2020 和 2021 年江苏省南京市中考数学模拟考试试题——专题 7 二次函数 一．选择题（共 5 小题） 1．（2021•玄武区二模）已知二次函数 y＝a（x﹣2）2+2a（x﹣2）（a 为常数，a≠0），当 x＝1 时，y＞0，则该函数图象的顶点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2021•江宁区校级模拟）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴交于点（4，0）， 其对称轴为直线 x＝1，结合图象给出下列结论： ①ac＜0； ②a﹣b+c＜0； ③ 当 x＞2 时，y 随 x 的增大而增大； ④ 关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c＝0 有两个不相等的实数根． 其中正确的结论有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 3．（2020•秦淮区二模）在平面直角坐标系中，将函数 y＝﹣x2 的图象先向右平移 1 个单位， 再向上平移 5 个单位后，得到的图象的函数表达式是（　　） A．y＝﹣（x+1）2+5 B．y＝﹣（x﹣1）2+5 C．y＝﹣（x+1）2﹣5 D．y＝﹣（x﹣1）2﹣5 4．（2020•鼓楼区校级模拟）记某商品销售单价为 x 元，商家销售此种商品每月获得的销 售利润为 y 元，且 y 是关于 x 的二次函数．已知当商家将此种商品销售单价分别定为 55 元或 75 元时，他每月均可获得销售利润 1800 元；当商家将此种商品销售单价定为 80 元 时，他每月可获得销售利润 1550 元，则 y 与 x 的函数关系式是（　　） A．y＝﹣（x﹣60）2+1825 B．y＝﹣2（x﹣60）2+1850 C．y＝﹣（x﹣65）2+1900 D．y＝﹣2（x﹣65）2+2000 5．（2020•南京二模）如图，二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象经过点（1，1）和点（3，0）． 关于这个二次函数的描述：① a＜0，b＞0，c＜0；②当 x＝2 时，y 的值等于 1；③当 x ＞3 时，y 的值小于 0．正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二．填空题（共 7 小题） 6．（2021•秦淮区二模）将二次函数 y＝2x2﹣4x﹣1 的图象沿着 y 轴翻折，所得到的图象对 应的函数表达式是　 　． 7．（2021•建邺区二模）已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a、b、c 是常数，且 a≠0）的图象的 对称轴为直线 x＝﹣1，与 x 轴的一个交点为（﹣4，0），与 y 轴的交点在（0，0）和 （0，3）（不包括这两点）之间，则下列结论： ① ab ＞ 0；②一元二次方程 c ax2+bx+c＝b 有两个不相等的实数根；③函数可取得最大值 其中所有正确结论的序号是 　 27 −3 ＜ b＜0． 8 ；④ 4 　． 8．（2021•建邺区一模）下列关于二次函数 y＝x2﹣（m+1）x+m（m 为常数）的结论：① 该函数图象是开口向上的抛物线；②该函数图象一定经过点（1，0）；③该函数图象与 x 轴有两个公共点；④该函数图象的顶点在函数 y＝﹣（x﹣1）2 的图象上．其中所有正 确结论的序号是　 　． 9．（2021•南京模拟）如图，Rt△OAB 的顶点 A（﹣2，4）在抛物线 y＝ax2 上，将 Rt△OAB 向右平移得到△O1A1B1，平移后的 O1A1 与抛物线交于点 P，若点 P 将线段 A1O1 分成 1： 3 两部分，则点 P 的坐标为　 　． 10．（2021•江宁区校级模拟）已知抛物线 y＝﹣x2﹣2x+3 与 x 轴交于 A、B 两点，将这条抛 物线的顶点记为 C，连接 AC、BC，则 tan∠CAB 的值为　 　． 11．（2020•鼓楼区校级二模）在平面直角坐标系中，已知点 A（﹣1，4），B（2，1）， 直线 AB 与 x 轴和 y 轴分别交于点 M，N，若抛物线 y＝x2﹣bx+2 与直线 AB 有两个不同 的交点，其中一个交点在线段 AN 上（包含 A，N 两个端点），另一个交点在线段 BM 上 （包含 B，M 两个端点），则 b 的取值范围是　 　． 12．（2020•秦淮区一模）在平面直角坐标系中，将函数 y＝2x2 的图象先向右平移 1 个单位 长度，再向上平移 5 个单位长度，所得图象的函数解析式为　 　． 三．解答题（共 21 小题） 13．（2021•鼓楼区二模）已知二次函数 y＝﹣mx2﹣4mx﹣4m+4（m 为常数，且 m＞0）． （1）求二次函数的顶点坐标； （2）设该二次函数图象上两点 A（a，ya ）、B（a+2，yb ），点 A 和点 B 间（含点 A，B）的图象上有一点 C，将点 C 纵坐标的最大值和最小值的差记为 h． ① 当 m＝1 时，若点 A 和点 B 关于二次函数对称轴对称，求 h 的值； ② 若存在点 A 和点 B 使得 h 的值是 4，则 m 的取值范围是 　 　． 14．（2021•鼓楼区二模）在平面直角坐标系中，二次函数 y＝x2﹣2mx+1 图象与 y 轴的交点 为 A，将点 A 向右平移 4 个单位长度得到点 B． （1）直接写出点 A 与点 B 的坐标； （2）若函数 y＝x2﹣2mx+1 的图象与线段 AB 恰有一个公共点，求 m 的取值范围． 15．（2021•秦淮区二模）如图①，小明和小亮分别站在平地上的 C、D 两地先后竖直向上 抛小球 A、B（抛出前两小球在同一水平面上），小球到达最高点后会自由竖直下落到 地面．A、B 两球到地面的距离 y1（m）和 y2（m）与小球 A 离开小明手掌后运动的时间 x （ s ） 之 间 的 函 数 图 象 分 别 是 图 ② 中 的 抛 物 线 C1 、 C2 ． 已 知 抛 物 线 C1 经 过 点 P（0，2），顶点是 Q（1，7），抛物线 C2 经过 M（1，2）和 N（2，5）两点，两抛物 线的开口大小相同． （1）分别求出 y1、y2 与 x 之间的函数表达式． （2）在小球 B 离开小亮手掌到小球 A 落到地面的过程中． ① 当 x 的值为　 　时，两小球到地面的距离相等； ② 当 x 为何值时，两小球到地面的距离之差最大？最大是多少？ 16．（2021•建邺区二模）如图，一座桥孔为抛物线形的拱桥，当水面宽 AB 为 12m 时，桥 孔顶部离水面 4m，若水面上涨 1m，求此时水面的宽． 17．（2021•南京二模）某商品有线上、线下两种销售方式． 线上销售：单件利润定为 600 元时，销售量为 0 件，单件利润每减少 1 元销售量增加 1 件．另需支付其它成本 5000 元； 线下销售：单件利润 500 元．另需支付其它成本 12500 元． 注：净利润＝销售商品的利润﹣其他成本． （1）线上销售 100 件的净利润为　 　元；线下销售 100 件的净利润为　 　元； （2）若销售量为 x 件，当 0＜x≤600 时，⽐较两种销售方式的净利润； （3）现有该商品 400 件，若线上、线下同时销售，售完后的最大净利润是多少元？此 时线上、线下各销售多少件？ 18．（2021•栖霞区二模）已知二次函数 y＝mx2+mx+n． （1）若图象经过点（0，2）． ①n 的值为　 　； ② 无论 m 为何值，图象一定经过另一个定点　 　． （2）若图象与 x 轴只有 1 个公共点，求 m 与 n 的数量关系． （3）若该函数图象经过（1，3），写出函数图象与坐标轴的公共点个数及对应的 m 的 取值范围． 19．（2021•南京二模）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝9，BC＝8，⊙O 过点 A 且与 BC 相切 于点 E．设 BE ＝m． （1）当⊙O 与 CD 相切时，求 m 的值； （2）点 E 从 B 向 C 运动，⊙O 与 CD 边公共点的个数随 m 的变化而变化．直接写出公共 点的个数及其对应的 m 的取值范围； （3）在点 E 从 B 向 C 运动的过程中，画出点 O 的运动路径，这个路径是　 　．（填写 序号） ① 线段；②弧；③双曲线的⼀部分；④抛物线的⼀部分． 20．（2021•玄武区二模）已知二次函数 y＝x2﹣（2m+2）x+m2+2m（m 是常数）． （1）求证：不论 m 为何值，该二次函数图象与 x 轴总有两个公共点； （2）二次函数的图象与 y 轴交于点 A，顶点为 B，将二次函数的图象沿 y 轴翻折，所得 图象的顶点为 B1，若△ABB1 是等边三角形，求 m 的值． 21．（2021•建邺区一模）“垃圾分类，利在千秋”．某废品回收站的废纸回收价为 1.5 元/千 克，每天可回收 100 千克．回收价格每增加 0.1 元/千克，每天可多回收废纸 40 千克．如 果废纸销往废品收购公司的价格为 2.5 元/千克，销售废纸的利润为 W 元，如何定回收价 可以使得当天利润不低于 150 元？ 22．（2021•玄武区一模）已知二次函数 y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+2（m 是常数）． （1）若该函数图象与 x 轴有两个不同的公共点，求 m 的取值范围； （2）求证：不论 m 为何值，该函数图象的顶点都在函数 y＝﹣x+2 的图象上； （3）P（x1，y1），Q（x2，y2）是该二次函数图象上的点，当 1＜x1＜x2 时，都有 y2＜y1 ＜1，则 m 的取值范围是　 　． 23．（2021•秦淮区一模）【概念认识】 已知 m 是实数，若某个函数图象上存在点 M（m，m），则称点 M 是该函数图象上的“固 定点”． 【数学理解】 （1）一次函数 y＝﹣2x+3 的图象上的“固定点”的坐标是　 （2）求证：反比例函数 y ¿ 　； k x （k＞0）的图象上存在 2 个“固定点”； （3）将二次函数 y＝x2+bx+1（b＜﹣2）的图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方， 图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象在 x 轴上方的部分组成一个类似“W” 形状的新图象．若新图象上恰好存在 3 个“固定点”，求 b 的值． 24．（2021•鼓楼区校级模拟）已知抛物线 y＝a（x﹣m）2+2m（m≠0）经过原点，其顶点 为 P，与 x 轴的另一交点为 A． （1）P 点坐标为　 　，A 点坐标为　 　；（用含 m 的代数式表示） （2）求出 a，m 之间的关系式； （ 3）当 m ＞0 时 ，若 抛物 线 y＝a （ x﹣m ） 2+2m 向下 平移 m 个单 位长 度后 经过 点 （1，1），求此抛物线的表达式； （4）若抛物线 y＝a（x﹣m）2+2m 向下平移|m|个单位长度后与 x 轴所截的线段长，与平 移前相比有什么变化？请直接写出结果． 25