专题 1.34 三角形全等判定方法 4-斜边+直角边（知识 讲解） 【学习目标】 1．理解和掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边，直角边”（即“HL”）. 2．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定两个 直角三角形全等. 【要点梳理】 要点一、判定直角三角形全等的一般方法 由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直 角边对应相等，这两个直角三角形就全等了 .这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定 理. 要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理 在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简 写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. 特别说明：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个 特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （ 2 ） 判 定 两 个 直 角 三 角 形 全 等 的 方 法 共 有 5 种 ： SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、 直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直 角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 【典型例题】 类型一、用 HL 证明三角形全等 1、 已知：BA⊥BD，FD⊥BD，AB＝CD，AC＝CF，求证：AC⊥FC． 【分析】根据 BA⊥BD，FD⊥BD， �CDF  �ABC  90�，再根据条件证明出 Rt V�ABC≌ Rt VCDF  HL  ，得出 �FCD  �CAB ，得出 �ACF  90�，即可得到 AC  FC ． 解：Q BA⊥BD，FD⊥BD，  �CDF  �ABC  90�， Q AB＝CD，AC＝CF，  Rt V�ABC≌ Rt VCDF  HL  ，  �FCD  �CAB ， Q �CAB  �ACB  90�，  �FCD  �ACB  90�，  �ACF  180� �FCD  �ACB  90� ，  AC  FC ． 【点拨】本题考查了三角形形全等的判定及性质，三角形内角和，平角，解题的关键 是证明 Rt V�ABC≌ Rt VCDF ． 举一反三： 【变式 1】 如图，在△ABC 中∠ABC=45°，AD⊥BC 于点 D，点 E 为 AD 上的一点，且 BE=AC，延长 BE 交 AC 于点 F，连接 FD． (1)求证：△BED≌△ACD； SFCD (2)若 FC=c，FB=b，求 SFBD 的值．(用含 a，b 的式子表示) SFCD c  【答案】(1)见分析(2) SFBD b 【分析】 BAD  （1）利用∠∠ ABC  45�得 BD  AD ，又 BE=AC， �ADB  �ADC  90�，因此 可以通过 HL 定理证明 RtBED  RtACD ； （2）作 DG  BE 于点 G ，作 DH  AC 于点 H ，由 SBED  SACD 1 DH S FCD 2 FC �  即可求解． S FBD 1 FB � DG 2 (1)证明：Q 在△ABC 中∠ABC=45°，AD⊥BC，  �ADB  �ADC  90� ∠∠ BAD  ， ABC  45� ，  BD  AD ， 在 RtBED 和 RtACD 中， �BD  AD � �BE  AC ，  RtΔRtΔ( BED  ) ACD HL ， 即 BED  ACD ． (2)解：如图所示，作 DG⊥BE 于点 G，作 DH⊥AC 于点 H， 可得 DG  DH ，利用 由（1）知 BED  ACD  S BED  S ACD ， 1 1  BE � DG  AC � DH ， 2 2 Q BE  AC ，  DG  DH ， 1 DH FC c SFCD 2 FC �     ． SFBD 1 FB � DG FB b 2 【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形的面积公式，解题的关键是 正确作出辅助线，由 SBED  S ACD 可得 DG  DH ． 【变式 2】如图，已知 AD 、 BC 相交于点 O ， AB  CD ， AM  BC 于点 M ， DN  BC 于点 N ， BN  CM ABM （1）求证： △≌△ ． DCN ； （2）试猜想 OA 与 OD 的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见分析；（2） OA  OD ，理由见分析． 【分析】 （1）由题意易得 BM  CN ， �AMN  �DNC  90�，然后根据“HL”判定即可； AMO≌ DNO ，然后问题可求解． （2）由（1）可得 AM  DN ，进而可证 △△ 解：（1）证明：Q BN  CM  BN  MN  CM  MN Q AM  BC ， DN  BC ，即： BM  CN ， ，  �AMN  �DNC  90� ， 在 Rt VABM 和 RtVDCN 中： Q AB  CD ABM  △≌△ ， BM  CN ， DCN  HL  ； （2）解： OA  OD ，理由如下： ABM Q △≌△ DCN ，  AM  DN ， 在 VAMO 和 △ DNO 中： �AMO  �DNO  90� �AOM  �DON AM  DN ， ， ， AMO≌ DNO  AAS ，  △△  OA  OD ． 【点拨】本题主要考查直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定定 理是解题的关键． 类型二、全等性质与 HL 综合 2、如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB 于点 E，点 F 在 AC 上，BD=DF． (1)求证：CF=EB； (2)若 AB=14，AF=8，求 CF 的长． 【答案】(1)见详解(2)3 【分析】 （1）利用角平分线的性质可得 DC  DE ，再利用“HL”证明 Rt VDCF ≌ Rt VDEB ，再利 用全等三角形的性质求解； （2）利用“HL“证明 RtVACD≌ RtVAED ，可得 AC  AE ，设 CF  BE  x ，则 AE  AB  BE  14  x ， AC  AF  CF  8  x (1)证明：∵ DE  AB 于点 E， ∴ �DEB  90�． 又∵AD 平分 �BAC ， �C  90�， ∴ DC  DE ， 在 Rt△ DCF 和 Rt VDEB 中， ，即可建立方程求解． �DC＝DE � �DF＝DB ， ∴ RtVDCF ≌ RtVDEB  HL  ， ∴ CF  EB ； (2)解：在 Rt△ ACD 和 Rt △ AED 中， �AD  AD � �CD  ED ， ∴ ∴ Rt VACD≌（） Rt VAED HL AC  AE ， ， 设 CF  BE  x ， 则 AE  AB  BE  14  x ， AC  AF  CF  8  x ， ∴ 14  x  8  x ， 解得 x  3 ， 故 CF  3 ． 【点拨】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，在图形中找到 正确的全等三角形以及熟悉直角三角形全等的性质与判定是关键． 举一反三： 【变式 1】 如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC．AD，BC 交于点 O． 求证：OC＝OD． 【分析】根据 HL 证明 Rt△ABD 和 Rt△BAC 全等，进而利用 AAS 证明△AOC 和△BOD 全等解答即可． 解：证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD， ∴∠C＝∠D＝90°． 在 Rt△ABD 和 Rt△BAC 中， �AD  BC , � �AB  BA, ， ∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL）， ∴BD＝AC， 在△AOC 和△BOD 中， � �C  �D , � �AOC  �BOD, � ， � AC  BD, � ∴△AOC≌△BOD（AAS）， ∴OC＝OD． 【点拨】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据 HL 证明 Rt△ABD 和 Rt△BAC 全等． 【变式 2】如图①，点 A，B，C，D 在同一直线上，AB=CD，作 EC⊥AD 于点 C，FB⊥AD 于点 B，且 AE=DF. 求证:EF 平分线段 BC 【分析】根据 HL 可证 Rt△ACE≌Rt△DBF 得到 EC=BF，进而通过证明△BFG≌△CEG 可得结论． 证明：∵AB=CD ∴AC=BD ∵EC⊥AD，FB⊥AD ∴∠ACE=∠DBF=90° 在 Rt△ACE 和 Rt△DBF 中 �AC =BD � �AE =DF ∴Rt△ACE≌Rt△DBF（HL） ∴EC=BF 在△BFG 和△CEG 中 �а ECG = FBG =90 � � �EGC =�FGB � �EC =BF � ∴△BFG≌△CEG（AAS） ∴BG=CG 即 EF 平分线段 BC 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解 题的关键． 类型三、全等三角形判定的灵活选择 3、如图所示，在人教版八年级上册数学教材 P53 的数学活动中有这样一段描述： （1）D 为△ABC 外一点，若 AD＝CD，AB＝CB，则我们把这种两组邻边分别相等的 四边形叫做“筝形”，试猜想筝形的角、对角线有什么性质？然后选择其中一条性质用全等 三角形的知识证明你的猜想． （2）知识拓展：如果 D 为△ABC 内一点，BD 平分∠ABC，且 AD＝CD，试证明：AB ＝CB． 【分析】 （1）根据已知条件可证得△ADB≌△CDB，利用全等三角形的性质可得∠BAD＝ ∠BCD，∠ADO＝∠CDO，继而证得△AOD≌△COD，由此可得结论； （2）过点 D 分别作 DE⊥AB，DF⊥ACA，垂足分别为 E，F，然后由角平分线的性质 得 DE＝DF，根据直角三角形全等的判定与性质可得结论． 解：（1）猜想 BD⊥AC，∠BAD＝∠BCD． ∵AD＝CD，AB＝CB， 在△ADB 和△BCD 中， �AB  BC � �AD  DC �B