北师大版 北师大版 第三章 九年级下册数学 九年级下册数学 圆 3.9 弧长及扇形面积 1. 已知⊙ O 的半径为 R ，⊙ O 的周长是多少？ ⊙ O 的面积是多少？ C=2πR ， S⊙O ＝ πR2. 2. 什么叫圆心角？ 角的顶点在圆心，角的两边分别与圆还有一个交点 , 这样的角叫做圆心角 . 我们上体育课掷铅球练 习时，要在指定的圆圈内 进行，这个圆的直径是 2.135m. 这个圆的周长与 面积是多少呢？（结果精 确到 0.01 ） 周长约是 6.71m ， 面积约是 3.58 ㎡ 一、弧长的计算 合作探 究 (1) 半径为 R 的圆 , 周长是多少？ C=2πR (2)1° 的圆心角所对弧长是多少？ 2 R  R  360 180 （ 3 ） n° 圆心角所对的弧长是 1° 圆心角所对的弧长的多少倍 n倍 ？ (4) n° 的圆心角所对弧长 l 是 n R 多少？ l 180 n° 1° O 要点归 纳 弧长公式 半径为 R 的圆中， n° 的圆心角所对的弧长 l 为 n n R l g2 R  360 180 r (1) 用弧长公式 l  n进行计算时，要注意公式中 n 注 180 的意义． n 表示 1° 圆心角的倍数，它是不带单位的 . 意 (2) 区分弧、弧的度数、弧长三概念．度数相等的弧，弧 长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等弧，而只有 在同圆或等圆中，才可能是等弧． 【跟踪训练】 （ 1 ）半径为 10 厘米的圆 ,60° 的圆心角所对的 弧长是10 厘米 _________. 3 （ 2 ）如图，同心圆中，大圆半径 OA ， OB 交小 圆于 C ， D ，且 OC∶OA=1∶2 ，则弧 CD 与弧 AB B 长度之比为（ ） A.1∶1 B.1∶2 O C.2∶1 D.1∶4 C A D B 【例题】 例 1. 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直 长度”再下料 . 试计算如图所示的管道的展直长度  AB ，即 的长 ( 结果精确到 0.1mm). 解： R=40mm ， n=110 ︵ n ∴ 　 AB 的长 = R 110  40 180 180 ≈76.8 （ mm ） 因此，管道的展直长度约为 76.8mm. A 110° B m m 40 【跟踪训练】 1. 若圆的半径为 R ， 60° 的圆心角所对的弧长为 l ， C 则（ ）  2 l R l A. l=R B. l<R C. D. 3 3 2. 在半径为 12cm 的圆中， 150° 的圆心角所对 的弧长等 于（ C） A.24πcm B.12πcm C.10πcm D.5πcm R 3. 如图，⊙ O 及两个半径为 1 的⊙ O1 和⊙ O2 两 两外切，切点分别为 A ， B ， C ，且  ，则   CA  ∠ O=90° 的长为 AB BC B A. 2 B. （ ） 2 21 D.2π  4 2 C.  2 O A O1 C B O2 二 、扇形面积的计算 合作探 究 思考 (1) 半径为 R 的圆 , 面积是多少？ S=πR2  R2 360 （ 2 ）圆心角为 1° 的扇形的面积是多少 ? （ 3 ）圆心角为 n° 的扇形的面积是圆心角为 1° 的扇形的面积的多少倍？ n倍 （ 4 ）圆心角为 n° 的扇形的面积是多少 ? n R 2 360 要点归 纳 扇形面积公 式 如果扇形的半径为 R ，圆心角为 n° ，那么扇形 面积的计算公式为 n R 2 S扇形 = 360 ① 公式中 n 的意义． n 表示 1° 圆心角的倍 注意 数，它是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上 面推导过程记忆） . 类比学习 问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？ O A n r l 180 S扇形  n r r 1 n r 1 � � � r  lr 180 2 2 180 2 B O n r 2 S扇形 = 360 S扇形 1  lr 2 想一想 扇形的面积公式与什么公式类似？ 1 S   ah 2 典例精析 例 1 如图，已知圆 O 的半径 1.5cm, 圆心角∠ AOB=58o, ( 求 AB 的长 ( 结果精确到 0.1cm) 扇形 OAB 的面积 ( 结 ( 180 ( 解 ∵ r=1.5cm, n=58, ∴AB 的长 = 58 � �1.5 AB 的长也可表 示为 ABl. ( 果精确到 0.1cm2). 58 �3.14 �1.5 � �1.5(cm). 180 58 � �1.52 58 �3.14 �1.52  S扇形OAB = � �1.1(cm 2 ). 360 360 B A 58o O 针对训练 1. 扇形的弧长和面积都由扇形的半径与扇形的圆心角 ______________________ 决定 . 2. 已知扇形的圆心角为 120° ，半径为 2 ，则这 4 个扇形的面积 S 扇 = 3 . 3. 已知半径为 2cm 的扇形，其弧长为4  ，则这 个扇形的面积 S 扇 = 4 cm 2 ． 3 3 【跟踪训练】 1. 一个扇形的圆心角为 90o ，半径为 2 ，则弧长 =_____ ，扇形面积 =_______. π π 2. 一个扇形的弧长为 20πcm ，面积是 240πcm2 ，则该扇形的圆心角为 _______. 150 3. 已知扇形的圆心角为 120° ，半径为 6 ，则扇 形的弧长 是（ ） B A. 3π B.4π C.5π D.6π o 4. 如图的五个半圆，邻近的两个半圆相切，两只 小虫同时出发，以相同的速度从 A 点到 B 点，甲 � 、 � ADA 1 A1EA 2 . 虫沿 � ACB �FA 、 � A 2 3 A 3 GB 路线爬行，乙虫沿 论正确的是（ ） A. 甲先到 B 点 C. 甲、乙同时到 B 点 答案 :C C 路线爬行，则下列结 D E A A1 A2 B. 乙先到 B 点 D. 无法确定 G F A3 B 知识拓展 弓形面积公 式 O O • 左图： S 弓形 =S 扇形 -S 三角形 • 右图： S 弓形 =S 扇形 +S 三角形 弓形的面积 = 扇形的面积 ± 三角形的面积 3. 如图， CD 为⊙ O 的弦，直径 AB 为 4 ， AB⊥CD 2 于 E ，∠ A=30° ，则弧 BC 的长为 π __________( 结果 3 保留 π) ． 4. 如图，半径为 1cm 、圆心角为 90° 的扇形 OAB 中 ，分别以 OA 、 OB 为直径作半圆，则图中阴影部分 的面积为 C ( 　　 ) A.πcm2 B. πcm2 C. 1 2 cm2 2 3 D. cm2 2 3 课堂练习 1. （常德 · 中考）如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称 为“等边扇形” . 则半径为 2 的“等边扇形”的面积为 ( A．π 答案： C B．1 C．2 2  D． 3 )