初中数学九大几何模型 一、手拉手模型----旋转型全等 D （1）等边三角形 O O C D E E C A B 图 1 A 图 B 2 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形； 【结论】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=60°；③ OE 平分∠AED D （2）等腰直角三角形 D O O C E E C A 图 B 1 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形； A 图 B 2 D 【结论】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=90°；③ OE 平分∠AED O O C D E （3）顶角相等的两任意等腰三角形 E C A 图 1 B A 图 2 B 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB 【结论】：①△OAC≌△OBD； ②∠AEB=∠AOB； ③OE 平分∠AED O 二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 O （1）一般情况 D C D E 【条件】：CD∥AB， C A 将△OCD 旋转至右图的位置 B A B 【结论】：①右图中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD； D ② 延长 AC 交 BD 于点 E，必有∠BEC=∠BOAO （2）特殊情况 C 【条件】：CD∥AB，∠AOB=90° A O D B 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD； ② 延长 AC 交 BD 于点 E，必有∠BEC=∠BOA； C E A B BD OD OB    ③ AC OC OA tan∠OCD；④ BD⊥AC； 1 S△BCD  AC BD ⑤ 连接 AD、BC，必有 AD  BC  AB  CD ；⑥ 2A 2 2 2 2 C D 三、模型三、对角互补模型 O E B 图 1 （1）全等型-90° 【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；② OC 平分∠AOB 【结论】：① CD=CE；② OD+OE= 2 OC；③ 1 S△DCE  S△OCD  S△OCE  OC 2 2 A M 证明提示： D ① 作垂直，如图 2，证明△CDM≌△CEN O C N 图 2 E B ② 过点 C 作 CF⊥OC，如图 3，证明△ODC≌△FEC ※当∠DCE 的一边交 AO 的延长线于 D 时（如图 4）： 2 OC； 以上三个结论：① CD=CE；② OE-OD= A C M 1 S△OCE  S△OCD  OC 2 ③ 2 A C O N E D D O （2）全等型-120° 图 3 E F B 图 4 B 【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；② OC 平分∠AOB 【结论】：① CD=CE；② OD+OE=OC；③ S△DCE  S△OCD  S△OCE  3 OC 2 4 证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一； ② 如右下图：在 OB 上取一点 F，使 OF=OC，证明△OCF 为等边三角形。 A A C C F F O E B O E （3）全等型-任意角 ɑ 【条件】：①∠AOB=2ɑ，∠DCE=180-2ɑ；② CD=CE； 【结论】：① OC 平分∠AOB；② OD+OE=2OC·cosɑ； ③ S△DCE  S△OCD  S△OCE  OC 2 sin α cos α ※当∠DCE 的一边交 AO 的延长线于 D 时（如右下图）： 原结论变成：① ； ； ② 。 ③ 可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。 A D O C E B F B A C O B E D 对角互补模型总结： ① 常见初始条件：四边形对角互补，注意两点：四点共圆有直角三角形斜边中线； A ② 初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别； C ③ 注意 OC 平分∠AOB 时， D ∠CDE=∠CED=∠COA=∠COB 如何引导？ E O B 四、模型四：角含半角模型 90° （1）角含半角模型 90°---1 【条件】：①正方形 ABCD；②∠EAF=45°； 【结论】：① EF=DF+BE；②△CEF 的周长为正方形 ABCD 周长的一半； 也可以这样： 【条件】：①正方形 ABCD；② EF=DF+BE； D A D A F B E C F G B E C 【结论】：①∠EAF=45°； （2）角含半角模型 90°---2 【条件】：①正方形 ABCD；②∠EAF=45°； 【结论】：① EF=DF-BE； A E A D C B E A D C B E B F F 【条件】：① Rt△ABC；②∠DAE=45°； BD 2  CE 2  DE 2 （如图 1） 若∠DAE 旋转到△ABC 外部时，结论 BD 2  CE 2  DE 2 A 仍然成立（如图 2） A F B D E C B D C F （3）角含半角模型 90°---3 【结论】： D E C F A A D B C E （4）角含半角模型 90°变形 B D A D A D H 【条件】：①正方形 ABCD；②∠EAF=45°； H F 【结论】：△AHE 为等腰直角三角形； 证明：连接 AC（方法不唯一） C E F G G B C E B C E ∵∠DAC=∠EAF=45°， ∴∠DAH=∠CAE，又∵∠ACB=∠ADB=45°； DA AC  ∴△DAH∽△CAE，∴ AH AE ∴△AHE∽△ADC，∴△AHE 为等腰直角三角形 模型五：倍长中线类模型 D A （1）倍长中线类模型---1 A F B C D F E H B E H 【条件】：①矩形 ABCD；② BD=BE； ③DF=EF； 【结论】：AF⊥CF 模型提取：①有平行线 AD∥BE；②平行线间线段有中点 DF=EF； 可以构造“8”字全等△ADF≌△HEF。 （2）倍长中线类模型---2 【条件】：①平行四边形 ABCD；② BC=2AB；③ AM=DM；④ CE⊥AB； 【结论】：∠EMD=3∠MEA 辅助线：有平行 AB∥CD，有中点 AM=DM，延长 EM，构造△AME≌△DMF，连接 CM 构 造 等腰△EMC，等腰△MCF。（通过构造 8 字全等线段数量及位置关系，角的大小转化） A M A D M F D E E B B C C 模型六：相似三角形 360°旋转模型 （1）相似三角形（等腰直角）360°旋转模型---倍长中线法 【条件】：①△ADE、△ABC 均为等腰直角三角形；② EF=CF； 【结论】：① DF=BF；② DF⊥BF 辅助线：延长 DF 到点 G，使 FG=DF，连接 CG、BG、BD，证明△BDG 为等腰直角三 C C 角形； 突破点：△ABD≌△CBG； G F F D D A B E A B 难点：证明∠BAO=∠BCG （2）相似三角形（等腰直角）360°旋转模型---补全法 C C 【条件】：①△ADE、△ABC 均为等腰直角三角形；② EF=CF； G 【结论】：① DF=BF；② DF⊥BF F D F 辅助线：构造等腰直角△AEG、△AHC； A D 辅助线思路：将 DF 与 BF 转化到 CG 与 EF。 A B B E E H （3）任意相似直角三角形 360°旋转模型---补全法 【条件】：①△OAB∽△ODC；②∠OAB=∠ODC=90°；③ BE=CE； 【结论】：① AE=DE；②∠AED=2∠ABO 辅助线：延长 BA 到 G，使 AG=AB，延长 CD 到点 H 使 DH=CD，补全△OGB、△OCH H 构造旋转模型。转化 AE 与 DE 到 CG 与 BH，难点在转化∠AED。 O G O D A D A B E C B E C （4）任意相似直角三角形 360°旋转模型---倍长法 【条件】：①△OAB∽△ODC；②∠OAB=∠ODC=90°；③ BE=CE； 【结论】：① AE=DE；②∠AED=2∠ABO 辅助线：延长 DE 至 M，使 ME=DE，将结论的两个条件转化为证明△AMD∽△ABO，此 为难点， 将△AMD∽△ABC 继续转化为证明△ABM∽△AOD，使用两边成比例且夹角相等，此处难 点在证明∠ABM=∠AOD O O D A D A B B E E C C M 模型七：最短路程模型 （1）最短路程模型一（将军饮马类） A 总结：右四图为常见的轴对称类最短路程问题， 最后都转化到：“两点之间，线段最短：解决； 特点：①动点在直线上；②起点，终点固定 B PA+PB l P B' l1 A' A A' A P A B Q A' B l2 l Q P PA+PQ+BQ PA+PQ+BQ B' P l1 l2 PA+PQ+BQ Q B' B （2）最短路程模型二（点到直线类 1） 【条件】：① OC 平分∠AOB；② M 为 OB 上一定点；③ P 为 OC 上一动点；④ Q 为 OB 上一动点； 【问题】：求 MP+PQ 最小时，P、Q 的位置？ 辅助线：将作 Q 关于 OC 对称点 Q’，转化 PQ’=PQ，过点 M 作 MH⊥OA， A 则 MP+PQ=MP+PQ’ MH(垂线段最短） A H Q' P （3）最短路程模型二（点到直线类 2） 【条件】：A(0,4),B(-2,0),P(0,n） 【问题】：n 为何值时， PB  5 PA 最小？ 5 O P Q M B 5 求解方法：① x 轴上取 C(2,0),使 sin∠OAC= 5 ；②过 B 作 BD⊥AC，交 y 轴于点 E， 1 y 即为所求；③ tan∠EBO=tan∠OAC= 2 ，即 E（0，1） y A A P P D E B O B x O C （4）最短路程模型三（旋转类最值模型） 【条件】：①线段 OA=4，OB=2；② OB 绕点 O 在平面内 360°旋转； 【问题】：AB 的最大值，最小值分别为多少？