山东省济南市章丘区第四中学 2021-2022 学年九年级上学期 12 月月考数 学试题 一、单选题 1．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则 sinA 的值为（　　） A． 5 12 B． 12 5 C． 12 13 D． 5 13 2．由五个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是(　　) A． B． C． D． 3．抛物线 y=( x−1)2 +2 的顶点坐标是（　　） A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（1，2） 4．已知：点 A (−1， y 1) ， B (1， y 2) ， C( 2， y 3) 都在反比例函数 y= k <0 ），则 y1 A． y < y < y 3 1 2 、 y2 、 y3 k x 图象上（ 的关系是（　　） B． y < y < y 1 2 3 C． y < y < y 2 3 1 D． y < y < y 3 2 1 5．如图， △ ABC 是等边三角形，点 D、E 分别在 BC、AC 上，且∠ADE＝60°，AB＝9，BD＝ 3，则 CE 的长等于（　　） A．1 B． 4 3 C． 5 3 D．2 6．如图，D、E 分别是△ABC 的边 AB、BC 上的点，且 DE∥AC，AE、CD 相交于点 O，若 S△DOE： S△COA=1：25，则 S△BDE 与 S△CDE 的比是（　　） A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25 7．如图，正方形 ABCD 的边长为 1，延长 BA 至 E，使 AE＝1，连接 EC、ED，则 sin∠CED＝（　 ） 3 ❑√ 10 A． 10 ❑ B． √ 10 10 ❑ C． √5 10 ❑ D． √5 15 8．如图，每个小方格的边长都是 1，则下列图中三角形（阴影部分）与 △ ABC 相似的是（　 　） A． B． C． D． 9．如图，在矩形 AOBC 中，O 为坐标原点，OA、OB 分别在 x 轴、y 轴上，点 B 的坐标为(0，3 )，∠ABO＝30°，将△ABC 沿 AB 所在直线对折后，点 C 落在点 D 处，则点 D 的坐标为(　　) ❑ √3 A．( 3 3 ❑√ 3 ) ， 2 2 B．(2， 3 3 ❑√ 3 C．( ， 2 ) 2 3 ❑√ 3 ) 2 3 3 ❑√ 3 D．( 2 ，3﹣ 2 ) 10．在二次函数 y=x2-2x-3 中，当 0 ≤ x ≤3 时，y 的最大值和最小值分别是（　　） A．0，4 B．0，3 C．3，4 D．0，0 11．将抛物线 y=﹣5x2+1 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，所得到的抛物线为（　 ） A．y=﹣5（x+1）2﹣1 B．y=﹣5（x﹣1）2﹣1 C．y=﹣5（x+1）2+3 D．y=﹣5（x﹣1）2+3 12．已知二次函数 y=（x﹣h）2+1（h 为常数），在自变量 x 的值满足 1≤x≤3 的情况下，与其对应的 函数值 y 的最小值为 5，则 h 的值为（　　） A．1 或﹣5 B．﹣1 或 5 C．1 或﹣3 D．1 或 3 1 ∠B=¿ 　 2 ，则 　． 二、填空题 13．在 Rt △ ABC 中， ∠ C=90 ° ， cos A= 14．如图，直线 l 1 ∥ l 2 ∥ l 3 ， AC =10 ， DE=3 ， EF =2 ，则 AB 的长是　 　． 15．如图，过 y 轴上任意一点 p，作 x 轴的平行线，分别与反比例函数 y= −4 2 y= 的图象 和 x x 交于 A 点和 B 点．若 C 为 x 轴上任意一点，连接 AC 、 BC ，则 △ ABC 的面积为　 　． 16．如图，已知点 P（6，3），过点 P 作 PM⊥x 轴于点 M，PN⊥y 轴于点 N，反比例函数 y= 的图象交 PM 于点 A，交 PN 于点 B．若四边形 OAPB 的面积为 12，则 k=　 k x 　． 17．如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A（1，0），B（3，0）两点，与 y 轴交于 点 C（0，3），则二次函数的图象的顶点坐标是　 　． 18．二次函数 y=x2-2x-3 的图象如图所示，若线段 AB 在 x 轴上，且 AB 为 2 个单位长度，以 ❑ √3 AB 为边作等边△ABC，使点 C 落在该函数 y 轴右侧的图象上，则点 C 的坐标为　 　 三、解答题 19． （1）计算： 2 2 sin60 ° +2 co s 45 °−3 tan30 ° −1 ❑ 1 √3 0 α sin( α +15 °)= (2021−π ) +( ) −2 sin α ． （2）已知 是锐角，且 ，计算： 2 2 20．用适当的方法解下列方程． （1）3x（x+3）＝2（x+3） （2）2x2﹣4x﹣3＝0． 21．如图，将矩形 ABCD 沿 CE 向上折叠，使点 B 落在 AD 边上的点 F 处，AB=8，BC=10． （1）求证：△AEF∽△DFC； （2）求线段 EF 的长度． 22．如图，一艘轮船位于灯塔 P 的北偏东 60°方向，与灯塔 P 的距离为 80 海里的 A 处，它沿正南方 向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 45°方向的 B 处，求此时轮船所在的 B 处与灯塔 P 的距 离．（参考数据： ≈2.449，结果保留整数） ❑ √6 23．如图，在平面直角坐标系中，已知 OA=12 厘米，OB=6 厘米．点 P 从点 O 开始沿 OA 边向点 A 以 1 厘米/秒的速度移动；点 Q 从点 B 开始沿 BO 边向点 O 以 1 厘米/秒的速度移动．如果 P、Q 同时 出发，用 t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么，当 t 为何值时，△POQ 与△AOB 相似？ 24．水果店张阿姨以每斤 2 元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤 4 元的价格出售，每天可售 出 100 斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低 0.1 元，每天可多售出 20 斤，为保证每天至 少售出 260 斤，张阿姨决定降价销售． （1）若将这种水果每斤的售价降低 x 元，则每天的销售量是　　 　斤。（用含 x 的代数式 表示） （2）销售这种水果要想每天盈利 300 元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？ 25．如图，反比例函数 y= B (n ，−1) k y=mx +b 的图象交于 A (1 ，3) ， x 的图象与一次函数 两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）根据图象回答：当 x 取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值． （3）求 △ AOB 的面积． 26．如图，在平面直角坐标系中，已知 RtΔAOB 的两直角边 OA 、 OB 分别在 x 轴的负半轴 2 和 y 轴的正半轴上，且 OA 、 OB 的长满足 ¿ OA−8∨+(OB −6) =0 ， ∠ ABO 的平分线 交 x 轴于点 C，过点 C 作 AB 的垂线，垂足为点 D，交 y 轴于点 E. （1）求线段 AB 的长. （2）求直线 CE 所对应的函数关系式. （3）若 M 是射线 BC 上的一个动点，在坐标平面内是否存在点 P，使以 A、B、M、P 为顶点 的四边形是矩形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. 27．如图，已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线 x＝﹣1，图象经过 B（﹣ 3，0）、C（0，3）两点，且与 x 轴交于点 A． （1）求二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式； （2）在抛物线的对称轴上找一点 M，使△ACM 周长最短，求出点 M 的坐标； （3）若点 P 为抛物线对称轴上的一个动点，直接写出使△BPC 为直角三角形时点 P 的坐标． 答案解析部分 1．【答案】D 【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义 【解析】【解答】如图所示，∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5， ∴ AB = √ A C + B C = √ 12 +5 =13 2 ❑ ∴ sin A= BC 5 = AB 13 2 ❑ 2 2 ， . BC 【分析】根据勾股定理求出 AB 的长，再根据 sin A= AB ，即可求解. 2．【答案】D 【知识点】简单几何体的三视图 【解析】【解答】解：从左面看第一层是三个正方形，第二层是左边一个正方形． 故答案为：D． 【分析】求出从左面看第一层是三个正方形，第二层是左边一个正方形，再对每个选项一一判断即 可。 3．【答案】D 【知识点】二次函数 y=a（x-h）^2+k 的性质 【解析】【解答】抛物线 y=( x−1)2 +2 【分析】由于抛物线的顶点式为： 接得出答案。 4．【答案】C 【知识点】反比例函数的性质 的顶点坐标是（1，2）．故答案为：D． y=a(x−h)2 +k ，顶点坐标是（h，k），故可以根据公式直 【解析】【解答】解：∵反比例函数 y= k k <0 ， x 中， ∴此函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内 y 的值随 x 的增大而增大， ∵2＞1＞0，-1＜0， ∴B（1，y2），C（2，y3）位于第四象限，点 A（-1，y1）位于第二象限， ∴ y 2 < y 3< y 1 ． 故答案为：C． 【分析】先求出 B（1，y2），C（2，y3）位于第四象限，点 A（-1，y1）位于第二象限，再比较大小 即可。 5．【答案】D 【知识点】相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：∵△ABC 是等边三角形， ∴AB＝BC＝9，∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵BD＝3， ∴CD＝6， ∵∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝∠ADE+∠CDE， ∴∠BAD＝∠CDE， ∴△ABD∽△DCE， ∴ AB BD = CD CE ， ∴ 9 3 = 6 CE ∴CE＝2， 故答案为：D． 【分析】先求出 CD＝6，再求出△ABD∽△DCE，最后求解即可。 6．【答案】B 【知识点】相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：∵DE∥AC， ∴△DOE∽△COA，又 S△DOE：S△COA=1：25， ∴ DE 1 = AC 5 ， ∵DE∥AC， ∴ BE DE 1 = = BC AC 5 ， ∴ BE 1 = EC 4 ， ∴S△BDE 与 S△CDE 的比是 1：4， 故答案为：B． DE 1 BE 1