第十三章 相交线、平行线 13.5  平行线的性质（ 4 ）   一、复习引入 平行线的判定方法： 两直线平行 . ① 同位角相 等， ② 内错角相等， 两直线平行 . 同旁内角互 两直线平行 . ③ 补， 平行线的性质 : ① 两直线平行，同位角相等 . ② 两直线平行，内错角相等 . ③ 两直线平行，同旁内角互补． 条件 平行线的判 定 角的关系 平行线的性 质 两直线平行 平行线的判定 未知直线平行， 要说明其平行， 用平行线的判定 ． 结论 两直线平行 角的关系 平行线的性质 条件和结论互 换 已知直线平行，得 出角的关系 , 用平 行线的性质 . 二、初步应用 例题 1 如图：已知∠ BAE=∠CAE ， AE∥DB ， 试说明∠ ABD=∠D 的理由． 分 在图中记∠ ABD 为∠ 1 ， 析： ∠BAE 为∠ 2 ， ∠CAE 为∠ 3 ， AE//DB ∠D=∠3 ∠1=∠2 又 ∵ ∠ 3= ∠2  ∠1 、∠ D 既不是同位 角，也不是 内错角，要 证明它们相 等，就要证 明它们都等 于第三个角 . ∠1= ∠D 二、初步应用 例题 1 如图：已知∠ BAE=∠CAE ， AE∥DB ， 试说明∠ ABD=∠D 的理由． 解 :∵AE//DB ∴ ∠D=∠3 ∠1=∠2 又∵∠ 2= ∠3 ∴ ∠1= ∠D 从同一个条件得 即∠ ABD=∠D 出两个以上的结 果，可省略 . ∴ ( 已知 ) 平行线 的性质 （两直线平行，同位角相等）； （两直线平行，内错角相等） ( 已知 ) ( 等量代换 ) ∠BEF= ∠2+ ∠3 练习： 1.如图，已知 AEC 32 ， B 68  AEC  A，求BEF的度数. B A 解 ∵∠1= ∠A C 1 2 E ∴ AB//CD 3 F B A D ∴ ∠2 = ∠B 又∵ ∠ B=68° ∴ ∠2 = 68 ° 1 E C A (已 知) （内错角相等 , 两直线平 行，） （两直线平行 , 内错角相 等） 平行线性 （等量代换） 质 又∵∠ 3= ∠1=32° B 平行线判定 ( 对顶角相等 ) ∴ ∠BEF = ∠2+ ∠3=68 °+ 32 °=100° 2 E D ( 等式的性 如图，已知直线a，b被直线l所截，a // b， 练习： 2 且 1  （3 x  16）  ， 2  （2 x  11）  ，求 1、2的度数 a b l 1 2 解 ∵ a // b （已知）   1  2 180（两直线平行，  同旁内角互补） 即（3 x  16）（2 x  11）180 解得 几何问题转化 为代数问题解 决. x 35   1 ） 3 35  16） 121 2  ） 2 35  11） 59 例题 2 如图：已知∠ ABC=62° ，∠ 1=∠2 ，求∠ C 的度数． A D 2 分 析： 1 ？ C B A 2 D ∠1=∠2 AB // DC 1 A B ∠ABC+∠C=180° C B D C 例题 2 如图：已知∠ ABC=62° ，∠ 1=∠2 ，求∠ C 的度数． A D 2 1 ？ C B 解： ∵∠1=∠2 平行线判定 ( 已知 ) （内错角相等 , 两直线平 行，） ∴ ∠ABC+∠C=180° （两直线平行 , 同旁内角互 补） ∴ ∠C=180°- ∠ABC 平行线性质 （等式性质） =180°- 62°=118° ∴ AB // DC 三、拓展提高 猜测： ∠ B+∠BED+∠D= 360° 例 3 如图，已知 AB//CD ，那么 ？ ∠ B+∠BED+∠D 等于多少度 ? 为什么 ? B A 360° 1 F C 2 D E 180°+ 180° 怎样位置关系的 两个角的数量关系 会出现 180° ？ 要有两组平行线构 造 出两对同旁内角， 三、拓展提高 例 3 如图，已知 AB//CD ，那么 ∠ B+∠BED+∠D 等于多少度 ? 为什 B么 ? A F C E D 解： 过点 E 作 EF//AB ， 得∠ B+∠BEF=180° （两直线平行，同旁内角互补）． ∵ AB//CD （已知）， EF//AB （已作）， ∴ EF//CD （平行线的传递性）． 得∠ D+∠DEF=180 ° （两平线平行，同旁内角互补）． 因此∠ B+∠BEF+∠DEF 十∠ D=360° 即∠ B+∠BED+∠D=360° ． ， 三、拓展提高 例 3 如图，已知 AB//CD ，那么 ∠B+∠BED+∠D 等于多少度 ? 为什么 ? A B 1 E 2 C A D B 方法 3 E C D 360° 方法 2 F 360°= 周角 360° 360°= 一组平行线构成 的同旁内角和 + 三角形 内角和 . 综合练习： 1. 如图，直线 EF 与 AB ， CD 交于点 G ， H ，已知∠ AGF ＝∠ CHF ，∠ EGB ＝ 70° ， HN 平分∠ CHE ，求∠ NHD 的度数． 2 ．如图，若 AB∥DE ，∠ B ＝ 130° ，∠ D ＝ 35° ，求∠ C 的度数． 解：过 C 作 CM∥AB ，如图所示． ∵AB∥DE ， AB∥CM∥DE. 1 ＋∠ B ＝ 180° ，∠ 2 ＝∠ D ＝ 35°. ∵B ＝ 130° ， 1 ＝ 180° －∠ B ＝ 180° － 130° ＝ 50°. BCD ＝∠ 1 ＋∠ 2 ＝ 50° ＋ 35° ＝ 85°. 方法点拨：本题可运用“逆推”的方法求解，即 从求解的结论逆推到已知条件，即求∠ NHD→ 需求∠ NHC→ 需求∠ CHG→ 需求∠ AGF ，其 中利用“同位角相等，两直线平行”得到 AB∥CD ，是本题求解的关键 . 【第一关】　建议用时 8 分钟 1 ． (2020 年北京朝阳区期末 ) 如图，点 D ， E ， F 分别是△ ABC 的边 BC ， CA ， AB 上的点， DE∥BA ， DF∥CA ．图中与∠ A 不一定相等 C 的角是 ( 　　 ) 　 A ．∠ BFD 　 B ．∠ CED 　 C ．∠ AED 　 D ．∠ EDF 2 ． (2020 年杭州江干区期末 ) 如图， CD 平分 ∠ ACB ， DE∥AC ，若∠ ACD ＝ 35° ，则∠ DEB 的度数为 ( 　　 ) C 　 A ． 35° 　 C ． 70° 　 B ． 55° 　 D ． 75° • 3 ． (2020 年益阳 ) 如 132° 图， AB∥CD ， AB⊥AE ，∠ CAE ＝　42° ， 则∠ ACD 的度数为 _________.