第十五章分式 15.3.3 分式方程的应 用 工程问题 课前准备 日常生活中，我们常常涉及到完成某一项 工作的问题，例如建房子，修公路，造桥，运 货等，数学实际应用中归纳为“工程问题”。 回顾探究 同学们，回忆一下，以前学的一元一次方程 实际应用中的工程问题涉及到哪些基本量以及它们 有什么关系？ 工作总量、工作效率、工作时间 （ 1 ）修一条公路，甲工程队单独做 20 天完成，由 乙工程队单独做 30 天完成，工作总量工作效率工作 时间分别是什么？ 工程问题常把工作总量看作是单位 1 （ 2 ）修一条公路，甲工程队单独做 x 天完成，由乙工 程队单独做多用 3 天完成，工作总量工作效率工作时 间分别是什么？ 工程问题常把独立完成时间转化为工作效率 工作总量型等量关系： 甲的工作量 + 乙的工作量 = 合作工 作量 例 1 有两个工程队共同参与一项筑路工程 ，甲队单施工 1 个月完成总工程的三分之一， 这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月， 总工程全部完成。哪个的施工队速度快？ 1 分析：甲队 1 个月完成总工程的 3 ，设乙队 如果单独施工 1 个月能完成总工程的1 x ，那么甲 队半个月完成总工程的 程的 1 6 ，乙队完成总工 1 1 1 2x ，两队半个月完成总工程的 6 2x 。 解：设乙队如果单独施工 1 1 个月能完成总工程的x 根据工程的实际进度，得 : 1 3  1 6  1 2x 1 解得： x=1 检验： x ＝ 1 时 6x≠0 ， x ＝ 1 是原方程的解。 答：乙队的速度快。 针对练习 1 ：某工程队需要在规定日期内完成。若甲队单独做 正好按时完成；若乙队单独做，超过规定日期三天 才能完成。现由甲、乙合作两天，余下工程由乙队 单独做，恰好按期完成，问规定日期是多少天？ 解；设规定日期是 x 天，根据题意，得： 2  x 1 x x 3 解得： x=6 检验： x ＝ 6 时 x （ x+3 ） ≠ 0 ， x ＝ 6 是原方程的解。 答：规定日期是 6 天。 针对练习 2 ：重庆市政府打算把一块荒地建成公园，动用了 一台甲型挖土机， 4 天挖完了这块地的一半。后又 加一台乙型挖土机，两台挖土机一起挖，结果 1 天 就挖完了这块地的另一半。乙型挖土机单独挖这块地 需要几天？ 分析 : 请完成下列填空 : (1) 设乙型挖土机单独挖这块地需要 x 天 , 那么它 1 天挖土量是 这块地的 1 _______; x (2) 甲型挖土机 1 天挖土量是 1 这块地的 ______; 8 (3) 两台挖土机合挖 ,1 天挖土 量是这块地的 1 _____. 2 1 1 1   x 8 2    针对练习 3 ：某项工程，甲、乙两人先合做 4 天，剩下的 工程由甲再单独做 5 天完成．已知乙单独完成这 项工程比甲单独完成这项工程少 5 天，求甲单独 完成这项工程需多少天 ? 解：甲单独完成这项工程需 x 天   针对练习 4 ：欲修建的某高速公路要招标．现有甲、乙两个工程队 ，若甲、乙两队合作， 24 天可以完成，费用为 120 万 元；若甲单独做 20 天后剩下的工程由乙做，还需 40 天 才能完成，这样所需费用 110 万元，问： （ 1 ）甲、乙两队单独完成此项工程，各需多少天？ 解：甲单独完成此项工程需 x 天，   （ 2 ）甲、乙两队单独完成此项工程，各需多少万元？ 工作效率型等量关系： 甲的工作效率 + 乙的工作效率 = 合作工作 量效率 例 2 ：一件工作．已知甲、乙两人合做要 3 小时 可以完成．而甲单独做比乙单独做少用 8 小时， 问乙独做需要多少小时。 解：设乙独做需要 x 小时。 1 1 1   x x 8 3   针对练习 1 、要完成一项工程，甲单独做，比甲、乙、丙 三人合做需多用 5 天；乙单独做，比甲、乙、丙 三人合做需多用 15 天；丙独做所需的时间等于 甲、乙、丙三人合做所需的时间的 4 倍．求甲、 乙、丙三人合做需要几天才能完成这项工程？ 解：甲、乙、丙三人合做需要 x 天才能完成这项工程   =   针对练习 2 ：某市为了进一步缓解交通拥堵现象，决定修 建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路，为使工程 能提前三个月完成需要将原定的工作效率提高 1 2 ％，问原计划完成这项工程用多少个月． 解：原计划完成这项工程用 x 个月   = 工作时间型等量关系： 例 3 甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时 比乙多做 6 个，甲做 90 个零件所用的时间和乙做 60 个零件所用时间相等，求甲、乙每小时各做多少 个零件？ 解：设甲每小时做 x 个零件则乙每小时做（ x － 6 ）个 零件，   依题意得： = 由 x ＝ 18 得 x － 6=12 答：甲每小时做 18 个，乙每小时 12 个 针对练习 1 、甲、乙两人每小时共能做 35 个零件，当 甲做了 90 个零件时，乙做了 120 个。问甲、 乙每时各做多少个机器零件？ 解：甲每时做 x 个机器零件，则乙每时做 35-x 个 机器零件   = 针对练习 2 ：甲加工 180 个零件所用的时间，乙可以 加工 240 个零件，已知甲每小时比乙少加工 5 个零件，求两人每小时各加工的零件个数 . 解：设乙每时做 x 个机器零件，则甲每时做 x-5 个 机器零件   = 当堂检测 1 ：某工人师傅先后两次加工零件各 1500 个， 当第二次加工时，他革新了工具，改进了操作方 法，结果比第一次少用了 18 个小时 . 已知他第 二次加工效率是第一次的 2.5 倍，求他第二次加 工时每小时加工多少零件 ? 3 ：某工程队计划铺设煤气管道 60 千米．开工后  每天比原计划多铺 1 千米，结果提前 5 天完成任 务．问原计划每天应铺管道多少千米？ 4 ：一个工厂接了一个订单，加工生产 720 t 产  品，预计每天生产 48 t ，就能按期交货，后来， 由于市场行情变化，订货方要求提前 5 天完成， 问：工厂应每天生产多少吨？  5 ：一个工厂接了一个订单，加工生产 720 t 产 品，预计每天生产 48 t ，就能按期交货，后来 ，由于市场行情变化，订货方要求提前 5 天完成 ，问：工厂应每天生产多少吨？ 当堂小结 列分式方程解应用题的一般步骤 1. 审 : 分析题意 , 找出已知量与未知量以及它们的数量和相 等关系 . 2. 设 : 恰当的设未知数（一般问什么设什么；有时要设联系 已知量与未知量的关键量） 三次检验是 :(1) 是否是分式方程的解 ; 3. 列 : 根据数量和相等关系 , 正确列出分式方程 . 4. 解 : 不需要步骤 . (2) 是否使分式有意义 ; (3) 是否满足实际意义 . 5. 验 : 有三次检验 . 6. 答 : 注意单位和语言完整 . 且答案要生活化 .