第一章 因式分解 1 因式分解 知识点突破 知识点 1 因式分解的定义 1.下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是( A . x 2−x−6=( x +2 ) ( x−3 ) C . x 2+ y 2 =( x+ y )2 ) B . x 2−2 x+1=x ( x−2 ) +1 D . ( x +1 ) ( x −1 )=x 2−1 2. 学 完 因 式 分 解 后 ， 李 老 师 在 黑 板 上 写 了 4 个 等 式 ( : ①15 x 2 y=3 x ⋅5 xy ; ② ( x + y ) ( x− y )=x 2− y 2 ; ③ x 2−2 x+1=( x−1 )2 ; ④ x 2−3 x +1=x x−3+ 其中是因式分解的有( A.0 个 知识点 2 3.若多项式 B.1 个 ) C.2 个 D.3 个 因式分解与整式乘法的关系 2 a x + bx+ c 可以分解为 3( x +2)(x−5) ，则 a , b , c 的值分别为( ) A .3,−9, 30 B .3,−9,−30 C .3,9, 30 D .3,9,−30 1 , x ) 4.如果 259 +517 能被 n 整除，那么 n 的值可能是( A. 20 B. 30 C. 35 ) D. 40 5. 将 图 中 的 一 个 正方形和 三个长方形拼成 一个大长 方形，根据此图写出一个多项式的因式分解为 _____________. 6.分解因式 2 x + ax+ b , 甲看错了 a 的值，分解因式的结果是 乙看错了 b 的值，分解因式的结果是 ( x−2 ) ( x−3 ) , 那么 ( x−3 ) ( x+ 2 ) , a+b 的值为____ _______. 7.某中学为了庆祝运动会，举办了手抄报比赛，其中小龙设计的一款带有五个 圆 形 的 手 抄 报 获 得 第 一 名 . 若 这 五 个 圆 形 的 半 径 长 分 别 为 ❑ √ 23 , ❑√ 22 , ❑√ 11 , ❑√ 10 , ❑√ 34 , 则这五个圆形的面积和是多少? 8.下面是一个正确的因式分解，但是一次式被墨水污染看不清了. 2 x 2 +3 x−6+¿ ( x−2 )( 2 x+5 ) . (1)求被墨水污染的一次式； (2)若被墨水污染的一次式的值不小于 2，求 x 的取值范围. 巩固提高 9.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( A . ( a+b )( a−b )=a2 −b2 ( 1a ) C .2 a−1=a 2− 2 ) B . x −2 x+1=( x−1 ) 2 D . x 2 +6 x+ 8=x ( x +6)+8 10.下列各式分解因式的结果是 (a−2)( b+3) 的为( ) A .−6+ 2b−3 a+ ab B .−6−2b+ 3 a+ab C . ab−3 b+2 a−6 D. ab−2 a+3 b−6 11.如图①，从边长为 a 的大正方形中剪掉一个边长为 b 的小正方形，将阴影 部分沿虚线剪开， 拼成如图②所示的长 方形.根据图形的变 化过程写出的等式是( ) A . ( a−b )2=a 2−2 ab+b 2 2 2 C . ( a−b ) =a −b 2 12.对于任意正整数 n，代数式 请说明理由. B . a ( a−b )=a 2−ab D . a2−b2 =( a+b )( a−b ) 2 n ( n2+2 n+ 1 )−2 n2 ( n+1 ) 的值都能被 4 整除吗? 13.仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式 x 2−4 x +m 分解因式后有一个因式是 x+ 3, ，求另 一个因式以及 m 的值. 解：设另一个因式为 x+ n ， x 2−4 x +m= ( x +3 )( x +n )=x 2 + ( n+3 ) x +3 n . 则 { ∴ n+3=−4, 解得 3 n=m , n=−7, {m=−21. ∴另一个因式为 x−7 ， m 的值为 −21 . 仿照以上方法解答：已知二次三项式 是 8 x 2−14 x−¿ a 分解因式后有一个因式 2 x −3, 求另一个因式以及 a 的值. 14.分解因式与整式乘法是相反的变形，如： 运算，相反变形后， ( x−1 )2=x 2−2 x+1 是整式乘法 x 2−2 x +1= ( x −1 )2 是多项式的因式分解. (1)计算并观察下列各式： ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ( x−1 ) ( x +1 ) =¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 2 ( x−1 ) ( x + x +1 ) =¿ , ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ; 3 ( x−1 ) ( x + x 2 + x+ 1 )=¿ ¿ (2)从上面的算式及计算结果中，你发现了什么?请根据你发现的规律直接填空： ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿¿ ¿ ( x−1 ) ¿ m m −1 m−2 m−3 (3)利用你发现的规律计算 ( x−1 ) ( x + x + x + x + ⋯+ x +1 ) 的结果为____ ________________; (4)请结合上面的规律分解因式： x 8−1. 15. (1)有若干张长方形和正方形的硬纸片，它们的大小如图甲所示，用若干张 这样的硬纸片拼成一个新的正方形，如图乙所示. ① 用两种不同的方法计算图乙中正方形的面积； ② 由①你可以得出的一个等式为__________________. (2)有若干张长方形和正方形硬纸片，它们的大小如图丙所示. +b ① 请你用拼图的方法表达完全平方公式 a ¿ 画出你的拼图； ¿ ¿ ② 请你用拼图的方法推出 2 a2 +5 ab+2 b2 因式分解的结果，画出你的拼图. 参考答案 知识点突破 1.A A 项，属于因式分解；B 项，等号右边不是整式乘积的形式，不是因式分 解；C 项，等号左右两边不相等；D 项，是整式的乘法，不是因式分解，故选 A. 2.B ① 中，等号左边不是多项式；②是整式的乘法；④中，等号右边 x−3+ 3.B 1 x 不是整式.只有③是因式分解. 根 据 因 式 分 解 与 整 式 乘 法 的 关 系 可 得 a x 2+ bx+ c=( 3 x+6 ) ( x −5 )=3 x 2−15 x+ 6 x −30=3 x 2−9 x−30, ∴a=3, b=−9, c=−30, 故选 B. 4. B ∵ 259 +517=518 +517=5 17 × (5+ 1 )=517 × 6=516 × 30, .n 的值可能是 30.故选 B. 5.答案 x 2+3 x +2=( x +2 ) ( x+1 ) 解析 拼成的大长方形如图所示： 大 长 方 形 的 面 积 x 2+3 x +2, 还 为 可 以 表 示 为 ( x+ 2 )( x +1 ) ,∴ x2 +3 x +2=( x +2 ) ( x +1 ) . 6.答案 -11 解析 ∵分解因式 2 x + ax+ b , 甲 看 错 了 a 的 值 ， 分 解 因 式 的 结 果 是 ( x−3 ) ( x+ 2 )=x 2−x−6, ∴ b=−6 , (x−3)(x +2) ，且 ( x−2 ) ( x−3 ) , 且 ∵ 乙 看 错 了 b 的 值 ， 分 解 因 式 的 结 果 是 ( x−2 ) ( x−3 )=x 2−5 x +6, ∴a=−5, ∴ a+b=−5+(−6)=−11 . 7. 解 析 根 据 圆 形 的 面 积 公 式 可 得 这 五 个 圆 形 的 面 积 和 S=π ( ❑√23 ) + π ( ❑√ 22 ) + π ( ❑√11 ) + π ( ❑√ 10 ) +π ( ❑√ 34 ) =π [ ( ❑√ 23 ) + ( ❑√ 22 ) + (❑√ 11 ) + ( ❑√ 10 ) + ( ❑√34 ) ]=π ( 23+ 2 8. 解 析 2 2 2 被 (1) 墨 2 水 污 2 染 的 2 一 2 次 式 2 为 ( x−2 ) ( 2 x +5 )− ( 2 x 2 +3 x−6 ) =2 x 2 +5 x−4 x−10−2 x 2−3 x+ 6=−2 x−4. (2) 根 据 题意得 −2 x−4 ≥ 2, 解得 即 x 的取值范围是 x ≤−3, x ⩽−3. 9.B A 项属于整式的乘法，不是因式分解；B 项是因式分解；C 项，等号右边 2 不是整式乘积的形式，故不是因式分解；D 项，等号右边不是整式乘积的形式， 故不是因式分解.故选 B. 巩固提高 10.B (a−2)(b+3)=−6−2b +3 a+ab .故选 B. 11.D 第一个图形中阴影部分的面积是 2 2 a −b , 第 二 个 图 形 的 面 积 是 ( a+b ) ( a−b ) , 则 a2−b2=( a+b ) ( a−b ) . 故选 D. 12.解析 都能被 4 整除. 理由：原式 n+ ¿ n 为正整数，∴ 3 2 2 ¿ 2 n + 4 n +2 n−2 n −2 n =2 n +2 n=2n ¿ 1)，∵ 3 2 n 与 n+1 两个数中必有一个数 ∴对于任意正整数 n ，代数式 n+1 为偶数， 2 n ( n2+2 n+ 1 )−2 n2 ( n+1 ) 的值都能被 4 整除. 13.解析 ∵二次项系数为 8，一个因式 因式的一次项系数为 ∴2 n ( n+1 ) 是 4 的倍数， 2 x −3 的一次项系数是 2，∴另一个 8 ÷ 2=4, 故可设另一个因式为 4 x +b , 2 2 则 8 x −14 x−a=( 2 x−3 ) ( 4 x +b )=8 x + (2 b−12 ) x −3 b , { ∴ 2b−12=−14, 解得 −3 b=−a , {a=−3, b=−1, 即 8 x 2−14 x+ 3=( 2 x−3 ) ( 4 x−1 ) , 则另一个因式为 14.解析 4 x −1, ， a 的值为 −3. ( 1 ) ( x−1 )( x +1 )=x 2−1. ( x−1 ) ( x2 + x +1 )=x 3 −1. ( x−1 ) ( x3 + x 2 + x+ 1 )=x 4 −1. ( 2 ) ( x −1 ) (