9.11 平方差公式 （沪教版七年级上册） 教学目标 1 、经历平方差公式的探求过程，理解平方差公式意义，知道平方 差公式与多项式乘法法则的关系。 2 、熟悉平方差公式的特征，掌握平方差公式及其简单运用。 教学重点及难点 对两数和与两数差形状的理解，会运用公式进行简便计算和化简计 算． 教学流程 逐点讲练 课堂小结 情景导入 复习回顾：多项式与多项式是如何相乘 的？ (a + b)( m + n) =am +an +bm +bn 情景导入 思考 : 计算下列各题 , 并观察下列乘式与结果的特征 : 2 2 y (1) (y+2)(y-2)= -2 2 2 3 -a (2) (3-a)(3+a)= 2 2 (2a) -b (3) (2a+b)(2a-b)= 通过计算， 通过计算， 你发现了什 你发现了什 么规律？ 么规律？ 比较等号左右两边： 左边：两个数的和与这两个数的差的积 右边：这两个数的平方差 PART ONE 平方差公式 平方差公式 平方差公式：两个数的和与这两个数 的差的乘积等于这两个数的平方差 ，即 2 2 a -b (a+b)(a-b)= . 　　　 你能想办法推导出这个公式吗？ 根据多项式的乘法法则： (a+b)(a-b) =a2-ab+ab-b2 = 2 2 a -b 公式变形 : 1 、2 (a – b ) ( a + b) = a2 － b 2 、 (b + a )( － b + a ) = a2 － b2 01 平方差公式 用图形的面积关系来说明平方差公式： S (a  b)(a  b) 2 a  b 2 01 平方差公式 (a+b)(a−b)=a2−b2 公式的结构特征 符号相同的数 符号相同的数的平方  a  bb a  b a 符号相反的数 符号相反的数 2 b 2 符号相反的数的平方 注 : 公式中的 a 和 b 可以是任意数， 也可以是代数式 ( 单项式或多项式或其它的式 子 ). 01 例题 1 计算： (1) (2x+y)(2x-y); (1)(2x+y)(2x-y) = （ 2x ） 2 － (2)   1 1 1 1 ( x  y )( x  y ) 2 3 2 3 （ 2 ） (x + y ） (x - y) = （ x ） 2 － (y)2 = x2 － y2 (y)2 2 = 4x2 － y 注意： (x + y ） (x - y)= x2 － y2 (a+ b)(a− b)=a2−b2 02 例题 1 计算： (3) (-x+3y)(-x-3y) (4) (m n  1)(m n  1) 2 2 （ 3 ） (-x+3y)(-x-3y) （ 4 ） (-m2n+1)(-m2n-1) = （ -x ） 2 － (3y)2 = （ -m2n ） 2 － (1)2 = x － 9y = m4n 2 － 1 2 2 注： （ 1 ）添加必要的括号 ; （ 2 ）分清“ a” 与“ b”. 02 例题 2 计算： 2 2 (1) ( x  7y )(7y  x ) 3 3 02   -49y2 1 1 (2) ( x  2y )( x  2y ) 2 2   注： （ 1 ）符号的变 化; (3) (1 3a b )(3a b  1) 2   2 （ 2 ）位置的变 化. 例题 3 计算 : 2 2 (2 a  b )(2 a  b )(4 a  b ) (1) (2a+b) (2a-b)(4a2+b2) = (4a2-b2) (4a2+b2) = 16a4 － b4 02 例题 3 1 1 1 2 (2) (  a )(  a)(  a) 4 2 2   (+a2) (+a) (a) = (+a2) (a2) = － a4 02 例题 4 用平方差公式进行计算： (1)103×97 ； 解： (1)103×97 =(100+3) (100 － 3) =1002 － 32 =9 991 ； (2)118×122. (2)118×122 =(120 － 2) (100+2) =1202 － 22 =14 396 . 02 运用平方差公式计算： 例题 5 (1) 2 014×2 016 － 2 0152 ； (2) 1.03×0.97 ； 02 (3) 40 2 ×39 1 . 3 3 解： (1) 原式 ＝ (2 015 － 1)(2 015 ＋ 1) － 2 0152 ＝ 2 0152 － 1 － 2 0152 ＝－ 1 ； (2) 原式 ＝ (1 ＋ 0.03)(1 － 0.03) ＝ 12 － 0.032 ＝ 1 － 0.000 9 ＝ 0.999 1 ； (3) 原式  (40  2 )(40  2 )  402  ( 2 )2  1600  4  1599 5 . 3 3 3 9 9 PART TWO 练习一下 练一练 1. 下列计算能运用平方差公式的是 (D　　 ) A ． (m ＋ n)( － m － n) B ． (2x ＋ 3)(3x － 2) C ． (5a2 － b2c)(bc2 ＋ 5a2) D. 3 2 2 ( m － 4 3 2 n )( － 3 3 23 m － 4 n3 ) 2. 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是 A( 　　 ) A ． (2a ＋ b)( － 2a ＋ b) C ． ( － a ＋ b)(a － b) B ． (a ＋ 2)(2 ＋ a) D ． (a ＋ b2)(a2 － b) 练一练 3. 计算： (1) (a+2) (a － 2) ； (2) (3a+2b) (3a － 2b) ； (3) ( － x － 1) (1 － x) ； (4) ( － 4k+3) ( － 4k － 3). (1)(a ＋ 2)(a － 2) ＝ a2 － 22 ＝ a2 － 4. (2)(3a ＋ 2b)(3a － 2b) ＝ (3a)2 － (2b)2 ＝ 9a2 － 4b2. (3)( － x － 1)(1 － x) ＝ ( － x － 1)( － x ＋ 1) ＝ ( － x)2 － 12 ＝ x2 － 1. (4)( － 4k ＋ 3)( － 4k － 3) ＝ ( － 4k)2 － 32 ＝ 16k2 － 9. 练一练 4. 已知 a ＋ b ＝ 3 ， a － b ＝ 1 ，则 a2 － b2 3的值为 ________ ． C 5. 下列运算正确的是 ( 　　 ) A ． x3 ＋ x5 ＝ x8 B ． x3 ＋ x5 ＝ x15 C ． (x ＋ 1)(x － 1) ＝ x2 － 1 D ． (2x)5 ＝ 2x5 练一练 6. 如图①，在边长为 a 的正方形中剪去一个边长为 b 的小正方形 (a ＞ b) ，把剩下部分沿虚线剪开拼成一个 梯形 ( 如图② ) ，利用这两个图形的面积，可以验证 的公式是 ( 　　 ) B A ． a2 ＋ b2 ＝ (a ＋ b)(a － b) B ． a2 － b2 ＝ (a ＋ b)(a － b) C ． (a ＋ b)2 ＝ a2 ＋ 2ab ＋ b2 D ． (a － b)2 ＝ a2 － 2ab ＋ b2