数学 （北师大版） 九年级 下册 第三章 圆 3.2 圆的对称性 学习目标 1. 掌握圆是轴对称图形及圆的中心对称性和旋 转不变性 . 2. 探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其 解决相关问题 . 3. 理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同 圆或等圆”条件的意义 . 　 导入新课 熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，你 会分吗？ 　 导入新课 看一看：观察下图中图形的变化，试着发现它 们的规律。 讲授新课 一 圆的对称性 问题 1 ： 圆是轴对称图形吗？如果是，它 的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 圆是轴对称图形 圆的对称轴是经过圆心的直线 O 圆的对称轴有无数条 讲授新课 问题 2 ：剪下一个圆形纸片，把它绕圆心旋 转 180° ，所得的图形与原图形重合吗？由此你得 到什么结论？ 圆是中心对称图形，圆心就 A B 是它的对称中心 . 讲授新课 问题 3 把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原 来的圆重合吗？ · α O 圆是旋转对称图形，具有旋转不变性 . 讲授新课 二 圆心角、弧、弦之间的关系 问题 1 ：如图，在⊙ O 中，当圆心角∠ AOB= ∠A'OB' 时，它们所对的弧 AB 与 A'B' ，弦 AB 与 弦 A'B' 相等吗？为什么？ A' B 由圆的旋转不变性，我们发现： 在⊙ O 中，如果∠ AOB= ∠A'OB' ， 相等 ， 那么弧 AB 与 A'B'_______ B' O A 相等 弦 AB 与弦 A'B'_______. 讲授新课 A' 我们把∠ AOB 连同 AB 绕圆心 B O 旋转，使射线 OA 与 OA' 重合 . ∵∠AOB= ∠A'OB' B' ∴ 射线 OB 与 OB' 重 合 ∵OA=OA',OB=OB' ） ） ） ） ∴ 点 A 与 A' 重合，点 B 与 B' 重合 因此点 AB 与 A'B' 重合， AB 与 A'B' 重 合 ∴AB=A'B'. AB=A'B' O A 讲授新课 O O r r 归纳：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相 等，所对的弦也相等． 讲授新课 弧、弦、圆心角之间的关系： 1. 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们 所对应的圆心角 ______ ，所对的弦 ______ ． 相等 相等 2. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等 , 那么它们 所对应的圆心角 ______ ，所对的优弧和劣弧分别 相等 _____ 相等 ． 讲授新课 要点归纳 弧、弦与圆心角的关系定 理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 弧相等，所对的弦也相等． ⌒ ⌒ ②AB=CD ①∠AOB=∠COD C ③AB=CD B D O A 讲授新课 题设 在同圆或等圆中 如果圆心角相等 如果弧相等 结 论 那么 那么 圆心角所对的弧相等 圆心角所对的弦相等 弧所对的圆心角相等 弧所对的弦相等 弦所对应的圆心角相等 如果弦相等 那么 弦所对应的优弧相等 弦所对应的劣弧相等 讲授新课 要点归纳 弧、弦与圆心角关系定理的推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、 两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各 组量都分别相等． 讲授新课 三 关系定理及推论的运用 例 1 如图， AB ， DE 是⊙ O 的直径， C 是⊙ ⌒ ⌒ O 上的一点，且 AD=CE.BE 和 CE 的大小有什 么关系？为什么？ 解 :BE=CE. 理由是： ∵∠AOD=∠BOE ， ⌒ ⌒ ∴AD=BE. ⌒ ⌒， 又∵ AD=CE ⌒ ⌒ ∴BE=CE. ∴BE=CE. E B C · O D A 讲授新课 ⌒ 例 2 如图，在⊙ O 中， ⌒AB=AC ,∠ACB=60°, 求证：∠ ⌒ AOB= ∠BOC=∠AOC. ⌒ A 证明： ∵AB=CD ， ∴ AB=AC ．△ ABC 是等腰三角形 . 又∠ ACB=60° ， · O B ∴ △ABC 是等边三角形 , AB=BC=CA. ∴ ∠AOB ＝ ∠ BOC ＝ ∠ AOC. 温馨提示：本题告诉我们，弧、圆心角、弦 灵活转化是解题的关键 . C 当堂检测 1 ．如果两个圆心角相等，那么 （ ）D A ．这两个圆心角所对的弦相等 B ．这两个圆心角所对的弧相等 C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D ．以上说法都不对 °. 2. 弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 60　 3. 在同圆中，圆心角∠ AOB=2∠COD, 则 ⌒ AB 与 ⌒ CD 的关系是（ A ） ⌒ ⌒ C. AB<CD ⌒ ⌒ D. 不能确定 ⌒ ⌒ B. AB>CD A. AB=2CD 当堂检测 4. 关于圆的对称性有以下结论 , 其中正确的是 ( C A. 圆是中心对称图形 , 但不是轴对称图形 ) B. 圆既是中心对称图形 , 又是轴对称图形 , 但只有一 个对称中心和一条对称轴 C. 圆既是中心对称图形 , 又是轴对称图形 , 对称中心 仅有一个 , 而对称轴有无数条 D. 圆既是中心对称图形 , 又是轴对称图形 , 对称中心 有无数多个 , 但对称轴仅有一条 当堂检测 5. 如图， A ， B ， C ， D 是⊙ O 上的四点，且 AD=BC ，则 AB 与 CD 的大小关系为（ B A.AB ＞ CD B.AB=CD C.AB ＜ CD D. 不能确定 ） 当堂检测 6. 如图，已知 A ， B ， C ， D 是⊙ O 上的点 ） ） ） ，∠ 1=∠2 ，则下列结论中正确的有（ D ①AB=CD ； ） ②BD=AC ； ③AC=BD ； ④∠BOD=∠AOC. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 ）