第四章 专题四 相似与对角互补问题 ∘ 1. 如 图 ， 在 Rt△ ABC 中 ， ∠ ABC =90 ， AB=3 ， BC =4 ， 在 Rt△ MPN 中， ∠ MPN=90∘ ，点 P 在 AC 上， PM 交 AB 于点 E ， PN 交 BC 于点 F ，当 PE=2 PF 时， AP=¿ ． ∘ ∘ 2.如图，在 Rt△ ABC 中， ∠ ACB=90 ， ∠ ABC =30 ，直角 ∠ MON 的顶 点 O 在 AB 上 ， OM 、 ON 分 别 交 CA 、 CB 于 点 P 、 Q ， ∠ MON 绕 点 O 任意旋转．当 OA 1 OP = 时， OB n OQ 的值为 OA 1 = OB 2 时 ， OP OQ 的 值 为 ；当 ．（用含 n 的式子表示） ∘ 3.如图，矩形 ABCD 中， ∠ ACB=30 ，将一块直角三角板的直角顶点 P 放在两 对角线 AC ， BD 的交点处，以点 P 为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两 直角边分别与边 AB ， BC 所在的直线相交，交点分别为 E ， F ． (1)当 PE⊥ AB ， PF ⊥ BC 时，如图 1 ，则 PE PF 的值为 ． ∘ ∘ (2)现将三角板绕点 P 逆时针旋转 α （ 0 <α <60 ）角，如图 2 ，求 PE PF 的 值． ∘ ∘ (3)在（ 2 ）的基础上继续旋转，当 60 <α < 90 ，且使 AP : PC =1:2 时，如图 PE 3 ，求 PF 的值． ∘ 4. △ ABC 中， ∠BAC =90 ， AB=AC ，点 D 是 BC 的中点，把一个三 角板的直角顶点放在点 D 处，将三角板绕点 D 旋转且使两条直角边分别交 AB 、 AC 于 E 、 F ． (1)如图 1 ，观察旋转过程，猜想线段 AF 与 BE 的数量关系并证明你的结论． (2)如图 2 ，若连接 EF ，试探索线段 BE 、 EF 、 FC 之间的数量关系，直 接写出你的结论（不需证明） ∘ (3) 如 图 3 ， 若 将 “ AB=AC ， 点 D 是 BC 的 中 点 ” 改 为 ： “ ∠ B=30 ， AD ⊥ BC 于点 D ”，其余条件不变，探索（ 1 ）中结论是否成立？若不成立，请 探索关于 AF 、 BE 的比值． ∘ ∘ 5.如图 1 ，在 Rt△ ABC 中， ∠ ACB=90 ， ∠B=60 ， D 为 AB 的中 ∘ 点， ∠ EDF=90 ， DF 经过点 C ． (1) tan ∠ ACD=¿              ． (2)将图 1 中的 ∠ EDF 绕点 D 顺时针方向旋转一定的角度，旋转过程中的 DE 交直线 AC 于点 P ， DF 交直线 BC 于点 Q ． ① 如图 2 ，当 DE ⊥ AC 时，求 ② 当旋转到如图 3 位置时，求 PD QD 的值． PD QD 的值． ABCD ， 边 长 为 3 ， 对 角 线 AC ， BD 交 点 O ， 直 角 MPN 绕顶点 P 旋转，角的两边分别与线段 AB ， AD 交于点 M ， N （不与点 B ， A ， D 重合）设 DN =x ，四边形 AMPN 的面积为 y ． 在下面情况下， y 随 x 的变化而变化吗？若不变，请求出面积 y 的值；若变化， 请求出 y 与 x 的关系式． 6. 已 知 正 方 形 (1)如图 1 ，点 P 与点 O 重合； (2)如图 2 ，点 P 在正方形的对角线 AC 上，且 AP =2 PC ； (3)如图 3 ，点 P 在正方形的对角线 BD 上，且 DP=2 PB ． ∘ ∘ 7.在 Rt△ ABC 中， ∠ ACB=90 ， ∠ A=30 ， D 为 AB 的中点，点 E ∘ 在线段 AC 上，点 F 在直线 BC 上， ∠ EDF=90 ． (1) 如 图 1 ， 若 点 E 与 点 A 重 合 ， 点 F 在 BC 的 延 长 线 上 ， 则 此 时 DE =¿ DF ． (2)若点 E 在线段 AC 上运动，点 F 在线段 BC 上随之运动（如图 2 ），请 猜想在此过程中 DE DE 的值是否发生改变．若不变，请求出 DF DF 的值；若改变，请说 明理由． (3)在（ 2 ）的条件下，在线段 EC 上取一点 G ，在线段 CB 的延长线上取一点 EG =k ，请问 k 为何值时，恒有 ∠ GDH=90 ∘ ．请在图 3 中补 H ，其中 FH ∘ 全图形，直接写出符合题意的 k 值，并以此为条件，证明 ∠ GDH=90 ． 8.已知矩形 ABCD ， AD =3 ， AB=m ，点 P 是线段 CD 的中点，点 E 是线段 AD 上的一个动点（点 E 可以和点 A 、 D 重合），过点 P 作线段 PE 的垂线 PF ，交矩形的边 AB 于点 F ． ❑ (1)如图 1 ，若 m=6 √ 2 ，求 PE PF 的值． (2)如图 2 ，若 m=8 ，点 M 是线段 AD 上另一动点（不与点 E 重合），过 点 P 作线段 PM 的垂线 PN 交边 AB 于点 N ，求 EM FN 的值． (3)如图 3 ，点 D 关于直线 PE 的对称点为点 N ，当点 E 和点 A 重合时， 点 N 到直线 AB 的距离等于 1 ，请你直接写出 m 的值． 9.在四边形中 ABCD ，点 E 为 AB 边上的一点，点 F 为对角线 BD 上的一 点，且 EF ⊥ AB ． (1)若四边形 ABCD 为正方形． ① 如图 1 ，请直接写出 AE 与 DF 的数量关系 ． ② 将 △ EBF 绕点 B 逆时针旋转到图 2 所示的位置，连接 AE ， DF ，猜想 AE 与 DF 的数量关系并说明理由． (2) 如 图 3 ， 若 四 边 形 ABCD 为 矩 形 ， BC =mAB ， 其 它 条 件 都 不 变 ， 将 △ EBF 绕 点 B 顺 时 针 旋 转 α ( 0∘< α < 90∘) 得 到 △ E′ B F ′ ， 连 接 A E′ ， D F ′ ，请在图 3 中画出草图，并直接写出 A E′ 与 D F ′ 的数量关系． 10. 如 图 1 ， AD 为 等 腰 直 角 △ ABC 的 高 ， 点 A 和 点 C 分 别 在 正 方 形 DEFG 的边 DG 和 DE 上，连接 BG ， AE ． (1)求证： BG =AE ． (2)将正方形 DEFG 绕点 D 旋转，当线段 EG 经过点 A 时．（如图 2 所示） ① 求证： BG ⊥≥¿ ． ② 设 DG 与 AB 交于点 M ，若 AG : AE=3 :4 ，求 GM MD 的值． 答案与解析 1. 3 解析: 如图所示：作 PG ⊥ AB 于 G ， PH ⊥ BC 于 H ， ∘ ∘ 在四边形 PEBF 中，∵ ∠ ABC =90 ， ∠ MPN=90 ， ∘ ∴ ∠BEP +∠ BFP=360 −∠ ABC −∠ MPN ∘ ∘ ∘ ¿ 360 − 90 − 90 =180 ∘ ， 又∵ ∠ PEG+∠ PEB=180 ∘ ， ∴ ∠ PEG=∠ PFH ， ∴ △ PEG ∽ △ PFH ， ∴ PG PE = =2 ，设 PH =x ，则 PG=2 x ， PH PF 在 Rt△ ABC 中， AB=3 ， BC=4 ， √ ❑ 2 2 √ ❑ 2 2 ∴ AC = A B + B C = 3 +4 =5 , ∴ AB : BC : AC =3 :4 :5 ， ∵ PG /¿ BC ， PH /¿ AB ， ∴ △ AGP ∽ △ PHC ∽△ ABC ， ∴ AP :GP= AC :BC =5 :4 ， PC :PH =AC : AB=5 :3 ， ∴ AP= 5 5 5 5 5 GP= × 2 x = x ， PC= PH = x ， 4 4 2 3 3 ∵ AC = AP+ PC= 5 5 x + x=5 ， 2 3 ∴ x= 6 5 ， ∴ AP= 5 5 6 x= × =3 ． 2 2 5 ❑ 2. √3 2 ❑ ； √3 n 解析: ∵ ∠ C=90 ∴ ． ∘ ∘ ， ∠ B=30 ， ❑ AC 3 =tan ∠B=tan 30∘= √ ． CB 3 过 O 作 OD ⊥ AC ， OE ⊥ BC ， AD OE ❑√ 3 = = ∴ ． DO EB 3 ∵ OA 1 = △ ADO ∽ △ OEB ， OB 2 ，且 ∴ AD DO 1 = = OE EB 2 ． ❑ DD 3 √3 = = ∴ ． ❑ OE 2 √ 3 2 同理当 3.(1) ❑ OA 1 = 时， OP = √ 3 ． OB n OQ n ❑ √3 解析: ∵矩形 ABCD ， ∴ AB ⊥ BC ， PA=PC ． ∵ PE ⊥ AB ， BC ⊥ AB ， ∴ PE/¿ BC ． ∴ ∠ APE =∠PCF ． ∵ PF ⊥ BC ， AB ⊥ BC ， ∴ PF/¿ AB ， ∴ ∠ PAE=∠ CPF ． ∵在 △ APE 与 △ PCF 中， { ∠ PAE=∠CPF PA=PC ∠ APE=∠ PCF ) ， ∴ △ APE ≌ △ PCF （ ASA ）， ∴ PE=CF ． 在 Rt△ PCF 中， ∴ (2) ❑ PF PF 3 = =tan 30∘= √ ， CF PE 3 PE ❑ = √3 ． PF ❑ √3 解析: 如图，过点 PM ⊥ PN ． P 作 PM ⊥ AB 于 点 M ， PN ⊥ BC 于 点 N ， 则 ∵ PM ⊥ PN ， PE⊥ PF ， ∴ ∠ EPM=∠ FPN ， 又∵ ∠ PME=∠ PNF =90 ∘ ， ∴ △ PME ∽ △ PNF ， ∴ PE PM = PF PN ． 由（ 1 ）知， ∴ PM ❑ = √3 ， PN PE ❑ = √3 ． PF ❑ (3) √3 2 解析: 如图，过点 P 作 PM ⊥ AB 于点 M ， PN ⊥ BC 于点 N ， 则 PM ⊥ PN ， PM /¿ BC ， PN /¿ AB ． ∵ PM /¿ BC ， PN /¿ AB ， ∴ ∠ APM =∠ PCN ， ∠ PAM=∠CPN ， ∴ △ APM ∽ △ PCN ， ∴ PM AP 1 = = CN =2 PM ． CN PC 2 ，得 在 Rt△ PCN 中， ∴ ❑ PN PN