第八章 实际问题与二元一次方程组 一、单选题 1．把 1~9 这九个数填入 3×3 方格中，使其任意一行，任意一列及任意一条对角线上的 数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛書”（图 1），是世 y 界上最早的“幻方”．图 2 是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则 x 的值为（ A．1 B．8 C．9 ） D．－8 2．社区王阿姨准备花 90 元钱购买酒精或消毒液，酒精每瓶 10 元，消毒液每瓶 6 元， 则王阿姨的购买方案有（　　　）． A．2 种 B．3 种 C．4 种 D．5 种 3．某商场按定价销售某种商品时，每件可获利 45 元；按定价的 8.5 折销售该商品 8 件 与将定价降低 35 元销售该商品 12 件所获利润相等．该商品的进价、定价分别是（ ） A．95 元，140 元 B．155 元，200 元 C．100 元，145 元 D．150 元，195 元 4．为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，湘潭市举办 了第 10 届青少年机器人竞赛．组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的 凳子共 12 个，若桌子腿数与凳子腿数的和为 40 条，则每个比赛场地有几张桌子和几 条凳子？设有 x 张桌子，有 y 条凳子，根据题意所列方程组正确的是（ �x  y  40 � 4 x  3 y  12 A． � �x  y  12 � 4 x  3 y  40 B． � �x  y  40 � 3x  4 y  12 C． � �x  y  12 � 3x  4 y  40 D． � ） 2 x  ay  1 �x  2 � � � bx  y  5 的解是 �y  1 ，则 6a  b 的平方根是（ 5．关于 x ， y 的方程组 � A．4 B． �4 C． 3 D． �3 ） 3x  5 y  k  2 � � 2x  3y  4 6．已知方程组 � 的解满足 x  y  2 ，则 k 的值为（ B． 4 A． 2 C．2 ） D．4 7．小颖家离学校 1200 米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路，她去学校共用了 16 分钟，假设小颖上坡路的平均速度是 3 千米/小时，下坡路的平均速度是 5 千米/小时， 若设小颖上坡用了 x min ，下坡用了 y min ，根据题意可列方程组（ ） 3x  5 y  1200 � A． � �x  y  16 5 �3 y  1.2 � x 60 �60 B． �x  y  16 � 3 x  5 y  1.2 � C． � �x  y  16 5 �3 y  1200 � x 60 �60 D． �x  y  16 � 8．我国古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三： 人出七，不足四，问人数、物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品， 如果每人出 8 钱，则剩余 3 钱：如果每人出 7 钱，则差 4 钱．问有多少人，物品的价格 是多少？设有 x 人，物品的价格为 y 元，可列方程（组）为（　　） 8x  3  y � � 7x  4  y A． � 8x  3  y � � 7x  4  y B． � x3 x4  C． 8 7 y 3 y 4  D． 8 7 9．五一小长假，小华和家人到公园游玩.湖边有大小两种游船．小华发现 1 艘大船与 2 艘小船一次共可以满载游客 32 人，2 艘大船与 1 艘小船一次共可以满载游客 46 人．则 1 艘大船与 1 艘小船一次共可以满载游客的人数为（ A．30 B．26 C．24 ） D．22 10．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格． 将 9 个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的 3 个数之 和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则 x 与 y 的和是 （ ） A．9 B．10 C．11 D．12 2 x  y  6; � � 11．已知方程组 �3 x  y  4 的解也是关于 xy 的二元一次方程 2ax﹣3y＝0 的一个解，则 a 的值为（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 � 4 x  3 y  5, � kx  (k  1) y  8 的解中的 x 的值比 y 的值的相反数大 1，则 k 为（　　） 12．若方程组 � A．3 B．-3 C．2 D．-2 二、填空题 �x  y  2k � � k 13．若关于 x、y 的二元一次方程组 �x  y  的解也是二元一次方程 的解， 3x  4 y  6 2 � 则 k 的值为_____________． 14．已知关于 x，y 的二元一次方程(3x－2y＋9)＋m(2x＋y－1)＝0，不论 m 取何值，方 程总有一个固定不变的解，这个解是______． 15．甲.乙两种商品原来的单价和为 100 元，因市场变化，甲商品降价 10%，乙商品提 价 40%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了 20%．若设甲.乙两种商品原 来的单价分别为 x 元.y 元，则可列方程组为_________________； 16．今年“五一”，A、B 两人到商场购物，A 购 3 件甲商品和 2 件乙商品共支付 16 元， B 购 5 件甲商品和 3 件乙商品共支付 25 元，求一件甲商品和一件乙商品各售多少元． 设甲商品售价 x 元/件，乙商品售价 y 元/件，则可列出方程组_________． 三、解答题 2ax  by  3 � �x  1 � � ax  by  1 的解为 �y  1 ，求 a  2b 的值． 17．已知关于 x 、 y 的二元一次方程组 � 18．为了抗击新冠病毒，保护学生和教师的生命安全，新希望中学花费 34200 元购进 甲、乙两种医用口罩共计 1000 盒，甲、乙两种口罩的售价分别是 30 元/盒、36 元/盒； 甲、乙两种口罩的数量分别是 20 个/盒、30 个/盒． (1)求新希望中学甲、乙两种口罩各购进了多少盒． (2)按照教育局要求，学校必须储备两周的用量，新希望中学师生共计 800 人，每人每 天 2 个口罩，问购买的口罩数量是否能满足教育局的要求？ 19．“一方有难，八方支援”是我国的优良传统美德．我市在 3 月份发生新冠疫情时，某 地就有甲、乙两家单位组织员工开展捐款支援我市抗疫的活动，已知甲、乙两单位共 捐款 24000 元，甲单位有员工 150 人，乙单位有员工 180 人，乙单位的人均捐款数是 1 甲单位的 2 ． (1)问甲、乙单位员工人均捐款数分别为多少元？ (2)现两家单位共同使用这笔捐款购买 A 、 B 两种防疫物资， A 种防疫物资每箱 1500 元， B 种防疫物资每箱 1200 元，若购买 B 种防疫物资不少于 10 箱，并恰好将捐款用完．请 你帮这两家单位设计购买方案，共有哪几种购买方案（两种防疫物资均按整箱配送）？ 20．2022 年端午节，“买一提粽子就有两种味道”的组合粽子十分畅销．某食品生产厂 家测算，一提“两味组合粽”中若有 6 个猪肉粽，4 个蜜枣粽，则出厂成本价为 21 元；一 提“两味组合粽”中若有 4 个猪肉粽，6 个蜜枣粽，则出厂成本价为 19 元． (1)求 1 个猪肉粽和 1 个蜜枣粽的出厂成本价各为多少元； (2)若商家推出的这款“两味组合粽”每提 10 个粽子中至少应有 2 个猪肉粽，请列式表示 这款“两味组合粽”一提的出厂成本价 w 与蜜枣粽数量 x 之间的函数关系，并求出出厂成 本价最低时的搭配方案． 21．列方程组解应用题：用 3 辆 A 型车和 2 辆 B 型车载满货物一次可运货 17 吨；用 2 辆 A 型车和 3 辆 B 型车载满货物一次可运货 18 吨,某物流公司现有 35 吨货物,计划同时 租用 A 型车 a 辆, B 型车 b 辆,一次运完,且恰好每辆车都载满货物. （1）1 辆 A 型车和 1 辆 B 型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ （2）若 A 型车每辆需租金 200 元/次, B 型车每辆需租金 240 元/次,请你帮该物流设计最 省钱的租车方案,并求出最少租车费. 22．夏季来临，天气逐渐炎热起来，某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格上调了 10%，将某 种果汁饮料每瓶的价格下调了 5%，已知调价前买这两种饮料个一瓶共花费 7 元，调价后买 上述碳酸饮料 3 瓶和果汁饮料 2 瓶共花费 17.5 元，问这两种饮料在调价前每瓶各多少元？ 1．A 【详解】 解：根据题意得： 8 x  27 � � ∴ �x  y  5  8  5  2 ， �x  1 � 解得： �y  9 ， ∴ x y  19  1 ． 故选：A 2．C 【详解】 解：设每次购买酒精 x 瓶，购买消毒液 y 瓶，根据题意，得 10 x  6 y  90 ∵准备购买酒精或消毒液 ∴x，y 为非负整数 �x  3 �x  6 �x  9 �x  0 � � � � ∴ �y  15 或 �y  10 或 �y  5 或 �y  0 ∴王阿姨的购买方案有 4 种． 故选：C． 3．B 【详解】 解：设每件商品定价 x 元，进价 y 元，根据题意得： �x＝y  45 � 8  0.85 x  y  ＝12 � 45  35  ， � �x＝200 � 解得： �y＝155 ， 即该商品每件进价 155 元，定价每件 200 元， 故选：B． 4．B 【详解】 解：根据题意可列方程组， �x  y  12 � 4 x  3 y  40 � 故选：B． 5．B 【详解】 2 x  ay  1 �x  2 � � � 根据题意，将 �y  1 代入 �bx  y  5 ， �a  3 � b  2， 解得 � 则有 6a  b  6 �3  2  16 ，则有的 16 的平方根为： �4 ， 故选：B． 6．D 3 x  5 y  k  2① � � � 2 x  3 y  4② ， ①×2-②×3 得：y=2k-8， ②×5-①×3 得：x=14-3k， 代入 x+y=2 中得：2k-8+14-3k=2， 解得：k=4， 故选：D． 7．B 【详解】 ∵她去学校共用了 16 分钟， ∴x+y=16