21.2.3 公式法 21.2.3 公 式 法 21.2.3 公式法 知识回顾 1. 用配方法解一元二次方程的方法的步骤？ [ 答案 ](1) 移项 (2) 化 1 (3) 配方 (4) 开方 (5) 求解 2. 如何用配方法解方程 2x2 + 4x - 1 = 0 ? 21.2.3 公式法 1 解：方程整理得 x  2 x  . 2 2 配方得 ( x +1) 2 3 = . 2 6 开平方得 x  1  � . 2 6 6 ，x2  1  . 解得 x1  1  2 2 21.2.3 公式法 想一想 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). 能否也用配方法得出它的解呢？ 21.2.3 公式法 合作探究 用配方法解一般形式一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). 2 ax  bx  c. 解：移项，得 b c 2 方程两边都除以 a ，得x  x   . 2 a 2 b c �b � �b � 配方，得 x  x  � �   � �. a a �2a � �2a � 2 b � b 2  4ac � 即 �x  2a � 4a 2 .① � � a 2 问题：对于方程①接下来能用直接开平方解吗？ 21.2.3 公式法 ∵ a≠0 ，∴ 4a2 > 0. 而 b2 － 4ac 的符号有以下三种情 况： 2 （ 1 ） b － 4ac ＞ 0 ， 这时 ＞ 0 ，由①得 b b 2  4ac x � . 2a 2a 则方程有两个不相等的实数根  b  b 2  4ac  b  b 2  4ac x1  ，x2  . 2a 2a 21.2.3 公式法 （ 2 ） b2 - 4ac = = 0 ，由①可知，方程有两个相等的实 0这时 ， 数根 x1 = x2 = - . （ 3 ） b2 - 4ac ＜ ＜ 0 ，由①可知 0这 ，时 实数都不能使 ＜ 0 ，而 x 取任何 ＜ 0 ，因此方程无实数根 . 21.2.3 公式法 我们把 b2 − 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 根的判别 式，通常用希腊字母“ Δ” 表示，即 Δ = b2 − 4ac. 判别式的情况 根的情况 Δ>0 两个不相等的实数根 Δ=0 两个相等的实数根 Δ<0 没有实数根 两个实数根 Δ≥0 21.2.3 公式法 由上可知，当 Δ≥0 时，方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0) 的实数根可写为 x   b  b 2的形式，这个式子叫做一元  4ac 2a 二次方程 ax2 + bx + c = 0 的求根公式 . 用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法 . 注意：用公式法解一元二次方程时，首先要将方程化为 一般式，然后当 Δ = b2 - 4ac≥0 时，才可以用求根公 式. 21.2.3 公式法 例题讲解 例 1 　用公式法解下列方程： 　   （ 1 ）  x 2 - 4x - 7 = 0 ； 解： (1)a ＝ 1 ， b ＝－ 4 ， c 　； （ 22）　　　　　　 x 2  2 2 x  1 0 确定系数 Δ ＝7.b2 － 4ac ＝ ( － 4)2 － 4×1×( ； － 7) ＝ ＝－ 44 ＞ 0.  2. 方程有两个不等的实数根  b � b 2  4ac x  1. 2a 计算 Δ ； ( 4) � 44   2 � 11, 2 �1 即 x1  2  11, x2  2  11.  4. 定根  ；  3. 代入  ； 21.2.3 公式法 ， c  1. 确定系数 解： (2) a ＝ 2 ， b＝ 2          2 ； ＝ 1. Δ ＝ b2 － 4ac (＝ － 4×2×1  2. 计算 2              2)2 Δ ； ＝ 0. 方程有两个相等的实数根 b 2 2 2 x1  x2   2a  2 �2  2 .  3. 代入  +4. 定 根； 21.2.3 公式法 (3) 5x2 － 3x = x + 1 ； 提示：方程必须要转 化成一般形式才能确 定系数 2 方程化为 5x － 4x － 1 ＝ 解： 0.  1. 确定系数 Δ ＝ ba2 － － 4)42 － ＝ 4ac 5 ，＝b (＝－ ， 4×5×( c ； － 1) ＝  2. 计算 36>0. Δ ； ＝－ 1. 方程有两个不等的实数根  b � b 2  4ac  ( 4) � 36 x 2a  1 即 x1  1, x2   . 5 2 �5  4.  4 �6 . 10 定根  ；  3. 代入  ； 21.2.3 公式法 提示：方程必须要转化成 一般形式才能确定系数 (4) x2 + 17 = 8x.    解：方程化为 x2 － 8x ＋ 17 ＝ 0. a ＝ 1 ， b ＝－ 8 ， c  1. 确定系数 Δ＝＝17. b2 － 4ac ＝ ( － 8)2 － ； 4×1×17 ＝  2. 计算 － 4<0. Δ ； 方程无实数根．  3. 定根  ； 21.2.3 公式法 要点归纳 公式法解方程的步 骤 1. 变形：化已知方程为一般形式； 2. 确定系数：用 a ， b ， c 写出各项系数； 3. 计算： b2 − 4ac 的值； 4. 判断：若 Δ = b2 − 4ac≥0 ，则利用求根公式求出； 若 b2 − 4ac ＜ 0 ，则方程没有实数根 . 21.2.3 公式法 例2 k 取何值时，关于 x 的一元二次方程 kx2 － 12x ＋ 9 ＝ 0 有两个不相等的实数根？ 导引：已知方程有两个不相等的实数根，则该方程的 Δ>0 ， 用含 k 的代数式表示出 Δ ，然后列出以 k 为未知数的不等 式， 求出 k 的取值范围． 21.2.3 公式法 解：∵方程 kx2 － 12x ＋ 9 ＝ 0 是关于 x 的一元二次方 程， ∴k≠0. 方程根的判别式 Δ ＝ ( － 12)2 － 4k×9 ＝ 144 － 36k. 由 144 － 36k>0 ，求得 k<4 ，又 k≠0 ， ∴ 当 k<4 且 k≠0 时，方程有两个不相等的实数 根． 21.2.3 公式法 随堂练习 1. 不解方程，判断下列方程的根的情况： 1 （ 1 ） 2x2 + 3x − 4 = 0 ； （ 2 ） x2 − 4x + 解：（ 1 ） a = 2 ， b = 3 ， c = −4 ， ∴ Δ = b2 − 4ac = 32 − 4×2×(−4) = 41 ＞ 0. ∴ 方程有两个不等的实数根． 1 （ 2 ） a = 1 ， b = −1 ， c = ， 1 4 ∴ Δ = b2 − 4ac = (−1)2 − 4×1× =40. ∴ 方程有两个相等的实数根． =0； 21.2.3 公式法 （ 3 ） x2 − x + 1 = 0. 解： x2 − x + 1 = 0 ， a = 1 ， b = −1 ， c = 1 ， ∴ Δ = b2 − 4ac = (−1)2 − 4×1×1 = −3 < 0. ∴ 方程无实数根． 21.2.3 公式法 2. 解方程： x2 + 7x – 18 = 0. 解： a = 1 ， b = 7 ， c = −18 ， ∴ Δ = b2 - 4ac = 72 – 4×1×(−18 ) = 121 > 0 ， 7 � 121 7 �11 ∴，x   2 �1 2 即 x1 = −9 ， x2 = 2 . 21.2.3 公式法 3. 解方程： (x - 2) (1 - 3x) = 6. 解：去括号，得 x - 2 - 3x2 + 6x = 6 ， 化为一般式，得 3x2 - 7x + 8 = 0 ， a = 3 ， b = -7 ， c = 8 ， ∴ Δ = b2 - 4ac = (-7 )2 – 4×3×8 = 49–96 = - 47 < 0 ， ∴ 原方程没有实数根 .