第 02 讲：二次函数专题-九年级数学《考点·题型·难点》 期末高效复习 考点一：二次函数的概念 a,b,c 一般地，如果 y=ax 2 + bx+ c ¿ 是常数， a ≠ 0 ¿ ，那么 y 叫做 x 的二次函数. 考点二：二次函数的图像和性质 （1）三种解析式： ① 一般式：y=ax2+bx+c; ② 顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）; ③ 交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中 x1,x2 为抛物线与 x 轴交点的横坐标. .解析式 （2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定 系数的方程（组）.*若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可 设一般式；若已知顶点坐标或对称轴方程与最值，可设顶点式；若已知抛 物线与 x 轴的两个交点坐标，可设交点式. .二次函数的 图象和性 图 象 质 开 口 向上 向下 对 称 b x＝  2a 轴 顶 点 � b 4ac  b2 �  , � � 4a � � 2a 坐 标 增 减 性 最 b 当 x> 2a 时 ， y 随 x 的 增 大 而  增大；当 x＜  b 2a 大而减小. b 2 x= a 4ac  b2 y 最小＝ 4a .  值 ， 决定抛物线的开 口方向及开口大 a . 系 时，y 随 x 的增 数 b 当 x> 2a 时，y 随 x 的增大而减小 ；  b 2 当 x＜ a 时，y 随 x 的增大而增大.  b 2 x= a 4ac  b2 y 最大＝ 4a .  ， 当 a＞0 时，抛物线开口向上； 当 a＜0 时，抛物线开口向下. 小 a、b、c a 决 定 对 称 轴 当 a，b 同号，-b/2a＜0，对称轴在 y 轴左边； b （ x=-b/2a ） 的 位置 c 决定抛物线与 y 当 b＝0 时， -b/2a=0，对称轴为 y 轴； 当 a，b 异号，-b/2a＞0，对称轴在 y 轴右边． 当 c＞0 时，抛物线与 y 轴的交点在正半轴上； 当 c＝0 时，抛物线经过原点； 轴的交点的位置 当 c＜0 时，抛物线与 y 轴的交点在负半轴上. b b2－4ac＞0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点; 2 － 4 a c 决定抛物线与 x b2－4ac＝0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点; 轴的交点个数 b2－4ac＜0 时，抛物线与 x 轴没有交点 考点三：用待定系数法求二次函数的解析式 2 （1）一般式： y=ax + bx+ c .已知图像上三点或三对 x 、 y 的值，通常选择一般式. 2 （2）顶点式： y=a ( x −h ) + k .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与 x 轴的交点坐标 x1 、 x2 ， 通 常 选 用 交 点 式 ： y=a ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) . 考点四：二次函数的平移 注意：上加下减，左加右减（注：与平移区分） 考点五：二次函数，不等式，二元一次方程的关系 一：二次函数与一元二次方程 二次函数 y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与 x 轴交点的横坐标是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根. 当 Δ＝b2－4ac＞0，两个不相等的实数根； 当 Δ＝b2－4ac＝0，两个相等的实数根； 当 Δ＝b2－4ac＜0，无实根 二：二次函数与不等式 抛物线 y= ax2＋bx＋c＝0 在 x 轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的 x 的所有值就是不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解集；在 x 轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的 x 的值就是不等式 ax2＋ bx＋c＜0 的解集. 考点六：直线与抛物线的交点 2 （1） y 轴与抛物线 y=ax + bx+ c 得交点为(0, c ). 2 2 （2）与 y 轴平行的直线 x=h 与抛物线 y=ax + bx+ c 有且只有一个交点( h , ah + bh +c ). （3）抛物线与 x 轴的交点 2 二次函数 y=ax + bx+ c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 x 1 、 x 2 ，是对应一元二次方 2 程 ax + bx +c=0 的两个实数根.抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判 别式判定： ① 有两个交点 ⇔ Δ> 0 ⇔ 抛物线与 x 轴相交； ② 有一个交点（顶点在 x 轴上） ⇔ ③ 没有交点 ⇔ Δ< 0 Δ=0 ⇔ 抛物线与 x 轴相切； ⇔ 抛物线与 x 轴相离. （4）平行于 x 轴的直线与抛物线的交点 同（3）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等， 2 设纵坐标为 k ，则横坐标是 ax + bx +c=k 的两个实数根. 2 （5）一次函数 y=kx+n ( k ≠ 0 ) 的图像 l 与二次函数 y=ax + bx+ c ( a ≠ 0 ) 的图像 G 的交点， 由方程组 y=kx+n ⇔ y=ax 2 + bx+ c 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时 个交点; ② 方程组只有一组解时 ⇔ l 与 G 有两 l 与 G 只有一个交点；③方程组无解时 ⇔ l 与 G 没有交点. （6）抛物线与 x 轴两交点之间的距离：若抛物线 y=ax 2 + bx+ c 与 x 轴 两 交 点 为 A ( x 1 ， 0 ) ， B ( x 2 ， 0 ) ，由于 x 1 、 x 2 是方程 ax 2+ bx +c=0 的两个根，故 b c x 1+ x 2=− , x 1 ⋅ x 2= a a √ √ AB=|x 1 − x 2|= ( x 1 − x 2 )2= ( x 1 − x 2) 2 − 4 x 1 x 2= √( − b 2 4 c √ b2 −4 ac √ Δ − = = a a |a| |a| ) 二次函数专题《考点 ·题型 ·难点》强化训练 一、单选题 1．（2021·湖南涟源·九年级期末）当函数 y  ( a  1) x a B． a  �1 A． a  1 2 1  2x  3 是二次函数时， a 的取值为（ ） D． a  1 C． a �1 2．（2019·重庆大足·九年级期末）关于二次函数 y  2x2  4x  1 ，下列说法正确的是（ ）  0,1 y A．图像与 轴的交点坐标为 y B．图像的对称轴在 轴的右侧 C．当 x  0 时， y 的值随 x 值的增大而减小 D． y 的最小值为-3 3．（2020·贵州关岭·九年级期末）将抛物线 抛物线为（ A． C． y  2x2 向上平移 3 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度，所得到的 ）. y  2( x  2) 2  3 y  2( x  2) 2  3 ； B． ； D． y  2( x  2)2  3 y  2( x  2)2  3 4．（2020·山东·石莱镇初级中学九年级期末）如图是二次函数 ax 2 +bx+c<0 的解集是（ ） ； . y=ax 2 +bx+c 的部分图象，由图象可知不等式 A． 1<x<5 C． x<  1 且 x>5 B． x>5 D．x＜－1 或 x＞5 5．（2020·江苏·无锡外国语学校九年级期末）在同一坐标系内，一次函数 y  ax  b 与二次函数 y  ax 2  8x  b 的图 象可能是 A． B． C． D． y  ax 2  bx  c  a �0  6．（2021·云南大理·九年级期末）如图，已知二次函数 ① abc  0 ； ②b  a  c ； ③ 4a  2b  c  0 ； ④ 3a  c ； 的图象如图所示，有下列 5 个结论　 ⑤ a  b  m  am  b  (m �1 ). ( 的实数 其中正确结论的有 　　 ) A． ①②③ B． ②③⑤ C． ②③④ D． ③④⑤ 7．（2020·浙江浙江·九年级期末）函数 y=ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值 y＜0 成立的 x 的 取值范围是（　　） A．x＜﹣4 或 x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0 或 x＞2 D．0＜x＜2 8．（2020·贵州·兴仁市真武山街道办事处黔龙学校九年级期末）如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线 x＝1，与 x 轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：① 4ac＜b2；②方程 ax2＋bx＋c＝0 的 两个根是 x1＝－1，x2＝3；③ 3a＋c＞0；④当 y＞0 时，x 的取值范围是－1≤x＜3；⑤当 x＜0 时，y 随 x 增大而增 大．其中结论正确的个数是( A．4 个 ) B．3 个 C．2 个 9．（2020·山东莒县·八年级期末）二次函数 y  ax 2  bx  c D．1 个 （ a, b, c 是常数， a �0 y x ）的自变量 与函数值 的部分 对应值如下表： x … 2 1 0 1 2 … y  ax 2  bx  c … t m 2 2 n … 1 且当 x   2 时，与其对应的函数值 y  0 ．有下列结论：① abc  0 ；② 2 和 3 是关于 x 的方程 ax 2  bx  c  t 的两 个根；③ 0  m  n  A．0 20 ．其中，正确结论的个数是（ ） 3 B．1 C．2 D．3 10．（2019·福建厦门·九年级期末）已知二次函数 y＝ax2+bx+c(a＞0)的图象经过(0，1)，(4，0)，当该二次函数的 自变量分别取 x1，x2(0＜x1＜x2＜4)时，对应的函数值是 y1，y2，且 y1＝y2，设该函数图象的对称轴是 x＝m，则 m 的 取值范围是(　　) A．0＜m＜1 B．1＜m≤2 C．2＜m＜4 D．0＜m＜4 11．（2020·山西灵石·九年级期末）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图 1)，它由五个高度不同，跨径也不 同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图 2 所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物 线)在同一竖直平面内，与