【精讲精练】第二十一章 一元二次方程 -2022-2023 学 年九年级数学上册精讲精练（人教版 含答案解析） 一、 单选题 x 2 x 2  2a 2  3ax 1．关于 的一元二次方程 的两根应为（ A．  2 �a 2 2．抛物线 2 a B． 2a ， 2 y  x 2  bx  3 x 2  bx  3  t  0 的对称轴为直线 t （ 为实数）在 C． x 1 1  x  4 ） 2 � 2a 4 D． � 2a x ．若关于 的一元二次方程 t 的范围内有实数根，则 的取值范围是（　 　） A． 2 �t  11 3．设方程 B． t �2 x2  3x  2  0 A．3 4．将一元二次方程 C． 6  t  11 的两根分别是 B．  3 2 x 2  8x  5  0 x1 , x2 ，则 x1  x2 C． 化成 ( x  a)2  b 的值为（ 3 2 D． 2 �t  6 ） D． 2 （a，b 为常数）的形式，则 a，b 的 值分别是（ ） A． 4 ，21 B． 4 ，11 C．4，21 D． 8 ，69 5．在一幅长 50cm，宽 40cm 的矩形风景画的四周镶一条外框，制成一幅矩形挂图（如 图所示），如果要使整个挂图的面积是 3000cm2，设边框的宽为 xcm，那么 x 满足的方 程是（　　） A．（50﹣2x）（40﹣2x）＝3000 B．（50+2x）（40+2x）＝3000 C．（50﹣x）（40﹣x）＝3000 D．（50+x）（40+x）＝3000 6．一元二次方程 5x2  2 x  0 2 A． x  0 ， x2   5 1 ） 5 C． x  0 x2   2 1 2 B． x  0 ， x2  5 1 7．关于 x 的一元二次方程 （ 的解是（ x 2  ( k  3) x  1  k  0 5 D． x  0 ， x2  2 1 根的情况，下列说法正确的是 ） [来源:学.科.网] A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 8．距考试还有 20 天的时间，为鼓舞干劲，老师要求班上每一名同学要给同组的其他 同学写一份拼搏进取的留言，小明所在的小组共写了 30 份留言，该小组共有（　　） A．7 人 B．6 人 9．已知关于 x 的一元二次方程标 C．5 人 D．4 人 kx 2   2k  1 x  k  2  0 有两个不相等的实数根，则 实数 k 的取值范围是（　　） A． k   1 4 1 C． k   且 4 k �0 10．关于 x 的方程 么 m 的值为（ A． 1 x 2  2(m  1) x  m 2  m  0 B． k  1 4 D． k  1 4 k �0 有两个实数根  ，  ，且  2   2  12 ，那 ） B． 4 C． 4 或 1 D． 1 或 4 二、填空题 11．《九章算术》是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是说：已知矩形 门的高比宽多 6 尺，门的对角线长 10 尺，那么门的高和宽各是多少?如果设门的宽为 x 尺，根据题意，那么可列方程___________． 12．已知方程 x2﹣3x＋1＝0 的根是 x1 和 x2，则 x1＋x2﹣x1x2＝___． 13．写出一个一元二次方程，使它有两个不相等的实数根______． 14．若 m，n 是关于 x 的方程 x2-3x-3＝0 的两根，则代数式 m2+n2-2mn＝_____． 2 15．已知关于 x 的方程 x  2 x  2a－1  0 的一个根是 1 ，则 a  ____． 16．一元二次方程 4 x ( x  2)  x  2 的解为__________． 17．“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解高次方程 x3－x＝0，它的解是 _____________． 三、解答题 18．某公司前年缴税 40 万元，今年缴税 48.4 万元．该公司缴税的年均增长率 为多少？ 19．用指定方法解下列方程： (1)2x2-5x+1＝0(公式法)； (2)x2-8x+1＝0(配方法)． 20．解方程：(3x-1)2-25＝0 21．某商店如果将进价 8 元的商品按每件 10 元出售，那么每天可销售 200 件，现采用 提高售价，减少进货量的方法增加利润，如果这种商品的售价每涨 1 元，那么每天的 进货量就会减少 20 件，要想每天获得 640 元的利润，则每件商品的售价定为多少元最 为合适？ [来源:学.科.网 Z.X.X.K] 22．解方程 （1）2x2﹣4x﹣1＝0 （2）3x（x﹣1）＝2﹣2x 23．用适当的方法解下列方程： （1） x( x  1)  x （2） x2  2 x  2  0 参考答案： 1．B 【解析】 【分析】 先把方程化为一般式，再计算判别式的值，然后利用求根公式解方程即可． 【详解】 2 x2−3ax+ 2 △=(−3a)2−4× a2=0， 2 × 2 a2=a2， 3a � a 2 x= 2 � 2 . 2 所以 x1= 2 a,x2= 2 a. 故 答案选 B. 【点睛】 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是根据公式法解一元二次方程. 2．A 【解析】 【分析】 根据给出的对称轴求出函数解析式为 数根可以看做 y  x2  2x  3 与函数 y  x2  2x  3 yt 即可求解； 【详解】 ∵ y  x 2  bx  3 的对称轴为直线 ∴ b  2 ， ∴ y  x2  2x  3 ， x 1 ， ，将一元二次方程 的有交点，再由 1  x  4 x 2  bx  3  t  0 y 的实 的范围确定 的取值范围 ∴一元二次方程 x 2  bx  3  t  0 的实数根可以看做 y  x2  2x  3 与函数 yt 的有交点， ∵方程在 1  x  4 的范围内有实数根， 当 当 x  1 x4 函数 时， 时， y6 y  11 ， ， y  x2  2x  3 在 x 1 时有最小值 2， ∴ 2 �t  11 ， [来源:学科网] 故选 A． 【点睛】 本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与 直线的交点 问题，借助数形结合解题是关键． 3．A 【解析】 【 分析】 本题可利用韦达定理，求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系数的值，代入公式 求解即可． 【详解】 由 x2  3x  2  0 可知，其二次项系数 由韦达定理： x1  x2   a 1 ，一次项系数 b  3 ， b (3)   3， a 1 故选：A． 【点睛】 本题考查一元二次方程根与系数的关系，求解时可利用常规思路求解一元二次方程，也可 以通过韦达定理提升解题效率． 4．A 【解析】 【分析】 根据配方法步骤解题即可． 【详解】 2 解： x  8 x  5  0 移项得 x2  8x  5 ， 2 2 配方得 x  8 x  4  5  16 ， 即  x  4 2  21 ， ∴a=-4，b=21． 故选：A 【点睛】 本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是配方：在二次项系数为 1 时，方程两边同 时加上一次项系数一半的平方． 5．B 【解析】 【分析】 根据题意表示出矩形挂画的长和宽，再根据长方形的面积公式可得方程． 【详解】 解：设边框的宽为 x cm， 所以整个挂画的长为（50+2x）cm，宽为（40+2x）cm， 根据题意，得：（50+2x）（40+2x）=3000， 故选：B． 【点睛】 本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，在解决实际问题时，要全面、系统地申清 问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未 知数，用方程表 示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 6．B 【解析】 【分析】 利用提公因式分进行因式分解，再解方程，即可得到答案． 【详解】 解：x（5x-2）=0， x=0 或 5x-2=0， 2 所以 x1  0 或 x2  5 ． 故选：B． 【点睛】 本 题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方 法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 7．A 【解析】 【分析】 先计算判别式，再进行配方得到△=（k-1）2+4，然后根据非负数的性质得到△＞0，再利 用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根． 【详解】 △=(k-3)2-4(1-k) =k2-6k+9-4+4k =k2-2k+5 =(k-1)2+4， ∴（k-1）2+4＞0，即△＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】 本题考查的是根的判别式，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac 有如下关系： ①当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0 时，方程有两个相等的实数根；③ 当△＜0 时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． 8．B 【解析】 【分析】 设小组有 x 人，根据题意，得 x(x-1)=30，解方程即可． 【详解】 设小组有 x 人，根据题意，得 x(x-1)=30， 整理，得 x 2  x  30  0 ， 解方程，得 x1  6, x  5 (舍去)， 故选 B． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方 程的应用是解题的关键． 9．C 【解析】 【分析】 由一元二次方程定义得出二次项系数 k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解 这两个不等式即可得到 k 的取值范围． 【详解】 � �k �0 2 , 解：由题可得： ��   2k  1 � � 4k  k  2   0 �� 1 解得： k   4 且 k �0 ； 故选：C． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关 键是能读懂题意并牢记一元二次方程的