专题 1.22 《探索三角形全等》几何模型-“手拉手” （专项练习）（培优篇） 一、单选题 1．如图，在△OAB 和△OCD 中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝ 40°，连接 AC，BD 交于点 M，连接 OM．下列结论：① AC＝BD；②∠AMB＝40°； ③ OM 平分∠BOC；④ MO 平分∠BMC．其中正确的个数为（　　） A．① B．①② C．①②③ D．①②④ 2．如图，点 C 是线段 AE 上一动点（不与 A，E 重合），在 AE 同侧分别作等边三角形 ABC 和等边三角形 CDE，AD 与 BE 交于点 O，AD 与 BC 交于点 P，BE 与 CD 交于点 Q， 连接 PQ，有以下 5 个结论：① AD=BE；② PQ∥AE；③ AP=DQ；④ DE=DP；⑤ ∠AOB=60°．其中一定成立的结论有（ A．1 B．2 ）个 C．3 D．4 二、填空题 3．在锐角三角形 ABC 中，AH 是边 BC 的高，分别以 AB，AC 为边向外作正方形 ABDE 和正方形 ACFG，连接 CE，BG 和 EG，EG 与 HA 的延长线交于点 M，下列结论： ① BG=CE；② BG⊥CE；③ AM 是△AEG 的中线；④∠EAM=∠ABC．其中正确的是_____ ____． 4．如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE 交于点 H，连接 CH，则 ∠CHE=_______． 三、解答题 5．（1）如图 1， VABC 和 VDCE 都是等边三角形，且 B C ， ， D 三点在一条直线上， 连接 AD ， BE 相交于点 P ，求证： BE  AD ． （2）如图 2，在 部作等边 VBCD VABC ① 求证： 中，若 ，等边 BC CD BD VBCD �BCD  120� ，分别以 ， 和 为边在 外 △ CDE AD  BE  CF ，等边 ，连接 AD BE 、 、 CF 恰交于点 P ． ； ② 如图 2，在（2）的条件下，试猜想 明理由． VBDF PB ， PC ， PD 与 BE 存在怎样的数量关系，并说 6．已知，在 不与点 B，C ABC 中， �BAC  90� �ABC  45� 重合），以 ， AD 为边作正方形 ，点 ADEF ，连接 D 为直线 BC 上一动点（点 D CF ． （1）如图①，当点 D 在线段 BC 上时，求证 CF  CD  BC ． （2）如图②，当点 D 在线段 BC 的延长线上时，其他条件不变，请直接写出 CF，， BC CD 三条线段之间的关系． （3）如图③，当点 D 在线段 BC 的反向延长线上，且点 A ， F 分别在直线 BC 的两侧时， BC 其他条件不变，请直接写出 CF，， CD 三条线段之间的关系． 7．已知：点 O 是平行四边形 ABCD 两条对角线的交点，点 P 是 AC 所在直线上的一个动点 （点 P 不与点 A、C 重合），分别过点 A、C 向直线 BP 作垂线，垂足分别为 E、F (1)如图 1，当点 P 与点 O 重合时，求证：OE=OF (2)直线 BP 绕点 B 逆时针方向旋转,当∠OFE= 30� 时，有 OE=OF，如图 2，线段 CF、AE、OE 之间有怎样的数量关系？给出证明． (3)当点 P 在图 3 位置,且∠OFE= 30� 时，线段 CF、AE、OE 之间有怎样的数量关系？（直 接写出结论，无需证明. 8．如图，两个正方形 ABCD 与 DEFG，连结 AG，CE，二者相交于点 H． （1）证明：△ADG≌△CDE； （2）请说明 AG 和 CE 的位置和数量关系，并给予证明； （3）连结 AE 和 CG，请问△ADE 的面积和△CDG 的面积有怎样的数量关系？并说明理由． 9．如图 1， ABFG ， ABC BCED （1）求证： 是以 �ACB ，连结 AD ABD  FBC 为直角的直角三角形，分别以 ， CF VABC AD 与 CF 交于点 M ， ， AB BC 与 为边向外作正方形 CF 交于点 N ． ； （2）如图 2，在图 1 基础上连接 10．（1）如图①， ， AB 和 AF 和 △ CDE FD ，若 AD  6 ，求四边形 都是等边三角形，且点 B ， C ACDF ， E 的面积． 在一条直线上， 连结 BD 和 AE ，直线 BD ， AE 相交于点 P ．则线段 BD 与 AE 的数量关系为_________ ____． BD 与 AE 相交构成的锐角的度数为___________． （2）如图②，点 B ， C ， E （3）应用：如图③，点 好有 �AEC  30o DP  不在同一条直线上，其它条件不变，上述的结论是否还成立． B ， C ， ．设直线 E 不在同一条直线上，其它条件依然不变，此时恰 AE 交 CD 于点 Q ，请把图形补全．若 PQ  2 ，则 ___________． 11．如图，B，C，E 三点在一条直线上，△ABC 和△DCE 均为等边三角形，BD 与 AC 交于 点 M，AE 与 CD 交于点 N． （1）求证：AE＝BD； （2）连接 MN，求证：MN∥BE； （3）若把△DCE 绕点 C 顺时针旋转一个角度，（1）中的结论还成立吗？说明理由． 12．已知在 VABC 中， AB  AC ，过点 B 引一条射线 BM ， D 是 BM 上一点． （问题解决） （1）如图 1，若 �ABC  60� �BDC  60� ，射线 BM 在 ．小明同学展示的做法是：在 条件，从而求得 （类比探究） �BDC �ABC BM 内部， 上取一点 �ADB  60� ，求证： E 使得 AE  AD ，通过已知的 的度数，请你帮助小明写出证明过程； （2）如图 2，已知 �ABC  �ADB  30� ． ① 当射线 BM 在 �ABC 内，求∠ BDC 的度数； ② 当射线 BM 在 BC 下方，如图 3 所示，请问∠ BDC 的度数会变化吗？若不变，请说明 理由，若改变，请求出∠ BDC 的度数 13．问题背景：如图，△ABC 是等边三角形，△BDC 是顶角为 120°的等腰三角形，以 D 为 顶点作一个 60°角，角的两边分别交 AB，AC 边于 M、N 两点，连接 MN．探究线段 BM，MN，CN 之间的数量关系． 嘉琪同学探究此问题的方法是：延长 NC 至点 E，使 CE＝BM，连接 DE，先证明 △CDE≌△BDM，再证明△MDN≌△EDN，可得出线段 BM，MN，CN 之间的数量关系为 ．请你根据嘉琪同学的做法，写出证明过程． 探索延伸：若点 M，N 分别是线段 AB，CA 延长线上的点，其他条件不变，再探索线段 BM，MN，NC 之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 14．如图，△ABD 和△BCE 都是等边三角形，∠ABC＜105°，AE 与 DC 交于点 F． （1）求证：AE＝DC； （2）求∠BFE 的度数； （3）若 AF＝9.17cm，BF＝1.53cm，CF＝7.53cm，求 CD． 参考答案 1．D 【分析】 由 SAS 证明 AOC  BOD 得出 �OCA  �ODB ， AC  BD ，①正确； 由全等三角形的性质得出 �OAC  �OBD ，由三角形的外角性质得： �AMB  �OAC  �AOB  �OBD 作 OG  MC 证明 G ， OH  MB D OCG @D ODH ( AAS ) �BMC 由 于 于 ，得出 ，得出 H �AMB  �AOB  40� ，②正确； ，如图所示：则 OG  OH �OGC  �OHD  90� ，由 ，由角平分线的判定方法得出 MO AAS 平分 ，④正确； �AOB  �COD �DOM  �AOM �CMO  �BMO OA  OC ，而 ，得出当 ，由 �DOM  �AOM AOC  BOD ，推出 OA  OC 得出 D COM @D BOM Q �AOB  �COD  40� ，  �AOB  �AOD  �COD  �AOD 即 �AOC  �BOD ， 在 AOC 和 BOD 中， OM ， 才平分 �COM = �BOM ，得 OB  OC ，故③错误；即可得出结论． 【详解】 解： 时， �BOC ，而 ，由 MO ，假设 平分 OA  OB �BMC ，所以 得出 OA = OB � � � � �AOC = �BOD � � � � OC = OD � ， AOC  BOD( SAS )  �OCA  �ODB  �OAC  �OBD ， ， AC  BD ，①正确； ， 由三角形的外角性质得： �AMB  �OAC  �AOB  �OBD  �AMB  �AOB  40� ，②正确； 作 OG  MC 于 G ， OH  MB 于 H ，如图 2 所示： 则 在 �OGC  �OHD  90� ， OCG 和 ODH �OCA = �ODB � � � � �OGC = �OHD � � � � OC = OD � 中， ， OCG  ODH ( AAS )  OG  OH  MO 平分 ， ， �BMC ，④正确； ， Q �AOB  �COD  当 ， �DOM  �AOM 时， OM 才平分 �BOC ， 假设 �DOM  �AOM Q AOC  BOD \ �COM = �BOM Q MO 平分 ， ， �BMC \ �CMO = �BMO ， ， 在 COM 和 BOM 中， �COM = �BOM � � � � OM = OM � � ， � � � � CMO = �BMO \ D COM @D BOM ( ASA)  OB  OC ，