中考数学第二轮总复习 第四部分 相似问题 专题 4.2 相似三角形的六大证明技巧 （2） 题型概述 典型例题 考点聚焦 精准训练 综合提升 通过前面的学习 , 我们知道 , 比例线段的证明 , 离不开“平行 线模型 ” (A 型、 X 型、 K 型等 ), 也离不开下面的 6 种“相似模 型 ”。 “ 模型”只是工具 , 怎样选择工具 , 怎样使用工具 , 取决于我 们如何思考问题 . 合理的思维方法 , 能让模型成为解题的利刃 , 让复杂的问题变简单。 【技巧一】三点定型 【技巧二】等线段代换 【技巧四】等积代换 【技巧五】证等量先证等比 目 录 0 1 等积代换 0 2 证等量先证等比 0 3 几何计算 技巧四 等积代换 【例 4 】 如图 , 在△ ABC 中 ,BD 、 CE 是高， EH⊥BC 于 H 、交 BD 于 G 、交 CA 的延长线于 M. M 求证： EH2=GH·MH A E 由射影定理得： EH2=BH·CH D BH GH  MH CH △ BHG∽△MHC G GH·MH=BH·CH B EH 2=GH·MH H C 技巧四 等积代换 1. 如图 , 在△ ABC 中 ,∠BAC =90º,D 为 AC 中点,AE⊥BD,E 为垂足 . 求证：∠ CBD=∠ECD. A 由射影定理得： DA2=DE·DB 又∵ D 为 AC 中点，∴ DA=DC ∴DC2=DE·DB ∴△ DCE∽△DBC ∴∠C BD=∠ECD D E C B 技巧四 等积代换 2. 如图 , 在 Rt△ ABC 中 ,∠BAC=90º,AD⊥BC,P 为 AD 的中点 ,EF⊥BC. 求证： EF2=AE·EC. G 延长 BA 、 FE 交于点 G, A △ BAP∽△BGE △ BDP∽△BFE AP BP  EG BE PD BP  EF BE E P ∵ AP=PD,∴GE=EF. B F D △ AEG∽△FEC EF2=AE·EC C 1. 如图 , 在△ ABC 中 ,AD⊥BC 于 D,DE⊥AB 于 E,DF⊥AC 于 F, 连接 EF. 求证：∠ AEF =∠C . A 利用 AEDF 四点共圆证明∠ 1=∠2 ∵∠2+∠3=90º ，∠ B+∠3=90º. ∴∠1=∠B 由三角形内角和得∠ AEF=∠C E 1 F 2 3 B D C 目 录 0 1 等积代换 0 2 证等量先证等比 0 3 几何计算 技巧五 证等量先证等比 1. 如图 ,△ABC 为等腰直角三角形 , 点 P 为 AB 上任意一点 ,PF⊥BC ， PE⊥AC,AF 交 PE 于 N,BE 交 PF 于 M ， 求证： (1)PM=PN ； (2)MN∥AB. A a PN AP AE PN a ab (1)   即即  ∴ PN  FB AB AC b a b a b PM BP BF PM b ab   即即  ∴ PM  AE BA BC a a b a b ab b b FN CE b FM a  b   (2)   ab a NA EA a MP a b P N E M PM=PN b a C b F MN∥AB B 1. 如图 , 正方形 BFDE 内接于△ ABC,C E 与 DF 交于点 N,AF 交 ED 于点 M ， CE 与 AF 交于点 P. 求证： (1)EM=DN ； (2)MN∥AC . 技巧五 证等量先证等比 A b EM AE (1)  BF AB ab EM b ∴ EM  即：  a b a a b a2 ab DN CN CF DN b ∴ DN    即：  2 a b a b AE CE CB a b ab FM BE a (2)   MA EA b D M E N P a EM=DN a C B 2 a b a FN b a  b   ab DN a a b F MN∥AC 技巧五 2. 如图 , 已知平行四边形 ABC D 中 ,E 、 F 分别在直线 AD 、 CD 上， EF∥AC,BE 、 BF 分别交 AC 于 M 、 N. 证等量先证等比 求证： AM=CN. E A D M F AD∥BC AB∥C D AC∥EF AM EM  AC EB CN FN  AC FB EM FN  EB FB N B AM CN  AC AC C AM=CN 技巧五 证等量先证等比 4.(※) 设 E 、 F 分别为 AC 、 AB 的中点， D 为 BC 上一点， P 在 BF 上， DP∥CF,Q 在 CE 上， DQ∥BE,PQ 交 BE 于 R, 交 CF A 于 S. RS 1 PQ 3 求证： E F G Q S R P C D B 5. 如图 , 梯形 ABC D 的底边 AB 上任取一点 M, 过 M 作 MK∥BD,MN∥AC ，分别交 AD 、 BC 于 K 、 N, 连接 KN, 分别交对角线 AC 、BD 于 P 、 Q. 技巧五 证等量先证等比 求证： KP=QN D C N O P Q S K R M A B 1. 如图 , 在正方形 ABCD 中 , 点 E 、 F 、 G 分别在边 BC 、 AB 、 C D 上，∠ 1=∠2=∠3=α 。 求证： (1)EF+EG=AE ；(2)CE+C G=AF ； 技巧六 几何计算 (3) 已知 AD=9,DG=7, 则 tanα=____. A D 1 H F G 2 3 C B E P 技巧五 3. 如图 , 已知 AB=AC,BD∥AC,AB∥C E, 过 A 点的直线分别交 BD 、 CE 于 D 、 E. 求证： (1)AM=CN ； (2)MN∥DE. 证等量先证等比 E A (1) 延长 DB 、 EC 交于点 F, 得菱形 ABFC. D NC EA NC EA 即：   AB ED BF ED BM DA BM DA 即：   AB DE CF DE NC BM EA DA NC  BM    即： 1 AB AB ED DE AB N BD∥AC M O AB∥CE ∴CN+BM=AB C B ∴AM=CN F 技巧五 3. 如图 , 已知 AB=AC,BD∥AC ,AB∥CE, 过 A 点的直线分别交 BD 、 CE 于 D 、 E. 求证： (1)AM=CN ； (2)MN∥DE. 证等量先证等比 E A CM FB  DM BD (2)AB∥CE D N M BD∥AC NC AN  BF DB NC EN  BF EB NC BF  AN DB AN EN  DB EB O C B CM NC  DM AN MN∥DE F 目 录 0 1 等积代换 0 2 证等量先证等比 0 3 几何计算 技巧六：几何计算 【例 6 】 如图 , 在△ ABC 中 ,AC ＞ AB,AD 是角平分线 ,AE 是 中线， BF⊥AD 于 G, 交 AC 于点 M,EG 的延长线交 AB 于点 H。 FG DG A P (1) 求证 :AH=BH;(2) 若∠ BAC=60º, 求 的值 . (1) 先证△ ABG≌△AMG(ASA), 得 BG=MG ∴GD 为△ BCM 的中位线 , ∴AH=BH. (2) 延长 GH 至 P 使 HP=HG, 则四边形 ABGP 为平行四边形， M H F G B FG EG DG EG  ,  AP EP BP EP FG DG  AP BP FG AP BG 3    DG BP AG 3 D E C