浙教版 · 九年级上册 学习目标 会画二次函数 y=ax2+k 的图象 . 掌握二次函数 y=ax2+k 的性质并会应用 . 理解 y=ax² 与 y=ax²+k 之间的联系 . 知识精讲 探究：画出二次函数 y=2x² , y=2x2+1 ， y=2x2-1 的图象，并考虑它们的开口 方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性 . x y=2x2+1 y=2x2 y=2x2-1 … … … … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 … 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 … 3.5 1 -0.5 -1 -0.5 1 3.5 … 知识精讲 8 y=2x2+1 y y=2x2 6 4 y=2x2-1 2 －4 － 2 O 观察上述图象，说说它有哪些特征 . 2 4 x 知识精讲 根据图象回答下列问题 : (1) 图象的形状都是抛物线. (2) 三条抛物线的开口方向 _______; 向上 (3) 对称轴都是 __________ y轴 (4) 从上而下顶点坐标分别是 _____________________ ( 0 ， 1 ( 0,0) ( 0,-1) 小 ____ 值，从上而下最小值分别为 y=1 (5) )顶点都是最低 ____ 点，函数都有最 _______ 、y= _______ ﹑________ ； -1 y=0 (6) 函数的增减性都相同：当 x ＞ 0( 对称轴右侧y)随 时x 增大而增 _______________ ，当 ＜ 0 时 ( 对称轴左侧 )大 y 随 xx 增大而减小 知识精讲 1 练一练：画出二次函数 y  1 x 2 ， y  x 3 1 3 2 2 ，1x y2  3 2 2 的图象，并考虑它们 的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性 . 4 y y2  2 0 -2 -2 y1  1 2 x 2 3 -4 2 x 1 2 x 2 3 1 y  x 2 3 知识精讲 根据图象回答下列问题 : (1) 图象的形状都是抛物线； 向下 (2) 三条抛物线的开口方向 _______; (3) 对称轴都是 __________ ； y轴 (4) 从上而下顶点坐标分别是 (_____________________ 0 ， 2 ( 0,0) ( 0,-2) (5)) 顶点都是最高 ____ 点，函数都有最 y=2 大____ 值，从上而下最大值分别为 ______ ﹑________ y=0 、 _______ y= -2 (6) 函数的增减性都相同：当 x ＞ 0( 对称轴右侧 y) 随 时 x 增大而减 y 随 x 增大而增 _______________ ，当 ＜ 0 时 ( 对称轴左侧 ) 小 知识精讲 二次函数 y=ax2+k （ a ≠ 0 ）的 性质 a＞0 y=ax2+k a＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 y轴 顶点坐标 （ 0,k ） （ 0,k ） 当 x=0 时， y 最小值 当 x=0 时， y 最大值 =k 当 x ＜ 0 时， y 随 x 的增大而减小； x ＞ 0 时， y 随 x 的增大而增大 . =k 当 x ＞ 0 时， y 随 x 的增大而减小； x ＜ 0 时， y 随 x 的 增大而增大 . 最值 增减性 典例解析 例 1 已知二次函数 y ＝ ax2+c, 当 x 取 x1 ， x2 （ x1≠x2 ）时，函数值相等， 则当 x ＝ x1+x2 时，其函数值为 c ________. 【分析】由二次函数 y ＝ ax2+c 图象的性质可知， x1 ， x2 关于 y 轴对称， 即 x1+x2 ＝ 0. 把 x ＝ 0 代入二次函数表达式求出纵坐标为 c. 8 y 6 【点睛】二次函数 y ＝ ax2+c 的图象关于 y 轴对 4 称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的 2 两点的对应横坐标互为相反数． －4 － 2 O 2 4 x 知识精讲 从数的角度探究 y=2x -1 解析式 2 点的坐标 -1 +1 y=2x2 (x, 2x2 ) (x, 2x2-1) y=2x2+1 (x, 2x2+1 ) 函数对应值表 x … y=2x2-1 y=2x2 y=2x2+1 … … … -1 3.5 4.5 5.5 -1.5 1 2 3 … x … … … 2x2-1 2x2 2x2+1 知识精讲 从形的角度探究 10 上 可以发现，把抛物线 y=2x2 向 8 y=2x2+1 平移 1 个单位长度，就得到抛物线 y = 2x2 ＋ 1 y y = 2x2 － 1 6 ；把抛物线 y=2x 平移 1 个单位 下2 向 长度，就得到抛物线 y=2x2-1. 4 2 －4 －2 O －2 2 4 x 知识精讲 二次函数 y=ax2 与 y=ax2+k （ a ≠ 0 ）的图象的 关系 二次函数 y=ax2+k 的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到： 当 k > 0 时 , 向上平移 k 个单位长度得到 . 当 k < 0 时 , 向下平移 -k 个单位长度得到 . 上下平移规律： 平方项不变，常数项上加下减 . 针对练习 二次函数 y ＝－ 3x2 ＋ 1 的图象是将D( 　　 ) A ．抛物线 y ＝－ 3x2 向左平移 3 个单位得到 B ．抛物线 y ＝－ 3x2 向左平移 1 个单位得到 C ．抛物线 y ＝ 3x2 向上平移 1 个单位得到 D ．抛物线 y ＝－ 3x2 向上平移 1 个单位得到 【分析】二次函数 y ＝－ 3x2 ＋ 1 的图象是将抛物线 y ＝－ 3x2 向上平移 1 个单位得到的．故选 D. 知识精讲 思考： 1. 画抛物线 y=ax2+k 的图象有几步？ 第一种方法：平移法，两步即第一步画 y=ax2 的图象，再向上（或向下） 平移︱ k ︱单位 . 第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线 . 2. 抛物线 y=ax2+k 中的 a 决定什么？怎样决定的？ k 决定什么？它的对称 轴是什么？顶点坐标怎样表示？ a 决定开口方向和大小； k 决定顶点的纵坐 标. 典例解析 例 2 如图，抛物线 y ＝ x2 － 4 与 x 轴交于 A 、 B 两点，点 P 为抛物线上一 点，且 S△PAB ＝ 4 ，求 P 点的坐标． 解：抛物线 y ＝ x2 － 4 ，令 y ＝ 0 ，得到 x ＝ 2 或－ 2， 即 A 点的坐标为 ( － 2 ， 0) ， B 点的坐标为 (2 ， 0) ， 1 ∴AB ＝ 4. 2 ∵S△PAB ＝ 4 ，设 P 点纵坐标为 b ，6 ∴ ×4|b| ＝ 4 ，∴6 |b| ＝ 2 ，即6 b ＝ 2 或－ 2. 当 b ＝ 2 时， x2 － 4 ＝ 2 ，解得 x ＝ ±2 ， 此时 P 点坐标为 (2 ， 2) ， 2( － ， 2) ； 达标检测 1. 抛物线 y=2x2 向下平移 4 个单位，就得到抛物线 y = 2x2 －．　　 ４ 2. 填表： 函数 开口方向 顶点 对称轴 y = ３ x2 向上 （ 0,0 ） y轴 有最低点 y = 3x2 ＋ 1 向上 (0,1) y轴 有最低点 y = -4x2 － 5 向下 (0,-5) y轴 有最高点 有最高（低）点 达标检测 3. 已知（ m,n) 在 y=ax2+a （ a 不为 0 ）的图象上， (-m,n) 在 ___ （填“在”或 “不在”） y=ax2+a （ a 不为 0 ）的图象上 . 4. 若 y=x2+ （ k-2 ）的顶点是原点，则 >2 =2k____ ；若顶点位于 x 轴上方，则 k____ ；若顶点位于 x 轴下方，则 k <2 . 达标检测 5. 不画函数 y=-x2 和 y=-x2+1 的图象回答下面的问题： （ 1 ）抛物线 y=-x2+1 经过怎样的平移才能得到抛物线 y=-x2. 向下平移 1 个单位 . （ 2 ）函数 y=-x2+1 ，当 x >0 时， y 随 x 的增大而减小；当 =0 x____ 时，函数 y 有最大值，最大值 y 是 ，其图象与 y 轴的交点坐标是 (0,1) 1 ，与 x 轴的交点坐标是 (-1,0),(1,0) . （ 3 ）试说出抛物线 y=x2-3 的开口方向、对称轴和顶点坐标 . 开口方向向上，对称轴是 y 轴，顶点坐标（ 0 ， -3 ） . 达标检测 6. 在同一直角坐标系中，一次函数 y ＝ ax ＋ k 和二次函数 y ＝ ax2 ＋ k 的 图象大致为 D ( 　　 ) 【点睛】熟记一次函数 y ＝ kx ＋ b 在不同情况下所在的象限，以及熟练 掌握二次函数的有关性质 ( 开口方向、对称轴、顶点坐标等 ) 是解决问题的 达标检测 7. 对于二次函数 y=(m+1)xm2-m+3, 当 x>0 时 y 随 x 的增大而增大，则 2m=____. 8. 已知二次函数 y=(a-2)x2+a2-2 的最高点为（ 0 ， 2 ） , 则 -2a=____. 9. 抛物线 y=ax2+c 与 x 轴交于 A （ -2,0 ）﹑ B 两点，与 y 轴交于点 C(0 ， 4), 则三角形 ABC 的面积是 _______. 8