数学 （人教版） 八年级 下册 第十八章 平行四边形 18.1.1 平行四边形 第一课时 对边和对角的关系 学习目标 学习目标 1. 理解平行四边形的概念。 2. 探索平行四边形对边、对角之间的关系。 3. 利用平行四边形的性质解决实际问题。 重点 探索平行四边形对边、对角之间的关系。 难点 利用平行四边形的性质解决实际问题。 生活中常见的平行四边形 说一些生活中常见的平行四边形的例子 平行四边形的概念 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形用符号“ ▱”表 示，下图记作“▱ ABCD” 。 Ｄ A 几何描述： ∵AB∥CD,AD∥BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 B Ｃ 探索平行四边形对边、对角的关系 根据平行四边形的定义，尝试画一个平行四边形，通过直尺和量角器测量， 你发现它们的边、角有什么关系呢？ 提示：你能通过三角板画出平行四边形吗？ 对边相等、对角相等 探索平行四边形对边、对角的关系 四边形 ABCD 中 AB∥CD,AD∥BC ，求证： AB=CD,AD=BC. 提示：我们学过如何证明两个三角形全等，如何将四边形转化为两个三角形 呢？ 证明：连接 AC A ∵ AB∥CD,AD∥BC ∴ ∠1=∠4 ，∠ 2=∠3 在∆ BAC 和∆ ACD 中 ∠1=∠4 AC=CA 平行四边形对边相等、对角相等 ∆BAC≌∆DCA ∠2=∠3 ∴AB=CD ， AD=BC ，∠ B=∠D 而∠ BAD=∠1 +∠2 ，∠ BCD=∠3 +∠4 ∴ ∠BAD = ∠BCD B 1 Ｄ 2 3 4 Ｃ 连接对角线 BD ，尝试证明 探索平行四边形对边、对角的关系 如图，在▱ ABCD 中，点 M ， N 分别是边 AB ， CD 的 中点． 求证： ．  ∵ 四边形AN=CM ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD ， AD=BC,∠D=∠B ∵M ， N 分别是 AB 、 CD 的中点， ∴DN= CD ， BM= AB ， ∴DN=BM ， ∴ ∆ADN≌∆CBM ， ∴AN=CM ． 探索平行四边形对边、对角的关系 A 已知▱ ABCD ，求证：∠ A 与∠ B ，∠ A 与∠ D 之 间的关系 . ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， Ｄ ∴AB∥CD ， AD∥BC ∴∠A+∠B=180°( 两直线平行，同旁内角互补 ) ∠A+∠D=180° B 平行四边形相邻的两个角互补 扩展：你能通过不画辅助线的方法证明平行四边形对角相等吗？ Ｃ 探索平行四边形对边、对角的关系 若 a // b ，作 AD // GH // BC ，分别交 b 于 D 、 H 、 C ，交 a 于 A 、 G 、 B. 求证： AC 、 GH 、 BC 之间的关系 H D C ∵ a // b ， AD // GH // BC b ∴ ▱AGHD, ▱ABCD, ▱HGBC ∴ AD = GH = BC 两条平行线之间的平行线段相 等 A G B a 探索平行四边形对边、对角的关系 若 a // b ， DA 、 GH 、 CB 垂直于 a ，交 a 于 A 、 G 、 B ，交 b 于 D 、 H 、 C. 求证： AC 、 GH 、 BC 之间的关系 ∵ DA 、 GH 、 CB 垂直于 a D H A G C b ∴ DA // GH // CB 而 a // b ∴ ▱AGHD, ▱ABCD, ▱HGBC ∴ AD = GH = BC B a 如果两条直线平行，那么一条直线上的所有点到另一条直线的距离都相等， 即两条直线之间的距离相等。 利用平行四边形的性质求解  在平行四边形中，与的度数之比为，则∠ A． B． 【详解】 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴∠A+∠B=180° ，∠ A=∠C ∵∠A ：∠ B=7:2∴∠A=140° ∴∠C=140° 故答案为 D. C． C 的度数是（ D． ） 利用平行四边形的性质求解 小红不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块 与原来相同的平行四边形玻璃，他带了其中两块碎玻璃，其编号应该是 （　） A ．①，② B ．①，④ C ．③，④ D ．②，③ 【详解】 只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形 的顶点，∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小． 故选 D ． 利用平行四边形的性质求解 在□ ABCD 中，∠ A 比∠ D 大 70° ，则∠ C 等于（ A ． 70° B ． 100° C ． 110°D ． 125° 【详解】 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠A=∠C ，∠ A+∠D=180° ， 又∵∠ A-∠D=70° ， ∴∠A=125° ，∠ D=55° ， ∴∠C=∠A=125° ． 故选： D ． ） 利用平行四边形的性质求解 如图，在▱ ABCD 中， CE⊥AB ， E 为垂足．如果∠ A=130° ，∠ BCE 的度数为 ( 　 　) A ． 20° B ． 30° C ． 40° D ． 60° 【详解】 解：∵平行四边形 ABCD ，∠ A=130° ∴∠B=180°-130°=50° 又∵ CE⊥AB ∴∠BCE=90°-∠B=40° 故选： C ． 利用平行四边形的性质求解 已知：如图，在▱ ABCD 中， E 是 CA 延长线上的点， F 是 AC 延长线上的点，且 AE=CF ． 求证： 1 ）△ ABE≌△ CDF ； 2 ） BE∥DF ． 【详解】 解：（ 1 ）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB∥CD ， AB=CD ， ∴∠ BAC=∠DCA ， ∵∠ BAC+∠BAE=∠DCA+∠DCF=180° ， ∴∠ BAE=∠DCF ， ∵ AE=CF ， ∴△ ABE≌△CDF ； （ 2 ）∵△ ABE≌△CDF ， ∴∠ E=∠F ， ∴ BE∥DF ． 利用平行四边形的性质求解  如图，在中，为的中点，连结并延长交的延长线于点， 求证：．  证明：四边形是平行四边形 ，， 是的中点，， 在和中 ， ， ． 利用平行四边形的性质求解 如图是一个长为 a ，宽为 b 的矩形，两个阴影图形都是一对底边长为 1 ，且底边在矩 形对边上的平行四边形． （ 1 ）用含字母 a ， b 的代数式表示矩形中空白部分的面积； （ 2 ）当 a ＝ 5 ， b ＝ 2 时，求矩形中空白部分的面积． 【思路】 （ 1 ）空白区域面积 = 矩形面积 - 两个阴影平行四边形面积 + 中间重叠平行四边形 面积； （ 2 ）将 a=3 ， b=2 代入（ 1 ）中即可； 【详解】 （ 1 ） S ＝ ab﹣a﹣b+1 ； （ 2 ）当 a ＝ 5 ， b ＝ 2 时， S ＝ 10﹣5﹣2+1 ＝ 3 ； 课后回顾 课后回顾 01 理解平 行 的概 形 边 四 念 行 的性 形 边 四 质 02 理解平 03 的性质 形 边 行四 平 用 问题 利 际 实 解决 谢谢 ~