第二十二章 四边形   22.2 平行四边形 (3) 复习回顾 平行四边形的定义是什么？ A B D C 两组对边分别平行的四边形是平行四边 形． 几何语言 ∵AB∥ CD,AD∥ BC, ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 ∴AB∥ CD,AD∥ BC, 边 平行四边形 性质 角 平行四边形的对边平行 平行四边形的对边相等 平行四边形的对角相等 平行四边形的邻角互补 对角线 平行四边形的对角线互相平分 对称性 平行四边形是中心对称图形， 对称中心是两条对角线的交点 温故知新 A 平行四边形的定义是什么？ D B C 两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 几何语言 ∵AB∥ CD,AD∥ BC, 条件 ( 已知 )∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 条件 ( 已知 ) ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形∴AB∥ CD,AD∥ BC, 结论 ( 求证 ) 判定 结论 ( 求证 ) 定义既是性质，也是判定． 性质 四边形问题转化三角形问 题 由此发现： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边 形. 平行四边形的判定定理 一组对边平行且相等的四边形是平行四边 形. 条件（已 结论（求 证） A 知） 几何语言： ∵ AD∥ BC , AD=BC , ∴ 四边形 ABCD 是平行四边 形. B D C 小试牛刀 已知：在四边形 ABCD 中， AB//CD ， 请你再写出一个条件 ______ ，使 得AD//BC AB=CD 四边形 ABCD 是平行四边形。 定义法： 两组对边分别平行 的四边形是平行四边形． 定理法： 一组对边平行且相等 的四边形是平行四边形 . 已知 : 如图所示 , 在▱ ABCD 中 ,E 为 BA 延长线上一点 ,F 为 DC 延长线上 一点 , 且 AE=CF, 连接 BF,DE. 求证四边形 BFDE 是平行四边形 . 证明 :∵ 四边形 ABCD 是平行四边 形, 性质 ∴AB∥CD,AB=CD. 又∵ AE=CF, ∴BE=BA+AE=DC+CF=DF, 且 BE∥DF. ∴ 四边形 BFDE 是平行四边形 . 判定 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 吗？ 已知 : 如图 , 在四边形 ABCD 中 ， ∠ A=∠C,∠B=∠D. 求证：四边形 ABCD 是 平行四 边形 A D 。 B C 平行四边形的判定定理 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 . 条件（已 知） 几何语言： ∵ ∠A=∠C,∠B=∠D, ∴ 四边形 ABCD 是平行四边 形. 结论（求 证） A B D C 小 结 一、平行四边形的判定方法 1. 两组对边分别 _____ 的四边形是平行四边 形. 2. 一组对边 _________ 的四边形是平行四 边形 . 3. 两组对角分别 _____ 的四边形是平行四边 形. 平行四边形的判定定 理： 判定 1 定义：两组对边分别平 行的四边形是平行四边形。 判定 2 两组对边分别相等的四 边形是平行四边形。 判定 3 两组对角分别相等的四 边形是平行四边形。 判定 4 两条对角线互相平分的 四边形是平行四边形。 几何语言描述判 定：AB∥DC 1 、∵ AD∥BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 2 、∵ AB=DC AD=BC B ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 3 、∵∠ ABC=∠ADC ∠BAD=∠BCD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 4 、∵ OA=OC D A OB=OD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 O C 例3 已知： E 、 F 是平行四边形 ABCD 对角线 AC 上的两点，并且 AE=CF 。求证 ：四边形 BFDE 是平行四边形 . 证明：连接 BD A ABCD 中 D E AO=CO ， BO=DO O F ∵AE=CF B ∴AO-AE=CO-CF C ∴EO=FO ∴ 四边形 BFDE 是平行四边形 . 又 ∵ BO=DO 猜测：一组对边平行且相等的四边形是平行四边 形 已知： AB∥CD ， AB ＝ CD A 求证：四边形 ABCD 是平行 四边形 证明：连接 D BD ∵ AB∥CD ∴∠ABD ＝ ∠ CDB 又 AB ＝ CD ， BD ＝ DB ∴△ABD ≌△CDB ∴AD ＝ CB ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 C B 例 4. 已知：如图， E,F 分别是 Y ABCD 的边 AD,BC 的中点。 A E F C 求证：四边形 EBFD 是平行四边形 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， B ∴AD=BC FB∥ED ∵E,F 分别是 AD,BC 的中点， 1 BC DE=1 AD BF= 2 2 ∴DE=BF ∴ 四边形 BFED 是平行四边形 D 理 一 理 平行四边形的判定方法 1 、两组对边分别平行的四边形是平行四边形 从边来判定 2 、两组对边分别相等的四边形是平行四边 形 3 、一组对边平行且相等的四边形是平行四边 形 从角来判定 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 从对角线来判定 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 课堂练习 1 、 请你识别下列四边形哪些是平行四边形 ? 为什 么？ A 4㎝ D 5㎝ 120° 5㎝ O C B 60° 5㎝ 4㎝ B 5㎝ ⑴ ⑵ A C D 7.6 ㎝ A D D A 110° 70° 4.8 ㎝ 110° B ⑶ 4.8 ㎝ C B ⑷ 7.6 ㎝ C 2 、在下列条件中 , 不能判定四边形是平行 A 四边形的是D( ) (A)AB∥CD,AD∥BC （两组对边分别平 行） B (B) AB=CD,AD=BC （两组对边分别相 (C)AB∥CD,AB=CD 等） （一组对边平行且相等） (D) AB∥CD,AD=BC D A (E) AB∥CD, ∠A=∠C C B （两组对角分别相 等） C D 平行四边形 平行四边形 平行四边形 100 10 8 10