第 01 讲：《三角形》专题 考点梳理 考点一： 三角形 1、定义：由不在同一条直线上的三条线段顺次首尾相接所组成的图形叫做三角形。 2、分类：（1）按角分：锐角三角形；直角三角形；钝角三角形； （2）按边分：不等边三角形；等腰三角形；等边三角形； 考点二：三角形中的各种线 3、角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫 做三角形的角平分线。 4、中线：连接一个顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线。 5、高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高。 6、三角形的三边关系：三角形的任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 考点三：三角形的内角和外角 7、三角形的内角：三角形的内角和等于 ¿ 。如图： ∠1+∠2+∠3=180∘ 4 8、三角形的外角 （1）三角形的一个外角与相邻的内角互补。 2 1 ∠1+∠ 4=180∘ （2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 ∠4 =∠ 2 +∠ 3 （3）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 ∠4 ＞ ∠2 或 ∠4 ＞ ∠3 3 考点四：三角形的周长、面积求法和三角形稳定性。 （1）如图 1：C△ABC=AB＋BC＋AC 或 C△ABC= a＋b＋c。 四个量中已知其中三个能求第四个。 （2）如图 2：AD 为高，S△ABC = ·BC·AD 三个量中已知其中两个能求第三个。 （ 3 ） 如 图 3 ： △ ABC 中 ， ∠ ACB=90° ， CD 为 AB 边 上 的 高 ， 则 有 ： S△ABC = ·AB·CD= ·AC·BC 即：AB·CD=AC·BC 考点五：多边形及其内角和 1、 n 边形的内角和= 180∘× ( n−2 ) ； 2、 n 边形的外角和= 360∘ 。 3、一个 边形的对角线有 n 形分成了  n  2 个三角形。 n n  3 条，过 n 边形一个顶点能作出  n  3 条对角线，把 n 边 2 题型强化训练 一、单选题 1．（2021·黑龙江佳木斯·八年级期末）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们首尾相连摆成一个三角形的 是（ ） A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm 2．（2021·湖南长沙·八年级期末）如图，在 V ABC 中，点 O 是 V ABC 的重心，则 AD 为三角形的（ A．角平分线 B．高线 C．中线 ） D．垂直平分线 3．（2021·四川郫都·八年级期末）如图所示，工人师傅在砌门时，通常用木条 BD 固定长方形门框 ABCD，使其不 变形这样做的数学根据是（　　） A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短 C．对顶角相等 D．垂线段最短 4．（2021·河北·安新县教师发展中心八年级期末）如图，把一张 VABC 纸片沿着 DE 对折，使点 C 落在 VABC 的外 部点 C � 处，若 �1  87�， �2  17�，则 �C 的度数是（ ） A． 52� B． 43.5� C． 35� D． 30� 5．（2021·辽宁丹东·八年级期末）已知，直线 a//b，直角三角形如图放置，∠DCB＝90°，若∠1+∠B＝64°，则∠2 的度数为（　　） A．20° B．26° C．30° D．35° 6．（2021·安徽当涂·八年级期末）一个多边形从一个顶点可引出 7 条对角线，那么这个多边形的边数是（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 7．（2021·浙江下城·八年级期末）在四边形 ABCD 中，设∠A＝∠B＝∠C＝α，∠D＝β（　　） A．若 α＝60°，则 β＝60° B．若 α＝70°，则 β＝70° C．若 α＝80°，则 β＝80° D．若 α＝90°，则 β＝90° 8．（2021·陕西西安·八年级期末）如图∠1，∠2，∠3 是五边形 ABCDE 的三个外角，若∠A+∠B＝215°，则 ∠1+∠2+∠3＝（　　） A．140° B．180° C．215° D．220° 9．（2021·河北·石家庄市第二十一中学八年级期末）如图，将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则 �  （ A． 45� B． 60� C． 75� D． 90� ） 10．（2021·河北·平泉市教育局教研室八年级期末）如图，把三个长为 2，宽为 1 的长方形拼接，则图中面积为 1 的三角形个数为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 11．（2021·广西贵港·八年级期末）如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于点 D，则下列结论不一定成立的是 （ ） A．∠1+∠2=90° B．∠3=60° C．∠2=∠3 D．∠1=∠4 12．（2021·浙江浙江·八年级期末）在下列条件：① �A  �B  �C ，② �A : �B : �C  2 : 3 : 4 ，③ �A  90� �B ， 1 ④ �A  �B  2 �C 中，能确定 VABC 是直角三角形的条件有（ A．1 个 B．2 个 C．3 个 ） D．4 个 二、填空题 13．（2021·西藏日喀则·八年级期末）一个 n 边形的内角和为 1080°，则 n=________. 14．（2021·甘肃安定·八年级期末）已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，a，b 满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，c 为奇数，则 c=_____． 15．（2021·陕西秦都·八年级期末）一个多边形的内角和是它的外角和的 4 倍，则这个多边形的边数是________． 16．（2021·青海西宁·八年级期末）图 1 是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开 始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图 2 是从图 1 冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形， 则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=　 　度． 17．（2021·广东禅城·八年级期末）如图，∠1=70°，直线 a 平移后得到直线 b，则∠2－∠3=__________． 18．（2021·内蒙古霍林郭勒·八年级期末）如图，在△ABC 中，已知点 D，E，F 分别为边 BC，AD，CE 的中点， 且△ABC 的面积等于 4cm2，则阴影部分图形面积等于_____cm2 19．（2021·宁夏平罗·八年级期末）如图，在 VABC 中，点 D 是 BC 上的点， �BAD  �ABC  40 ，将 ABD 沿着 � AD 翻折得到 VAED ，则 �CDE  ______°． 三、解答题 20．（2021·甘肃·兰州市外国语学校八年级期末）如图，EF∥BC，AC 平分∠BAF，∠B=80°．求∠C 的度数． 21．（2021·重庆·八年级期末）如图所示，已知 AD，AE 分别是△ADC 和△ABC 的高和中线， AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90°．试求： （1）AD 的长； （2）△ABE 的面积； （3）△ACE 和△ABE 的周长的差． 22．（2021·河北青县·八年级期末）如图，已知：AD 是△ABC 的角平分线，CE 是△ABC 的高，∠BAC＝ 60°，∠BCE＝40°，求∠ADB 的度数． 23．（2021·安徽金寨·八年级期末）如图，在△ABC 中，AE 是 BC 边上的高． （1）若 AD 是边 BC 上的中线，AE=5cm，S△ABC=30cm²，求 DC 的长； （2）若 AD 是∠BAC 的平分线，∠B=30°，∠C=60°，求∠DAE 的度数． 24．（2021·四川广安·八年级期末）已知直线 MN 与 PQ 互相垂直，垂足为 O，点 A 在射线 OQ 上运动，点 B 在射线 OM 上运动，点 A，B 均不与点 O 重合． （1）如图 1， （2）如图 2， AI AI 平分 平分 �BAO , BI �BAO 交 平分 OB �ABO 于点 I， ．若 BC �BAO  30� �AIB  � ______ ． ，则 平分 �ABM , BC 的反向延长线交 AI 的延长线于点 D． ① 若 �BAO  30�，则∠ ADB  _______ �． ② 在点 A，B 的运动过程中， �ADB 的大小是否会发生变化？若不变，求出 �ADB 的度数；若变化，请说明理由． （3）如图 3，已知点 E 在 BA 的延长线上， �BAO 的平分线 AI , �OAE 的平分线 AF 与 �BOP 的平分线所在的直线 分别相交于点 D，F．在 VADF 中，如果有一个角的度数是另一个角的 3 倍，请直接写出 �ABO 的度数． 25．（2021·山西祁县·八年级期末）问题 1：现有一张△ABC 纸片，点 D、E 分别是△ABC 边上两点，若沿直线 DE 折叠． （1）探究 1：如果折成图①的形状，使 A 点落在 CE 上，则∠1 与∠A 的数量关系是 （2）探究 2：如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2 和∠A 的数量关系是 ； ； （3）探究 3：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2 和∠A 的数量关系，并说明理由． （4）问题 2：将问题 1 推广，如图④，将四边形 ABCD 纸片沿 EF 折叠，使点 A、B 落在四边形 EFCD 的内部时， ∠1+∠2 与∠A、∠B 之间的数量关系是 . 26．（2021·广东南海·八年级期末）已知：线段 AB、CD 相交于点 O，连接 AD、CB． （1）如图 1，求证：∠A＋∠D＝∠B＋∠C； （2）如图 2，∠ADC 和∠ABC 的平分线 DE 和 BE 相交于点 E，并且与 AB、CD 分别相交于点 M、N，∠A＝ 28°，∠C＝32°，求∠E 的度数； （3）如图 3，∠ADC 和∠ABC 的三等分线 DE 和 BE 相交于点 E，并且与 AB、CD 分别相交于点 M、N， 1 1 �CDE  �ADC ， �CBE  �ABC ，试探究∠A、∠C、∠E 三者之间存在的数量关系，并说明理由．参 3 3 考答案 1．D 【分析】 根据三角形的三边关系定理逐项判断即可得． 【详解】 解：三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． A、 3  4  7  8 ，不能摆成一个三角形； B、 8  7  15 ，不能摆成一个三角形； C、 5  5  10  11 ，不能摆成