第 15 章 分式知识清单 一、分式的定义 分式：一般地，整式 A 除以整式 B，可以表示成 A 的形式，如果除式 B 中含有字母，那么称 B A 为分式． B 分式 A 中，A 叫做分子，B 叫做分母． B 注：①分式可以理解为两个整式相除的商，分母是除数，分子是被除数，分数线是除号。② 整式 B 作为分母，则整式 B ¿ A 0. ③只要最终能转化为 B 形式即可.④B 中若无字母，则变 成系数乘 A，为整式. 二、分式的相关概念 1）分式 A 有意义的条件：分母不为 0，即 B B ¿ 0 2）分式的值为 0 的条件：分子为 0，且分母不为 0，即 A=0 且 B ¿ 0 3）分式为正的条件：分子与分母的积为正，即 AB>0 4）分式为负的条件：分子与分母的积为负，即 AB<0 三、分式的基本性质 1）分数的性质（特点）如下： ①分母不能为零;②分数分子分母同乘除不为零的数，分数的大小不变;③分数的通分与约分 （短除法）. 2）分式是分数的拓展延伸，分式有与分数类似的性质（特点）： ①分式分母也不能为零 ②分式分子分母同乘除一个不为零的整式，分式大小不变。即： 用式子表示为 A A� C A A �C  (C �0) 或  (C �0) ，其中 A，B，C 均为整式． B B� C B B �C ③分式的通分与约分在知识点 4 中详细讲解. 四、分式的约分与通分 1）分式的约分：与分数的约分类似，约去分式分子、分母中的公因式（最大公约数）. 注：有时，分式分子、分母需进行一定的转换才有公因式。 2）最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式． 注：约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式． 3）分式的通分：利用分式的性质，将分式的分母变成最小公倍数，分子根据分母扩大的倍 数相应扩大，不改变分式的值。 步骤：①通过短除法，求出分式分母的最小公倍数；②分母变为最小公倍数的值，确定原式 分母扩大的倍数;③分子对应扩大相同倍数. 4）最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高 次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 五、分式的混合运算 分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似： 1）分式的加减 ① 同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为： a c a �c �  ． b b b ② 异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分 式，然后再加减． 用式子表示为： a c ad bc ad �bc �  �  ． b d bd bd bd 2）分式的乘法 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为： a c a� c � ． b d b� d 3）分式的除法 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘． 用式子表示为： a c a d a� d �  � ． b d b c b� c 4）分式的乘方 a n an ( 乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为： )  n ( n 为正整数， b b b �0) ． 5）分式的混合运算 含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算． 混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的． 注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式 六、整数指数幂（幂的运算的扩大） 1）前面已学习： ① am ∙ an=am +n ，（m，n 是正整数）； ② （ am ）n=a mn ，（m，n 是正整数） ③ （ ab ）m=a m b m ，（m 是正整数）； ④ am ÷ an =am−n ，（a≠0，m、n 是正整数， m>n） ⑤ （ n n a a ） = n ，（n 是正整数）； b b ⑥ { ¿当 a ≠ 0 时 ，a 0=1 （ 规定） ¿ 当 a=0 时 ，0 0 无意义 若按照④运算，当 m<n 时。如： a2 ÷ a3=a2−3=a−1 ；根据指数幂的定义 a2 ÷ a3= a2 1 = a3 a −n 2）针对这种现象，我们规定，当 n 为正整数时， a = 1 0 −n 无 n （a≠0） 注： 0 、 0 a 意义 3）幂的运算性质扩大 当 a≠0 时 ① am ∙ an=am +n ，（m，n 是整数）（公式 1、4 的扩展） ② （ am ）n=a mn ，（m，n 是整数）（公式 2 的扩展） ③ （ ab ）m=a m b m ，（m 是正整数）（公式 3 与公式 5 的扩展） 4）利用负指数化除为乘，设 m，n 为正整数，a≠0， m n 根据定义 a ÷ a =a m−n 5）科学记数法的扩大 am m −n m−n 还可转化为乘法： a ÷ a = n =a ∙ a =a a m n 一般，一个小于 1 的数可以表示为 a× 10−n 的形式，其中 |a|＜ 10 {1n＜为负整数 步骤：确定 a 值的大小。 1＜|a|＜ 10 ；确定 n 的值。原数变为 a 后，小数点向前移动 x 位，则原数相应扩大了 10x 倍。故 n=-x 七、分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方 程的依据． 八、分式方程的解法 （1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边 同乘以各分式的最简公分母． （2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母， 方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根． 注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得 不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母 不是零的解才是原方程的解． 九、增根 在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增 根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增 根，否则是原方程的根． 注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个 整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解． 十、分式方程的应用 （1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等． 工作量 路程 每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝ 工作效率 ，时间＝ 速度 等． （2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解 分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．