湖南师大附中博才实验中学 2021-2022 学年七年级（下）期中数学试卷 题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题（本大题共 10 小题，共 30 分） 1. 下列各数中是无理数的是 () A. 0 2. 已知点 P 的坐标为 P(−5,3) ，则点 P 在第 () 象限． B. A. 一 1 3 C. B. 二 ❑ √ 17 −❑√ 9 C. 三 D. π D. 四 的值在 () 3. 估算 A. 2 和 3 之间 4. 如图所示，点 E 在 AD 的延长线上，下列条件中不能判断 AD /¿ BC 的 B. 3 和 4 之间 C. 4 和 5 之间 D. 5 和 6 之间 是 () A. ∠ 3=∠ 4 B. ∠ 1=∠2 C. ∠ C=∠ CDE D. ∠ C+∠ CDA=180 ° 5. 下列语句中，是假命题的是 () A. 实数与数轴上的点一一对应 B. 对顶角相等 C. 无限小数都是无理数 D. 垂线段最短 6. 如图所示的围棋盘，放置在某个直角坐标系中，白棋 ② 的坐标为 (−3,−1) ，白棋 ④ 的坐标为 (−2,−5) ，则黑棋 ① 位于点 () A. (−1,−4 ) B. (1,−4) C. (3,1) D. (−3,−1) 7. 若方程组 =☆ {2xx++yy=16 的解为 =6 { xy=□ ，则被“ ☆ ”、“ □ ”遮住的两个数 分别是 () A. 10 ， 3 8. 下列说法正确的是 () B. 3 ， 10 C. 4 ， 10 D. 10 ， 4 A. 4 的平方根是 2 B. 有公共顶点且相等的角是对顶角 C. −4 没有立方根 D. 同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 9. 《 九章算术 》 是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀， 六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各 为多少？设一只雀的重量为 x 斤，一只燕的重量为 y 斤，则可列方程组为 () A. {5 x−5 x+6y=6y =1y−x B. {5 6x +x +5y=6y=1y+ x C. {4 5x +x +6y=5y =1y + x D. {4 x−6 x +5y =5y=1y−x 10. 对于实数 x ， y ，定义一种新的运算“ ⊙ ”： x ⊙ y=ax+ by+c ，其中 a ， b ， c 为常数，若 3 ⊙ 5=15 ， 4 ⊙7=28 ，求 1⊙1 的值 为 () ． 1 A. −11 B. C. 11 D. 与 a 或 b 或 c 的值有关 二、填空题（本大题共 6 小题，共 18 分） 11. 已知 P(−2022,−2021) ，则点 P 到 y 轴的距离是______． 12. 若 y=❑√ x−3+ ❑√ 3−x +2 ，则 y=¿ ______． 3 13. 若 3 x =−81 ，则 x=¿ ______． 14. 如图，直线 AB 、 CD 相交于点 O ，若 ∠ 1+ ∠2=100 ° ，则 ∠ BOC 等于______． 15. 已知 AB /​/ x 轴，且点 A 的坐标为 (m ,2 m−1) ，点 B 的坐标为 (2,4) ，则点 A 的坐标为______． 16. 如图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为 4 和 2 ，那么阴影部分的面积是______ ． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分） 17. 计算： √3 8+❑√ 9+❑√3−¿ 1−❑√ 3∨¿ ． ¿ 18. 解方程 ¿ 组 ¿ ： x+ 2¿ 2−8=0 ； (1)2 ¿ { (2) 2 x− y=5 ． 3 x+ 4 y=2 19. 如图，在单位正方形网格中，建立了平面直角坐标系 xOy ，试解答下列问题： (1) 写出 △ ABC 三个顶点的坐标； (2) 画出 △ ABC 向右平移 6 个单位，再向下平移 2 个单位后的图形 △ A1 B 1 C 1 ； (3) 求 △ ABC 的面积． 20. 如图， AB ⊥ MN 于 B ， C D ⊥ MN 于 D ， ∠ 3=3 ∠ 1−∠ 2 ． (1) 判断 AB 与 CD 的位置关系，并说明理由． (2) 求 ∠ 1 的度数． 21. 解关于 x ， y 的方程组 因为把 c 抄错了，误解为 +by =9 {3axx−cy=−2 x =4 { y=−1 时，甲正确地解出 { x=2 y=4 ，乙 ，求 a ， b ， c 的值． 22. 为方便市民出行，减轻城市中心交通压力，长沙市正在修建贯穿星城南北、东西 的地铁 1 、 2 号线．已知修建地铁 1 号线 24 千米和 2 号线 22 千 米共需投资 265 亿元；若 1 号线每千米的平均造价比 2 号线每千米的平 均造价多 0.5 亿元． (1) 求 1 号线， 2 号线每千米的平均造价分别是多少亿元？ (2) 据悉，长沙市到今年年底在建及通车地铁里程 ¿¿ 不含 1 、 2 号线 ¿ 将达到 276 千米，这些在建及通车地铁线网每千米的平均造价是 1 号 ¿ 线每千米的平均造价的 1.2 倍，那么到今年年底长沙市修建地铁线网 ¿ 不含 1 、 2 号线 ¿ 共投资了多少亿元？ 23. 如图，在平面直角坐标系中， A ， B 坐标分别为 A (0, a) 、 B (b , a) ， 且 a ， b 满足： ❑ √ a−3+ ¿ b−5∨¿ 0 ，现同时将点 A ， B 分别向 下平移 3 个单位，再向左平移 1 个单位，分别得到点 A ， B 的对应点 C ， D ，连接 AC ， BD ， AB ． (1) 求 C ， D 两点的坐标及四边形 ABDC 的面积； (2) 点 P 是线段 BD 上的一个动点，连接 PA ， PO ，当点 P 在 ∠ BAP+ ∠DOP BD 上移动时 ¿¿ 不与 B ， D 重合 ¿ ， 的值是 ∠ APO 否发生变化，并说明理由； (3) 已知点 M 在 y 轴上，连接 MB 、 MD ，若 △ MBD 的面积 与四边形 ABDC 的面积相等，求点 M 的坐标． 24.已知 a ， b 均为正整数．我们把满足 a+3 b {x=2 y=3 a+2 b 的点 P( x , y ) 称为幸 福点． (1) 下列四个点中为幸福点的是______； P1 (5,5) ； P2 (6,6) ； P3 (7,7) ； P4 (8,8) (2) 若点 P(20, t) 是一个幸福点，求 t 的值； (3) 已知点 P( ❑√ m+1, ❑√m−1) 是一个幸福点，则存在正整数 a ， b 满足 {√√ ❑ ❑ m+1=2 a+ 3b ，试问是否存在实数 k 的值使得点 P 和点 m−1=3 a+2 b 1 1 Q( a+ k , b−k ) 到 x 轴的距离相等，且到 y 轴的距离也相等？若存在，求 2 2 出 k 的值；若不存在，请说明理由． 答案和解析 1.【答案】 D 【解析】解： ∵− √ 9=−3 ，是有理数， ❑ ∴ π 是无理数， 故选： D ． 根据无理数的概念，结合选项解答即可． 本题考查了无理数的概念，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式． 2.【答案】 B 【解析】解： ∵ 点 P 的坐标为 (−5,3) ， ∴ 点 P 的横坐标为负数，纵坐标为正数， ∴ 点 P 在第二象限， 故选： B ． 根据各象限内点的坐标符号可得其所在象限． 本题主要考查点的坐标，解题的关键是掌握四个象限内点的坐标符号特点． 3.【答案】 C 2 2 【解析】解： ∵ 4 =16 ， 5 =25 ， 16<17< 25 ， ∴ 4< ❑√ 17<5 ， ∴ ❑√ 17 的值在 4 和 5 之间． 故选： C ． 本题需先判断 17 在哪两个平方数之间，再求出 ❑ √ 17 的范围． 本题主要考查了估算无理数的大小，运用夹逼法即可解决问题． 4.【答案】 B 【解析】解： A 、 ∵∠3=∠4 ， ∴ AD /​/ BC ； B、 ∵∠ 1=∠ 2 ， ∴ AB/ ​/CD ； C、 ∵∠ C=∠CDE ， ∴ AD /​/ BC ； D、 ∵∠ C+ ∠CDA =180° ， ∴ AD /​/ BC ， ∴ 不能判断 AD /¿ BC 的是 B 选项， 故选 B． 根据平行线的判定定理解答即可． 本题考查了平行线的判定，是基础题，准确识图是解题的关键． 5.【答案】 C 【解析】解： A 、实数与数轴上的点一一对应，正确，为真命题； B、对顶角相等，正确，为真命题； C、无限不循环小数都是无理数，故原命题为假命题； D、垂线段最短，正确，为真命题； 故选： C ． 根据数的定义、无理数的定义、对顶角的性质、垂线的性质等知识逐项判定即可． 本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握实数的定义、无理数的定义、对顶角的性质、 垂线的性质等知识是解答此题的关键． 6.【答案】 B 【解析】解：由白棋 ② 的坐标为 (−3,−1) ，白棋 ④ 的坐标为 (−2,−5) ， 可知，图中的上数第二条水平线为 x 轴，向右为正方向，从左向右数的第 6 条竖 直线为 y 轴，向下为负方向，这两条线的交点为坐标原点．所以黑棋 ① 位于点 (1,−4). 故选： B ． 根据已知两点的坐标确定坐标系，再确定其它各点的坐标． 考查类比点的坐标及学生解决实际问题和阅读理解的能力．解决此类问题需要先确定 原点的位置，再求未知点的位置，或者直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加 下减”来确定坐标． 7.【答案】 D 【解析】解：把 x=6 代入 2 x + y =16 得： y=4 ， 把 x=6 ， y=4 代入得： x+ y=6+ 4=10 ， 则被“ ☆ ”、“ □ ”遮住的两个数分别是 10 ， 4 ， 故选 D​ 把 x=6 代入方程组中第二个方程求出 y 的值，确定出所求两个数即可． 此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知 数的值． 8.【答案】 D 【解析】解： 4 的平方根是 ± 2 ，故 A 错误，不符合题意； 有公共顶点且两边互为反向延长线的角是对顶角，故 B 错误，不符合题意； −4 有一个负的立方根，故 C 错误，不符合题意； 同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故 D 正确，符合题意． 故选： D ． 根据平