AB＝AC，∠1＝∠2， ∴AD⊥BC， 即∠ADB＝90°， ∵∠AEB＝90°， ∴四边形 ADBE 是矩形． 2．解：（1）① CF⊥BD，CF＝BD 故答案为：垂直、相等． ② 成立，理由如下： ∵∠FAD＝∠BAC＝90° ∴∠BAD＝∠CAF 在△BAD 与△CAF 中， ∵ ∴△BAD≌△CAF（SAS） ∴CF＝BD，∠ACF＝∠ACB＝45°， ∴∠BCF＝90° ∴CF⊥BD （2）当∠ACB＝45°时可得 CF⊥BC，理由如下： 过点 A 作 AC 的垂线与 CB 所在直线交于 G 则∵∠ACB＝45° ∴AG＝AC，∠AGC＝∠ACG＝45° ∵AG＝AC，AD＝AF， ∵∠GAD＝∠GAC﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∠FAC＝∠FAD﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC， ∴∠GAD＝∠FAC， ∴△GAD≌△CAF（SAS） ∴∠ACF＝∠AGD＝45° ∴∠GCF＝∠GCA+∠ACF＝90° ∴CF⊥BC 3．证明：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OB＝OD，OA＝OC， ∵点 E、F 分别为 OB、OD 的中点， ∴EO＝ OB，FO＝ OD， ∴EO＝FO， 在△AEO 和△CFO 中， ， ∴△AEO≌△CFO（SAS）， ∴∠AEO＝∠CFO， ∴AE∥CF； （2）∵EA＝EG，OA＝OC， ∴EO 是△AGC 的中位线， ∴EO∥GC， ∵AE∥CF， ∴四边形 EGCF 是平行四边形， ∵AC＝2AB，AC＝2AO， ∴AB＝AO， ∵E 是 OB 的中点， ∴AE⊥OB， ∴∠OEG＝90°， ∴四边形 EGCF 是矩形． 4．证明：（1）∵∠ACB＝90°，DF⊥AB， ∴∠DFA＝90°， 在 Rt△ACD 与 Rt△AFD 中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AFD（HL）， ∴∠CAD＝∠FAD，AC＝AF， 在△ACG 与△AFG 中， ， ∴△ACG≌△AFG（SAS）， ∴CG＝FG，∠CGA＝∠FGA， ∵FG∥CE， ∴∠FG